静态电磁场分析

1、1第第 3 3 章章 静态电磁场分析静态电磁场分析 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; ; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。 讨论电容的计算，电场能量的计算。讨论电容的计算，电场能量的计算。 建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A A；在特定条件下引入标量位在特定条件下引入标量位 。

2、讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法-分离变量法、镜像法分离变量法、镜像法23.23.2 恒定电场恒定电场分析分析3.1 3.1 静电场分析静电场分析3.4 3.4 静态场的边值问题静态场的边值问题3.33.3 恒定磁场恒定磁场分析分析33.1 3.1 静电场分析静电场分析 关系式关系式 称为真空的电特性方程或本构关系称为真空的电特性方程或本构关系 00DE 静电场的源变量是电荷静电场的源变量是电荷 q r 第第2 2章中已由库仑定律引入了电荷章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度产生的电场强度3014q

3、RRE q r 任意电荷分布产生的电场强度任意电荷分布产生的电场强度 301d 4rRRE r 定义任意电荷分布产生的电位移矢量定义任意电荷分布产生的电位移矢量 0031d 4Rr RD rE r41 1、基本方程、基本方程dsqDS0Dd0lEl0E.1静电场的基本方程静电场的基本方程2 2、边界条件、边界条件本构方程本构方程DE012nEEttEE1212nnDD12nDD5xyzxyzEeee直角坐标系E3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数1 1、由、由0E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数称为静电场的标量位函数，又称电位函数xyzExEyEzlEl 由此可求

4、得电位的微分由此可求得电位的微分dddlE lEl在任意方向上的分量在任意方向上的分量E 空间空间A、B 两点的电位差两点的电位差dBBAlA El 若选取若选取 为电位参考（即为电位参考（即 ），）， 则任意点则任意点 的电位为的电位为(,)PPPP xyz0P( , , )A x y z, ,dPPPxyzAPlx y zEl 1 1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数2 2）“-”-”号表示电场指向电位减小最快的方向号表示电场指向电位减小最快的方向62、选择电位参考点的原则、选择电位参考点的原则：4.4.电位参考点的电位值一般为零电位参

5、考点的电位值一般为零 1.1.应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义；2.2.应使电位表达式最简单；应使电位表达式最简单；3.3.同一个问题只能有一个参考点；同一个问题只能有一个参考点；7 点电荷的电位点电荷的电位200001dd441144RRRRRpqqRRRqqCRRRPPel 体电荷体电荷 、面电荷、面电荷 、线电荷、线电荷d dSdll 产生的电位分别为产生的电位分别为000ddd111,444lsllSCCCRRRPR 若取若取 处的电位为零，则处的电位为零，则04qR3 3、电位函数的求解、电位函数的求解点电荷在空间产生的电位点电荷在空间产生的电位8无限长线电荷的电位无限长线

6、电荷的电位)ln(ln2200pQlQprlrrerE电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则， 选取选取 柱面为电位参考点，即柱面为电位参考点，即 ，得，得 1r1Qrplprln20-无限长线电流在空间产生的电位无限长线电流在空间产生的电位引入电位函数的意义：引入电位函数的意义： 在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单， 简化电场的求解简化电场的求解间接求解法间接求解法因此可以通过先求解电位函数，再由关系因此可以通

7、过先求解电位函数，再由关系 得到电场解。得到电场解。 E9qqdlrrr, ,P r z 解：取如图所示坐标系，场点解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加的电位等于两个点电荷电位的叠加 , ,P r 0114qrr而而22d2 d cosrrlr l2211d2 d cosrrlr l当当drl2111d coslrrr因此因此22001111dd cos4cos4lrrrqlrd cosdrrq lql ep e由于由于得电偶极子的电位得电偶极子的电位23001144rrrp ep r电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度530314rrp rpEr例例 求电偶极子求电偶极

8、子 的电位的电位dqpl r( (教材例教材例3.1.1)3.1.1)。104 4、电位的微分方程、电位的微分方程E由由00 DED0 020 在直角坐标系中在直角坐标系中22222220 xyz电电位位的的泊泊松松方方程程若空间电荷分布为零，则有若空间电荷分布为零，则有20电位满足的拉普拉斯方程电位满足的拉普拉斯方程电位的边界条件电位的边界条件120Edl10l 212nnsDDDE 而1212snn 有 若0s 有2121120nn11 例例 半径为半径为a 的带电导体球，其电位为的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。空间的电位

