辽宁工业大学高数习题课6知识分享

1、辽宁工业大学高数习题课6( ) ( )dyf x g ydx xydxdy )()(xQyxPdxdy 3一阶微分方程的特解一阶微分方程的特解4一阶微分方程的类型一阶微分方程的类型（1）可分离变量方程：）可分离变量方程：（2）齐次方程：）齐次方程：（3）一阶线性微分方程：）一阶线性微分方程：初始条件：初始条件： .00|x xyy 特解：初值问题特解：初值问题 的解。的解。00( , )|xxyf x yyy )1 , 0()()( nyxQyxPdxdynQPxy （4）伯努利方程：）伯努利方程：二、解题方法流程图二、解题方法流程图 求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，求一阶微分方程

2、通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：而判定方程类型的一般方法和思路是： （1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。（5）全微分方程：）全微分方程： , 满足满足0),(),( dyyxQdxyxP00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdyC ( , )()dyyf x ydxx ( )( )dyP x yQ xdx( )( ) (0,1)ndyP x yQ x yndx (齐次方程齐次方程)(一阶线性方

3、程一阶线性方程)(贝努利方程贝努利方程)若若 , 继续判别。继续判别。pQyx （2）判定是否为全微分方程。若）判定是否为全微分方程。若 , 则为全微分则为全微分方程，其通解为：方程，其通解为：xQyp （3）解出）解出 的解析式：判别是否为下面类型的方程：的解析式：判别是否为下面类型的方程：dydx 对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式；熟悉常用的微分公式；B.选取适

4、当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； 一阶微分方程的解题方法流程图如下。一阶微分方程的解题方法流程图如下。 C变换自变量和因变量（即有时把变换自变量和因变量（即有时把 看成自变量，而看成自变量，而 考虑考虑 的方程类型）。的方程类型）。ydxdy求求 通解通解0 QdyPdxPQyx 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPdxdy通解为通解为PdxPdxyeQedxC 贝努利方程贝努利方程( )( )ndyP x yQ x ydx其它一般其它一般方程方程令令nyz1一阶线性方程一阶线性方程变量代换变量代换 齐次方程齐次方程()dyydxx令

5、令yuxuudxdux)(可分离变量可分离变量全微分全微分方程方程可分离变可分离变量方程量方程在在G内取内取 ),(00yx通解通解Cyxu),(dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(隐式通解隐式通解CxFyG)()(00( , )(,)( , )x yx yu x yPdx Qdy (1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xdx 可分离变量可分离变量YesYesNo()d y=fx , yd x解出解出No解题方法流程图解题方法流程图21dydxyx 2lnln(1)lnyxxC 三、典型例题三、典型例题解：分离变量为解：分离变量为 积分得积分得 分析：用观察法，可见

6、它是可分离变量方程。分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。【例【例1】 求解微分方程求解微分方程 。210ydxxdy 因此，所求通解为因此，所求通解为 . 21Cyxx cos1coscoscosyyyxydyxxxyydxxxx1cosseccosduuuuxuudxu 分析：将方程变形，得分析：将方程变形，得此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。【例【例2】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。(cos)cos0yyxydxxdyxx 解：令解：令 ,于是于是 ,上式可化为上式可化为yux , dyduyuxuxdxdx cosdxudu

7、x sinlnlnuxC sin uxeC sinyxxCe 分离变量分离变量积分得积分得所以所以 故原方程的通解为故原方程的通解为 即即 , 为可分离变量的方程为可分离变量的方程secduxudx 分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。【例【例3】求微分方程】求微分方程 的特解。的特解。sin,dyyxdxxx |1xy 0dyydxxCyx 22( )( )( )sinxu xu xu xxxxx 解法解法1：对应齐次方程为：对应齐次方程为分离变量解得分离变量解得 代入原方程得代入原方程得由常数变易法，令由常数变易法，令

8、 ，则，则( )u xyx 2( )( )dyxu xu xdxx ( )cosu xxC cos xCyx 解得解得所以原方程通解为所以原方程通解为1( cos1)yxx 特解为特解为将将 代入得代入得1C |1xy 11sindxdxxxxyeedxCx 1( cos1)yxx 特解为特解为将将 代入得代入得1C |1xy lnlnsinxxxeedxCx 解法解法2：因为：因为 ， ，利用求解公式得，利用求解公式得sin( )xq xx 1( )p xx 1cos sinxCxdxCxx 23211dxxyyxydyyy 【例【例4】求微分方程】求微分方程 的通解的通解.23(1)()0

9、y dxxyydy 分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法见的已知类型的方程，即按通常的想法将将 当作自变当作自变量，则方程为非线性方程量，则方程为非线性方程 。231dyydxxyy x但若将但若将 当作因变量，即将方程改写为当作因变量，即将方程改写为 y此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。231dyydxxyy 11211dydyyyxey edyC 21(1)1yy dyCy 解：因为解：因为 由公式得原方程的通解为由公式

10、得原方程的通解为所以所以 为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程211dxxydyy 341()134yyCy 22, , 41, 1dPdQPxyyQxxydydx 分析：分析： 首先可以看出，它不是可分离变量方程；又首先可以看出，它不是可分离变量方程；又故按框图中的方法求解。故按框图中的方法求解。【例【例5】求解微分方程】求解微分方程 。2(2)0 xdyxyy dx 显然显然 ，它也不是全微分方程。于是继续判别，它也不是全微分方程。于是继续判别，PQyx 解出解出 ，得，得 。这是贝努利方程，。这是贝努利方程， ?dydx 212dyyydxx 12dzzdxx 11 2dxdxxxzee

