初中数学平行四边形练习题及解析

1、初中数学平行四边形练习题及解析一、选择题1.如图，菱形 ABCD 中，/ BAD= 60, AC 与 BD 交于点 O, E 为 CD 延长线上的一点，且1CD= DE,连接 BE,分别交 AC AD 于点 F、G,连接 OG,则下列结论： OG=3AB； 图中与 EGD全等的三角形共有 5 个；以点 A、B、D、E 为项点的四边形是菱形； S四 边形ODGF=5ABF.其中正确的结论是（）A.B.C.D.2.在正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，BE PD的延长线于点 E，连接 AE、BE,F 列结论：AABEAADF:FB AB :)FA AE交 DP 于点 F，连接 BF、FC,

2、CF PD:FC EF.其中正确的是（B.C.D.3.将一副三角尺如图拼接：含（ ACD）的斜边恰好重合.已知30角的三角尺（ ABC 的长直角边与含 45角的三角尺AB=4 3, P、Q 分别是 AC、BC 上的动点，当四边形 DPBQD.9cDEA.4.如图，在AABC中，AB 6,AC 8,BC 10,P为边BC上一动点,PE AB于E, PF AC 于F,M为EF中点，贝 V AM 的最小值为（）上，点 F 在 BC 上，且AE CF，给出以下四个结论：（1）DE DF;（ 2）厶DEF是1等腰直角三角形；（3）四边形 CEDF 面积SUBC；（ 4）EF2的最小值为 2.其中正确2的

3、有（）.B. 4C. 555.如图， 在ABC中，BC 4,BD平分ABC, 作DE/CB，分别交AB、AC于点& F，若EF12D.5过点 A 作AD BD于点 D,过点 D2DF，贝 UAB的长为（）8C. 76.如图，长方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将D. 6ADE 沿 AE 折叠得到厶 AFE 且点 FAD将 AF 延长交边 BC 于点 G,若 BG=3CG 则 =（）ABB.C.527.如图，在从BC中,ACB 90,AC BC 2,D.2D 是 AB 的中点，点 E 在 ACA.A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个& 如图，正方形 ABCD 中，在 A

4、D 的延长线上取点 E, F,使 DE= AD, DF= BD,连接 BF 分别交 CD, CE 于 H, G 下列结论：EO2HG;/GDH=/ GHD;图中有 8 个等腰三角形；SACDG=SADHF其中正确的结论有（E Fz/BcA. 1B. 2C.9.如图，正方形 ABCD 的边长为 10, AG=CH=8,()AC于点 M，过点 D 作DE /BF交AB于点 E,交AC于点 N,连接FN ,EM则下列结 论：DN BM:EM/FN;AE FC;当AO AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题11.如图，在矩形

5、ABCD 中，/ BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,点 G）个3D. 4BG=DH=6,连接 GH,则线段 GH 的长为C. 2.4D. 3.5B.2 210.如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点 0,过点 B 作BF AC交CD于点 F,交是 EF 的中点，连接 CG, BG, BD, DG,下列结论： BC=DF；DGF 135;325 BG DG ;AB AD，则S,.BDGsFDG，正确的有 _ .44厂3DA12.如图，在 ABC 中，AB= 3, AC= 4, BC= 5, P 为边 BC 上一动点，PEL AB 于 E,13.如图，在等边AABC

6、和等边厶DEF中，FD在直线AC上，BC 3DE 3,连接314.已知在矩形ABCD中，AB ,BC 3,点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且2AP PQ,当 AP PQ 时，AP _.AD15.如图，长方形纸片 ABCD 中,AB= 6 cm,BC= 8 cm 点 E 是 BC 边上一点，连接 AE 并将 AEB 沿 AE 折叠，得到 AEB,以 C, E, B为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为_ cm.16.如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将 ABE 沿 AE 对折至AFE 延长 EF 交 CD 于G,接 CF, AG.下列结论： AE/ FC / EAG 45

7、，且 BE DG EG ;1SCEF9S正方形ABCD:AD 3DG，正确是-（填序号）.17.如图，正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 为 AD 的延长线上一点，且 DE= DC,点 P 为边 AD 上一动点，且 PC 丄 PG, PG= PC,点 F 为 EG 的中点.当点 P 从 D 点运动到 A 点时，则19.在平行四边形 ABCD 中, AE 平分/ BAD 交边 BC 于 E, DF 平分/ ADC 交边 BC 于 F,若 AD=11,EF=5,贝 U AB=_ _.20._ 如图，在 RtAABC 中，/ACB= 90, AC= 8 , BC= 6，点 D 为平面内动点，且满

8、足 AD =4,连接 BD,取 BD 的中点 E,连接 CE则 CE 的最大值为 _.18.如图，矩形ABCD中，CE于点F，过点E作EN BE，交BC =_.CB BE，延长BE交AD于点M，延长CE交ADBA的延长线于点N,FE 2, AN 3，贝Utic三、解答题21.如图，在RUABC中，ACB 90，过点C的直线MN/AB,D为AB边上一点，过点D作DE BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1 )当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(2)当D为AB中点时，A等于_ 度时，四边形BECD是正方形.22.在矩形 ABCD 中，AE! BD 于点 E