9、。解：解： 球外空间的电位满足拉氏方程球外空间的电位满足拉氏方程20 电位满足的边界条件电位满足的边界条件0r arU由题意可知电位及电场具有球对称性由题意可知电位及电场具有球对称性 r在球坐标系下在球坐标系下2221 ddddrrrr直接积分12CCr因此因此aUr20C 1CaU 2rraUrrrEee12一、电容一、电容3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容1 1、孤立导体的电容、孤立导体的电容 定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即 QCU电容电容C C 只与导体几何性质和周围介质有关，与只与导体几何性质和周围介质有关，与 q q 和

10、和 无关无关 例：例： 空气中半径为空气中半径为a a的孤立导体球的孤立导体球 0044QQCaa2 2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）12QCC C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关13例：例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等）平行板电容器电容（导体球、圆柱等）0012sssssQsCEddd二、部分电容二、部分电容若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量单个导体上的电量 qC2.两个导

11、体两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为 11212111()qCC3 3、 N N个导体个导体 导体间的电容 导体与大地间的电容14 N 个导体组成的导体系统，其中第个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为电荷关系为 其中其中 为常数，称为为常数，称为电位系数电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。有关。ijp1Niijjjp q1,2.iN（共有（共有 N 个方程）个方程） 由以上由以上

12、N 个方程可解出个方程可解出1Niijjjq 1,2.iN（共有（共有 N 个方程）个方程） 当当 时时 称为称为电容系数电容系数， 时时 称为称为感应系数感应系数，且，且jjij，ijij，ijjiij 引入引入1,NijijiiijjCC，方程，方程 可写为可写为1Niijjjq 10Niiiiijijjj iqCCiiq与导体i的电位成正比ijq与导体i、j的电位差成正比其比值其比值0iiiiiqCijijijqC1211C1221CC22C153.1.4 3.1.4 电场能量电场能量 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。 设系

13、统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为，电位为 。 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为时，其电位分布为 。 的变化为的变化为 。01 dddeW 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量整个充电过程外界对整个系统提供的总能量101d dd2eW 对某一体积元对某一体积元 ， 变为变为 时（此时电位为时（此时电位为 电荷增加电荷增加 ）外界提供的能量外界提供的

14、能量dddddq,分布电荷总能量分布电荷总能量161 1）此公式只适用于静电场能量求解；）此公式只适用于静电场能量求解；21 2) 2) 不表示能量密度；不表示能量密度； 3 3） 为空间中自由电荷分布；为空间中自由电荷分布； )(r4 4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。 2 2、带电导体系统总能量、带电导体系统总能量若电量为若电量为q的电荷分布在导体上的电荷分布在导体上, ,导体电位为导体电位为 ，空间总静电场能量为，空间总静电场能量为 )(r12eWqN N个导体，个导体， iiieqW21导体所带电量i导体电位i说明：说明：17

15、3 3、电场能量密度、电场能量密度vsvvvedvEDsdDdvDDdvrDdvrrW212121)(21)()(21第一项：第一项： 22111,DdsrDdsrrr,0srDds1( )( )2eevvWD rE r dVw dV21122ewDEE- - 电场能量密度电场能量密度例 3.1.6 P102183.1.5 3.1.5 静电力静电力( (虚位移法虚位移法)()(重做重做) )A FlleW虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为： (力为广义力) 该虚功等于电荷体系能量的减少eeeWWW

16、eeeAWWW 若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为 sdW则该系统的能量关系为 siiedWFdgdWleW例3.1.719 例例 如例如例 3.9.2 3.9.2 中部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场中部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量。（教材例能量。（教材例3.12.1) 3.12.1) ab0121 解：设同轴线内导体电位解：设同轴线内导体电位 外导体电位外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量则同轴线内外导体间单位长度的能量 1U201 1221111222eWqqqU由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷

