2018-2019学年江苏省苏州陆慕高级中学等三校高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)

1、1江苏省苏州陆慕高级中学等三校2018-2019学年高二 下学期期中考试数学试题（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知 凡是 9 的倍数的自然数都是 3 的倍数”和 自然数n是 9 的倍数”根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 _ _ .2.X I 的展开式中常数项为I 2仮丿3. 用反证法证明命题：如果a,bN，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除时，假设的内容应为 .n*4. 利用数学归纳法证明（n 1）（n 2） （n，n）=213：（2n-1）,N”时，从h二k”变到h二k T时，左边应增乘的因式

2、是.5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明设a b c，且a b 0，求证:.b2-ac .3a”索的因应是.a -b 0:a -c 0:（a -b）（a -c） 0:（a -b）（a -c）：0.6.若C：=Cch(N*)，贝 Hn=7.现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案.（用数字作答）宀丄13*丄1丄15*丄1丄1丄178.观祭下列式子：1 _,1 _2,1222222223232232424子可以猜想第 2019 个式子是9.平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，AAB二AAD二BAD= 60；,A且AB =1, A

3、D =2,AA=3,则AG等于_ 10.设复数 z =口 （i为虚数单位），则，根据以上式Cl21 ic8N+C；N2+C84-zCaZ4+C：N5+CZ6+C；z7=311.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5 种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是12.若多项式x22x11二a0a!(x1) Jl|a10(x1)10an(x1)11,则 怖 二 _13.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是2一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有4两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两

4、个正方体重叠部分的体积恒为14.观察下列等式：1COS 2a=2cos2a1；2COS 4a=8cos4a8COS2a+1;3COS 6a=32COS6a48COS4a+18COS2a1；4COS 8a=128COS8a256COSa+160COS4a32COS2a+1；1086425COS 10a=mcosa1280COSa+1120COSa+nC0Sa+PCOSa1.可以推测，m n+ p=.、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 115.(本小题满分 14 分)已知z是虚数，z是实数.z(1 )求z为何值时，z +

5、 2-i有最小值，并求出|z+2-i的最小值;1 z(2 )设 u =-，求证：U为纯虚数.1 +z16.(本小题满分 14 分)从1,3,5,7,9中任取 2 个数，从0,2,4,6中任取 2 个数，(1) 能组成多少个没有重复数字的四位数？(2)若将(1)中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少?17.(本小题满分 14 分)x 2已知函数f(x)x，其中a 1.证明：(1) f(x)在区间(T,；)上为单调增函数;(2)方程 f(x) =0 无负实数根.18.(本小题满分 16 分)已知(3x - x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x -1)n的展开式的系数和大

6、992.求1(2x -一)2n的展开式中：x(1 )二项式系数最大的项；(2 )系数的绝对值最大的项.a的正方形，其中419.(本小题满分 16 分)如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且1丿兀AB二BE AF =1,BE/AF,AB AF , CBA , BC = 2,P为DF中235(1)求异面直线DA与PE所成的角；(2)求平面DEF与平面ABCD所成的二面角(锐角)的余弦值.20.(本题满分 16 分) 已知m, n为正整数，(1 )证明：当x -1时，(1 x)m1 mx；(3)求出满足等式3n- 4n(n - 2)n=(n 3)n的所有正整数 n .

7、占八、(2)对于n6，已知(11 1一2,求证:(11,2,n；6表示点P(a,b )到点A(2,1的距离，所以z + 2-i最小值为AO1 = J511i v = x解方程组y 2并结合图形得2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题(理科)评分标准1. 自然数n是 3 的倍数”2. C；(丄)4二352 83. a、b 都不能被 5 整除(2k+1)(2k+2)=2k 1=4.左边=(2k+1) =4k 256.57.5518. 1 p2239.5403910.15i11.42012.-223a13. 8915解：设z =a bi(-0)，则1 . . 1 z z所以,(1)

8、丄丄-丄a _bi=a + bi +-= a + bi +-2=a +bia+b kbia2+b2丿z 2 iz-口 7又b = 0，所以u为纯虚数 .16.不用 0 时，有C；C；A：=720个；用 0 时，有C；C33A540个；共有 数.“1*5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选排，有A2=12个；2“2*5”，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有C：C3A2=24个；3“3*5”，仿“1*5”，也有Af =12个；4“4*5”，仿“2*5”，也有C：C3A|= 24个；“65”也有C1C3A=24个；即小于7000的数共有96个.故第97个数是7025，第98个数是7045，第99

9、个数是7065，第100个数是7205. 1分17.证明：(1 )当 x $-1 时 f (x) =axlnax(x2axlna匚 0 ,(x+1)(x+1)所以，f(x)在区间(-1,；)上为单调增函数； .5(2)假设方程 f(x) =0 有负实数根 x0, .7分所以-2,人+1因为 a 1 , x：0 ,所以 0 :ax0：1，所以 0：-2：1 ,人+1人一 2则 -1：勺 0 ,X。+1当 一 1：:x 2时，X。：:：-1 ;当 X。_2: 0 时，_1 :：x0 : 2 .人十 1X +1所以人不存在，这与假设相矛盾，所以假设不成立， 所以，方程 f(x)=0 无负实数根. .