9、,点 P 是边 AD 上一点，PF 丄 BD 于点 F, PA= PF.(1) 试判断四边形 AGFP 的形状，并说明理由.(2) 若 AB= 1 , BC= 2，求四边形 AGFP 的周长.23.如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE,/A=ZD,AF=DC.(1) 求证：四边形 BCEF 是平行四边形；(2)_ 若/ DEF=90, DE=8, EF=6，当 AF 为_ 时，四边形 BCEF 是菱形.24.在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒 1 个单位的速度沿着B A的路径运动，运动时间为t(秒)以BE为边在矩形A

10、BCD的内部作正方形BEHG.(1) 如图，当ABCD为正方形且点H在ABC的内部，连结AH ,CH，求证：AH CH;(2)_ 经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有 _ 条；(3) 当AB 9,BC 12时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成 1: 3 两部分，求t的 值.25.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 ,得到线段CQ,连接BP,DQ.3如图丙，若BCP为等边三角形，探索线段PD,PE之间的数量关系，并说明理由BEDQ；fi26.如图，在平面直角坐标系中，已知？OABC 的顶点 A (10, 0)、C (2, 4),点 D 是 OA 的

11、中点，点 P 在 BC 上由点 B 向点 C 运动.(1) 求点 B 的坐标；(2) 若点 P 运动速度为每秒 2 个单位长度，点 P 运动的时间为 t 秒，当四边形 PCDA 是平 行四边形时，求 t 的值；(3) 当ODP 是等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标.1C尹B0AK27.如图 1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF EC，且EF EC，连接AF，过点F作FN垂直于BA的延长线于点N.(1 )求EAF的度数；(2)如图 2,连接 FC 交BD于M，交AD于P，试证明：BD BG DG AF 2DM.28.已知：如下图，“ABC和兰BCD中，BAC BDC 90,E为BC的中

12、点，连接 DE、AE 若DC | AE,在DC上取一点F，使得DF DE，连接EF交AD于0(1) 求证：EF DA.(2) 若BC 4,AD 2、3，求EF的长29.如图，等腰直角三角形 OAB 的三个定点分别为 0(0,0)、A(0,3)、B( 3,0)，过 A 作3的速度同时从点 A 出发向右运动，当四边形2运动，设运动时间为t.当 C、D 停止运动时，将 OAB 沿 y 轴向右翻折得到AOABi，ABi与 CD 相交于点 E, P 为 x 轴上另一动点.(1)求直线 AB 的解析式，并求出 t 的值.当 PE+PD 取得最小值时，求PD2PE22PD PE的值设 P 的运动速度为 1，

13、若 P 从 B 点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表 示厶 PAE的面积.V4；-c 丿/乓-7-X/XR0P C Si30.如图，在矩形 ABCD 中，AB 16， BC 18，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把 EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B处.(I) 若 AE 0 时，且点 B恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB的长；(II) 若 AE 3 时，且厶 CDB是以 DB为腰的等腰三角形，试求DB的长；(III) 若 AE 8 时，且点 B落在矩形内部(不含边长)，试直接写出DB的取值范围.y 轴的垂线li.点 C 在

14、x 轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D 在li上以每秒ABCD 为平行四边形时 C、D 同时停止【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. A解析：A【解析】【分析】1由 AAS 证明 ABG DEG，得出 AG=DG，证出 0G 是厶 ACD 的中位线，得出 0G=21CD=AB，正确；先证明四边形 ABDE 是平行四边形，证出 ABD、 BCD 是等边三2角形，得出 AB=BD=AD，因此 OD=AG，得出四边形 ABDE 是菱形，正确；由菱形的性质得得出厶 ABGBDGDEG，由 SAS 证明 ABGDCO，得出 ABO BCO CDOAOD 也厶 ABG BDGDEG，

15、得出不正确；证出 0G1是厶 ABD 的中位线，得出 OG/AB , OG= AB，得出 GOD ABD ,2 ABFOGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=SAABF；不正确；即可得出结果【详解】解：四边形 ABCD 是菱形，AB BC CD DA,AB/CD,OA OC,OB OD, AC BDBAGEDG严ABO兰BCO CDO AODVCD DEAB DE在厶 ABG 和厶 DEG 中，BAG EDGAGB DGEAB DEABGDEG (AAS ),AG=DG ,OG 是厶 ACD 的中位线，11OG= CD= AB，正确；22/ AB/CE , AB=DE ,四边