17、可知，内导体表面单位长度的电荷11012/lnlbqUa所以所以221010112/ln22ebWUCUa121/lnrbUa rEEe 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，介质和空气可知，介质和空气中的电场强度相等中的电场强度相等于是介质中的能量密度、能量于是介质中的能量密度、能量2112111/ln22ebwEUa r220102111/ln22ebwEUa r12110211/12d d2lnbaebWE r rUa空气中的能量密度空气中的能量密度、能量、能量122022210012/ln1d22dbaeEbWar rU 203.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电

18、场分析 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。 恒定电场中的二个基本变量为电流密度恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度和电场强度 。 J r E r 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即d0SJS0J或或 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为此描述恒定电场基本特性的第二个方程为d0lEl0E或或 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即实

19、验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即JE 称为导电媒质的电导率。称为导电媒质的电导率。21 要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力非静电力将将B极板的正电荷极板的正电荷q抵抗电抵抗电场力搬到场力搬到A极板。极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。因此因此0EElElEl() dddeelll Ee 是非保守场。是非保守场。()eJEE 设局外场强为设局外场强为eE设局外场强为设局外场强为 ，则电源电动势为，则电源电动势为d(V)elElqefEe电源电动势与有无外电

20、路无关，它是表示电源本身的特征量电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。则则22与静电场的讨论类似，由与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数可引入恒定电场的电位函数 0E一、恒定电场的电位一、恒定电场的电位20E0JJE由由二、恒定电场的边界条件二、恒定电场的边界条件12120nnJJ或n JJ12120ttEE或nEE若用电位表示若用电位表示121212nn1J2J12n12 将恒定电场的基本方程将恒定电场的基本方程 、 分别用于二种不同导电媒分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。质的分界面上，与推导静电场边界条

21、件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。d0SJSd0lEl1122tantan23Uzrab 解：设同轴线内外导体是解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内理想导体，则导体内 ，导体表面是导体表面是等位面等位面，于是漏电，于是漏电介质中的介质中的电位只是径向电位只是径向r 的函数的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为柱坐标系下拉普拉斯方程为0zE 1 dd0ddrr rr其通解其通解lnArB边界条件为边界条件为0r ar bU得得 /lnlnbbrUar 导电媒质中的电场强度导电媒质中的电场强度 d/ lndrrbrU rraEee电流密度电流密度/ lnrbU raJEe单位长度上的漏电流单位长

22、度上的漏电流022/lnbIrJUa 单位长度上的漏电导单位长度上的漏电导002/lnIbGUa 例例 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，填充的介质填充的介质 ，具有漏电，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的，求漏电介质内的 和单位长度的漏电电和单位长度的漏电电导导. .0、 、EJ24 例例 0.2 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和和 外外加电压加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。，介质分界面上的自由电荷密度。( (教材例教材例3.10.2)3.10.

23、2)11、22、 解：设电容器极板为理想导体，故解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿极板是等位面，电流沿z方向。方向。由边界条件由边界条件12nnJJ得得12JJJ相应的电场相应的电场11112222JJEJJE外加电压外加电压U 等于等于12121 12212ddUUUEdE dJ得得11212ddJU于是于是11111DEJ22222DEJU1d2d11, 22, zo由边界条件由边界条件12nnDD1111DJ上极板上极板 的自由电荷面密度的自由电荷面密度0z 下极板下极板 的自由电荷面密度的自由电荷面密度12zdd2222JD介质分界面介质分界面 上的自由电荷上的自由电荷

24、 1zd211 22 121212 112DDUdJd 253.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中质中 ，不仅有，不仅有恒定电场恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称，简称 恒恒定磁场定磁场。263.3.1 3.3.1 恒定磁场分析的基本变量及方程恒定磁场分析的基本变量及方程 第第2 2章中已由安培力定律引入了恒定电流元产生的磁感应强度章中已由安培力定律引入了恒定电流元产生的磁感应强度03dd4IRlRB 任意电流闭合回路任意电流闭合回路c

25、 产生的磁感应强度产生的磁感应强度 03d4cIRlRB 定义任意电流闭合回路定义任意电流闭合回路c 产生的磁场强度产生的磁场强度 301d4cIRBlRH 关系式关系式 称为真空的磁特性方程或本构关系。称为真空的磁特性方程或本构关系。 0BH 恒定磁场的源变量是电流密度矢量恒定磁场的源变量是电流密度矢量 J r真空中磁场的基本方程真空中磁场的基本方程d0SBS0Bd lIHlHJ27a a 例例 半径为半径为a 的无限长直导体通有电流的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变量，计算导体内外的基本场变量 H r 解：很显然，场变量与座标解：很显然，场变量与座标 无关，磁感应线是圆心在导