10、 1 分18解：由题意22n-2n=992,解得n=5110(1)(2X-)的展开式中第 6 项的二项式系数最大，x即T6(2X)5(丄)5=8064. .5分x(2)1 -zu =1 z1 -a Fbi1 -a Lbi-1 a Lbi】(1 +a片bi(1 + a2+b2-bi一1 a14 分1260个四位.7分8(2)设第r 1项的系数的绝对值最大，则 T-1 =Go(2x)( )(-1) Co 2 xx.IC1；210丄兰 C；。210得 IC1；20即r K2rG；210亠 _Gr01侍 2G；耳12(r1)_10 r.8乞 r11,. r=3,故系数的绝对值最大的是第 4 项33即无

11、=G0(2x)7(-1)3=T5360 x4x. 1 分19.在ABC中，AB =1, CBA , BC = 2,3所以AC2二BA2BC2-2BA BC cos CBA = 32 2 2所以AC2BA =BC2，所以AB _ AC又因为平面ABCD_平面ABEF，平面ABCD平面ABEF二AB,AC平面ABCD，所以AC斗平面ABEF .4分如图，建立空间直角坐标系AB,AF,AC，贝 UA(0,0,0), B(1,0,0),C(0,0,、3), D(T,0, .3), E(1,1,0),F(0,2,0), P(-丄,1,)2. 26分33DA =(1,0, I 3), PE =(,0,)2

12、 29设异面直线DA与PE所成的角为：，则cos：=1 DA蛋蛋 口 一3卜|DA|H|PE| 2/32所以异面直线DA与PE所成的角为_|；AF =(0,2,0)是平面ABCD的一个法向量,设平面DEF的一个法向量n= (x,y,z),DE = (2,1, J3),DF= (1,2, J3)n DE = (x, y, z) (2,1,-、3) =2x y-.3z=0则n DF = (x, y, z) (1,2, - .,3) = x 2yj3z = 0得z=i.3x=、.3y，取x = 1，贝U y=1,z = .3, 故门=(1,1, J3)是平面DEF的一个法向量，设平面DEF与平面AB

13、CD所成的二面角M厂.AF n| |2. V5=11=1卜| AF | |n|2.551)小题共 5 分；第(2)小题共(1)证：用数学归纳法证明：(锐角)为：，11 分13 分16 分20第(解法 1：(i)当因为x20，所以左边 右边，原不等式成立； .2分5 分；第(3)小题共 6 分m = 1时，原不等式成立；当m = 2时，左边=1 2x x，右边=1 2x,(ii)假设当m = k时，不等式成立，即(V x)k1 kx，则当m = kT 时, /x -1,/1 x 0,于是在不等式(V x)k1 - kx两边同乘以1 x得(1 x)k-(1 x)(1+kx)(1+ x) =1 +

14、(k +1)x + kx21 + (k+1)x,(1 + x)k*1+(k+1)x.即当m=k+1时，不等式也成立.(i)(ii)知，对一切正整数所以综合(2)证：当n6, m1- 0 ,n + 3(令1x,易知X -1)n+316时,I n +3丿7卜n+3丿j1-m =1,2,川,n. -10 分(1、nf2 rnnn1 g11+IH+I1-6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n= 1,2,3,4,5的情形：当n=1时，3=4，等式不成立；当n =2时，324 52，等式成立；当n=3时，3343563，等式成立；当n =4时，34445464为偶数，74为奇数，故3444546

15、- 74，等式不成立;当n =5时，同n =4的情形可分析出，等式不成立.1011解法 2：( 1)证：当x =0或m =1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明:当X . _1，且X = o时，m2,(1 X)m. 1 mx.(i)当m = 2时，左边=1 2x x2，右边1 2x，因为x = o，所以x2 o,即左边. 右边，不等式成立；(ii)假设当m二k(k2)时，不等式成立，即(1x)k.kx，则当因为x .一1，所以1 x o.又因为x= o,k 2，所以kx2 o. 于是在不等式(1 x)k1 kx两边同乘以1 x得(1 x)k-(1 x) (1 kx)(1 x1 (k 1)x kx21(k 1)x,m二k 1时，不等式也成立.综上，所求的n只有n =2,3.16 分(2)证：当n6,mn时,/ 1 -I n+3丿1,n +3丿(1)而由(i),1 n 371 止n+3丿12丿.f m- H -n +3丿解