11、dxC 2xyxC 为一阶线性方程。为一阶线性方程。由公式得由公式得所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为解：令解：令 , 代入方程可化为代入方程可化为12,zyzyy 21 2xCxdxCxx 分析：可将方程变形为分析：可将方程变形为 ，此方程为齐次方程；，此方程为齐次方程；2yyyxx 所以按框图中的方法分别求解。所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程，此方程又为贝努利方程，2211yyyxx 令令 ，代入原方程得，代入原方程得dxxuudu122 xyu 22Cxyxy 解得解得 ，即，即 22Cxuu 解法解法1：将原方程整理成：将原方程

12、整理成 ,即标准的齐次方程，即标准的齐次方程，2()yyyxx 【例【例6】求方程】求方程 满足满足 的特解。的特解。1)1( y22yxydxdyx yxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1( yCxxz 21Cxxy 211数的一阶线性方程，解之得数的一阶线性方程，解之得即即解法解法2：整理原方程得：整理原方程得 ，为贝努利方程。为贝努利方程。2211yxyxy 令令 代入原方程得代入原方程得 ，是以，是以 为未知为未知yz1 211xzxz zyxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1( y故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解

13、。故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解。【例【例7 7】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。()0yyxedyedxdy分析：原方程可化为分析：原方程可化为 ，这里，这里(1)0yyxedyedx, 1, yyPeQxe yPQeyx 由于由于解：因为解：因为 ，故此方程为全微分方程。，故此方程为全微分方程。 yPQeyx 取取 ，则，则00(,)(0, 0)xy ( , )(0,0)( , )()(1)x yyyu x yedxxedy 00()(01)xyyyyedxedyxey 所以原方程的通解为所以原方程的通解为 。yyxeC 分析：此题首先可以分离变量，是可分离变量的方程；分

14、析：此题首先可以分离变量，是可分离变量的方程；【例【例8 8】求方程】求方程 的通解。的通解。0) 1() 1(22 dyxydxyx1122 xxdxyydy2211ydyxdxyx Cyx )1)(1(22两边积分两边积分得通解得通解解法解法1：原方程可分离变量，即：原方程可分离变量，即因为因为 ，所以又是全微分方程；还可通过，所以又是全微分方程；还可通过 直接凑微分的方法求解。直接凑微分的方法求解。2PQxyyx 200( , )(1)xyu x yxdxy xdy Cxyx )1(2121222解法解法2：由：由 知原方程是全微分方程，知原方程是全微分方程，xyxQyP2 取取 ，则，

15、则00(,)(0, 0)xy 22211(1)22xyx 则原方程的通解为则原方程的通解为 0)1ln()1ln(2122 xdydCyx )1)(1(22最后得通解为最后得通解为然后直接凑微分得然后直接凑微分得解法解法3： 将原方程整理成将原方程整理成 的形式，的形式，01122 xxdxyydy4 dxdudxdy44 yxu，用框图中的最后一种方法求解。，用框图中的最后一种方法求解。分析：此方程为一阶微分方程，依次判别这个方程不是分析：此方程为一阶微分方程，依次判别这个方程不是可分离变量的、齐次的、一阶线性的、伯努利的和全微可分离变量的、齐次的、一阶线性的、伯努利的和全微分方程，只能能用

16、变量代换，将其化为已知类型。根据分方程，只能能用变量代换，将其化为已知类型。根据【例【例9】求】求 的通解。的通解。2)44( yxy题目的特点，右侧函数为题目的特点，右侧函数为 的函数，所以令的函数，所以令44 yx解：令解：令 ，则，则44,44uxyyux 代入原方程中，得代入原方程中，得 ，42 udxdu为可分离变量得方程。为可分离变量得方程。dxudu 42分离变量得分离变量得11arctan22uxC 1144arctan22xyxC2tan(2)44yxCx积分得积分得即即将将 代回，得通解代回，得通解 44 yxu(lnln )xdyydxyxy dx 分析：原方程为非标准型

17、方程，把它可化为分析：原方程为非标准型方程，把它可化为【例【例1010】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。(lnln )xyyyxy 用凑微分法，可变形为用凑微分法，可变形为 ，则可采用，则可采用框图中的方法，进行变量代换框图中的方法，进行变量代换 。 ()ln()d xyyxy dx xyu 11lndudxuux ln(ln )lnlnuxC 积分得积分得此方程为可分此方程为可分离变量的方程。离变量的方程。分离变量分离变量令令 ，则方程变为，则方程变为 xyulnuduudxx (lnln )xdyydxyxy dx ()ln()d xyyxy dx 解：因为解：因为用凑微分法，可变

18、形为用凑微分法，可变形为 ln uCx 故原方程的通解为故原方程的通解为 。 1Cxyex 分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。即即20( )( )xxf xtf t dt ( )f x求求 【例【例1111】设】设 可导，且满足方程可导，且满足方程 ( )f x2( )( )xfxxf x 解：等式两边对解：等式两边对 求导得求导得x( )( )2fxxf xx 为一阶线性非齐次微分方程为一阶线性非齐次微分方程,且且 ，解得，解得(0)0f ()()( )(2)x dxx dxf xexedxC 2222(2)xxexedxC 222222(2)2xxxeeCCe 22( )2(1)xf