26、线轴上的一簇同无关，磁感应线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。由基本方程心圆。由基本方程,z dcIH rl而而 dd2ccH rHrH rlI是回路是回路c c所包围电流的代数和所包围电流的代数和当当ra故有故有222rHrIa 得得22IHra当当ra得得2IHrHaror r1c回路回路 所包围的电流所包围的电流2222IIrrIaa1cr r2c回路回路 所包围的电流所包围的电流II2c设电流设电流 均匀分布于导体横截面均匀分布于导体横截面I28HJ代入矢量磁位矢量磁位BA3.3.2 3.3.2 矢量磁位矢量磁位 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。

27、 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。由磁场的散度为零，引入矢量磁位。 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。0B由由0 A其单位为其单位为Tm（特（特米）或米）或Wb/m（韦（韦/ /米）米）得得01AJ即即20AAJ得得20AJ矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程规定其散度规定其散度0A（库仑规范）（库仑规范）29在直角坐标系中在直角坐标系中20AJ可分解为三个标量泊松方程可分解为三个标量泊松方程202020 xxyyzzAJAJAJ其解其解000d4d4d4xxxyyyzzzJACRJACRJACR于是，矢量位满足的泊松方程的解为于是，矢量位

28、满足的泊松方程的解为0d4JACR体电流体电流 、面电流、面电流 、线电流、线电流dJdsSJdI l产生的矢量位分别为产生的矢量位分别为000d,d,d44ddd4sISJAARRlAJR30例例 求无限长直线电流的矢量位求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度磁感应强度B。2l2ld z,0,P rzArzxo解：首先计算一根长度为解：首先计算一根长度为 的长直线电流的长直线电流I产生的矢量位。产生的矢量位。l04ddIlAR由线电流的矢位计算公式由线电流的矢位计算公式01/222d d4zIzrzzAeR积分可得积分可得2220021/222221/22201/222d ln4422ln4

29、22llzzllzIIzzzzzrrzzllzzrIllzzrAeee311/222001/2222022ln422lnn24lzzzIlllrIllrIlrr eAee当当 时时l 若若 ，则，则 l A这时可在这时可在A 的表达式中附加一个常矢量的表达式中附加一个常矢量00ln2xIrlCe则则000002lnl2ln2nzzzIIrlrlIrrAeCee磁感应强度磁感应强度B 等于等于02zIArrBAee磁场强度磁场强度H H 等于等于02IrBHe与直接积分所得的结果相同与直接积分所得的结果相同32例例 磁偶极子的矢量位和标量位磁偶极子的矢量位和标量位 一面积为一面积为S, ,通以电

30、流通以电流I 的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量 为磁偶极子的为磁偶极子的磁偶极矩磁偶极矩。mIPSRrdIdlaxyz, ,0P r202sin4a IArAee考虑考虑mIPS2za Ie得得002144mrmrrpepA磁偶极子磁偶极子 产生的磁感应强度产生的磁感应强度mp0003144mmmrrBAPP r产生的合成矢位只有产生的合成矢位只有 分量分量 如图建立坐标系，与如图建立坐标系，与x 轴对称的两个电流元轴对称的两个电流元 在考在考察点察点, ,0P rdI l2dA1dAey式中式中34mmrpr称为磁偶极子的标量位称为磁偶极子的标量位0mBH

31、磁场的另一基本变量磁场的另一基本变量330H在恒定磁场无电流区域在恒定磁场无电流区域mHmLdHlm标量磁位，单位：标量磁位，单位：A（安培）。（安培）。 标量磁位标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。m标量磁位标量磁位 的特点：的特点：m标量磁位标量磁位 标量磁位标量磁位 满足的微分方程满足的微分方程 m20m 标量磁位满足的边界条件标量磁位满足的边界条件 121212,mmmmnn343.3.3 3.3.3 电感电感 在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿与电流成正

32、比，因而穿过任意回路的磁通过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为表示。且可近似为N1c2coR2r1r 当磁场由自身回路的电流当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比产生则回路磁链与电流之比LI称为称为自感系数自感系数，简称，简称自感自感，单位为单位为H（亨）（亨） 第第1 1回路电流回路电流 产生的磁场与产生的磁场与第二回路交链的磁链为第二回路交链的磁链为 ，则比，则比值值1I1212121MI称为称为互感系数互感系数，简称，简称互感互感，

33、单位仍为，单位仍为H H 同样，第同样，第2 2回路电流回路电流 产生的磁场与第产生的磁场与第一回路交链的磁链为一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为，其比值同样称为互感系数互感系数2I2121212MI 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。路的相互位置有关。35o1c2cR2r1r两个单匝回路的互感两个单匝回路的互感设回路设回路1 1通过电流通过电流1I21212122dcAl而而10 1112d4cIRlA所以所以210121212dd4ccR ll210121212

34、1dd4ccMIR ll同理同理1202121212dd4ccMIR ll由此可见由此可见1221MM诺伊曼公式诺伊曼公式2c1c单匝回路的自感单匝回路的自感 对于单匝回路，可将电流对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路看作集中于轴线回路 上，而上，而将计算磁通的回路取作导线边将计算磁通的回路取作导线边缘的回路缘的回路 ，应用诺伊曼公式，应用诺伊曼公式计算自感为计算自感为1c2c21012dd4ccLIR ll36与电流与电流2222IrrIaa交链交链 以上计算的自感只考虑了以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样感；在导线内部的

35、磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。值定义为内自感。2Sa 假设单匝回路，其横截面积假设单匝回路，其横截面积导线内的磁场导线内的磁场2222d2122cIHrraIHraIra HlHeeBHe穿过图中面积的磁通为穿过图中面积的磁通为dddB SBl r穿过图中面积的磁链为穿过图中面积的磁链为2222234ddd2d2rrIlr raaaIlr ra340d28aIllr rIa长度为长度为l一段圆截面导线一段圆截面导线的内自感为的内自感为8lLarIBdrl370011d2()D aaIxxDx0lnID aa000lnlnD aDLIaa总自感为总

36、自感为00ln4DLa 例例 .1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距，导线间距离离 ，如图所示。（教材例，如图所示。（教材例.1）DayxxDdx解：由解：由dIHl得二导线在得二导线在x 处产生的磁场分别为处产生的磁场分别为12,22yyIIxDxHeHe总的磁感应强度总的磁感应强度002112yIxDx1BHHe单位长度的外自感为单位长度的外自感为单位长度的内自感为单位长度的内自感为000284L穿过面积穿过面积 的磁通的磁通d 1x381Njjk kkM i而回路而回路j 的磁链为的磁链为111ddN

37、NNmjjjk kjjkWWi M i3.3.4 3.3.4 磁场能量磁场能量 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势势 而作功，使回路能量增加。而作功，使回路能量增加。 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。能量，这时回路上的外加

38、电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。回路回路j 中的感应电动势为中的感应电动势为jjt外加电压外加电压jjjutdt 时间内与回路时间内与回路j 相连相连的电源所作的功的电源所作的功ddddjjjjjjjWu qi tit若系统包含若系统包含N个回路，增加的磁场能量为个回路，增加的磁场能量为11dddNNmjjjjjWWi互感系数互感系数,jjjkjkj ML自感系数自感系数39假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比 同比例增加，即同比例增加，即 jjit I则则ddkkiI，于是，于是11ddNNmjjkkjjWI M I 充电过程完成后，系统

39、的总磁场能量充电过程完成后，系统的总磁场能量1111101dd2NNNNmmjkj kjkj kjjjjWWM I IM I I 例例21111 1111222221 11 11 2122111:,2112:,22mmNML WLIMLNMLWLILIMI IMMM单回路单回路双回路双回路用场量表示该磁场能量用场量表示该磁场能量1d2mWH B单位体积的磁场能量称为磁场能量密度单位体积的磁场能量称为磁场能量密度22111222mBwHH B40例例 0.1 求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。( (教材例教材例5.10.1)5.10.1)abcII解：解：在在 的区域的区域ra222122I rIrara1Hee在在 的区域的区域arb 22IrHe在在 的区域由基本方程的区域由基本方程brc 3dlIHl2222322222IcrrHIrbIcbcb 2222