16、形 ABDE 是平行四边形，/ BCD= / BAD=60 , ABD、 BCD 是等边三角形， AB=BD=AD，/ ODC=60 , OD=AG，四边形 ABDE 是菱形，正确； AD 丄 BE,由菱形的性质得： ABG BDG DEG ,在厶 ABG 和厶 DCO 中，OD AGODC BAG 60AB DC ABG DCO ABO 也厶 BCOBACDOAOD 也厶 ABG BDG DEG，贝不正确。/ OB=OD, AG=DG OG 是厶 ABD 的中位线，1 OG/ AB, OG=AB,2 GODABD , ABF OGF ,1 GOD 的面积= ABD 的面积， ABF 的面积=

17、 OGF 的面积的 4 倍，AF:OF=2: 1,4 AFG 的面积= OGF 的面积的 2 倍，又 GOD 勺面积= AOG 的面积= BOG 的面积， S四边形ODGF=SABF；不正确；故答案为：A.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大2.D解析：D【解析】【分析】根据已知和正方形的性质推出/EAB=/ DAF,/ EBA=/ ADP, AB=AD,证厶 ABEAADF 即可；取 EF 的中点 M，连接 AM,推出 AM=MF=EM=DF，证/ AMB= / FMB, B

18、M=BM, AM=MF，推出 ABMAFBM 即可；求出/ FDC=/ EBF,推出 BEFADFC 即可.【详解】解：正方形 ABCD, BEXED, EA! FA, AB=AD=CD=BC / BAD=/ EAF=90 = / BEF,/ APD=/ EPB/ EAB=/ DAF,/ EBA=/ ADP,/ AB=AD, ABEAADF,.正确； AE=AF, BE=DF, / AEF=/ AFE=45 ,取 EF 的中点 M,连接 AM , AM 丄 EF, AM=EM=FM , BE/ AM,/ AP=BP, AM=BE=DF, / EMB=/ EBM=45 , / AMB=90 +4

19、5135=/ FMB ,/ BM=BM , AM=MF ,ABMAFBM, AB=BF, 正确； / BAM=/ BFM ,/BEF=90,AM!EF, / BAM+/ APM=90 , / EBF+/ EFB=90 ,/APF=/EBF,/ AB / CD, / APD=/ FDC,/EBF=/FDC,/ BE=DF, BF=CDBEFADFC CF=EF / DFC=Z FEB=90 ,正确；正确；7JDc故选 D.【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三 角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行 推理是解

20、此题的关键.3.D解析：D【解析】【分析】由于四边形 DPBQ 为平行四边形，则 BC/ DP,即卩 DP 丄 AC, P 为 AC 中点，作出平行四边 形，再利用平行线的距离相等可知：PC 就是 CDPBQ 的边 PD 所对应的高，代入面积公式求出面积即可求得面积.【详解】当点 P 运动到边 AC 中点（如图），即 CP=3时，以 D, P, B, Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边 BC 上.四边形 DPBQ 为平行四边形，/ DPC=90 即 DPI AC.而在 RtA ABC 中，AB=4、3, BC=2、.3,根据勾股定理得： AC=6,DAC 为等腰直角三角形，1DP=CF=

21、 -AC=32，/ BC/ DP, PC 是平行四边形 DPBQ 的高， S平行四边形DPBQ=DP?CP=3 3=9.故选 D.【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得 出结论.4.D解析：D【分析】先求证四边形 AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利 用面积法可求得 AP 最短时的长，然后即可求出 AM 最短时的长.【详解】解：连接 AP,在厶 ABC 中，AB=6, AC=8, BC=10,/ PE 丄 AB, PF 丄 AC,四边形

22、 AFPE 是矩形, EF=AP / M 是 EF 的中点, AM=丄AP2，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短, 即 AP BC 时，AP 最短，同样 AM 也最短， AP 最短时，AP=-,5一1 12.当 AM 最短时，AM= AP=.25故选：D.【点睛】 此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度.5.D解析：D【分析】延长AD、BC交于点 G,根据三线合一性质推出ABG是等腰三角形，从而可得AG的中点，E 是AB的中点，再利用中位线定理即可得【详解】如图，延长AD、BC交于点

23、G BD平分ABC,AD BD于点 DABD GBD , ADB GDB 90-SZABC= BC?AP=21AB?AC,2/ BAC=90, BAD GAB BG, D 是AG的中点/ DE/BGE 是AB的中点，F 是AC的中点，DE是ABG的中位线，EF是ABC的中位线1EF BC 2,BG 2DE2又EF 2DFDF 1DE EF DF 3BG 2DE 6AB 6本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形 是解题关键错因分析：容易题失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不 到位.6.B解析：B【解析】【分析】根据中点定义得出DE=CE再根

24、据折叠的性质得出DE=EFAF=AD,ZAFE=ZD=90 ,从而 得出 CE=EF连接 EG,利用“H 证明 EC3AEFQ 根据全等三角形性质得出 CG=FG 设CG=a,贝 U BC=4a,根据长方形性质得出 AD=BC=4a,再求出 AF=4a,最后求出 AG=AF+FG=5a,最后利用勾股定理求出 AB ,从而进一步得出答案即可.【详解】如图，连接 EG,点 E 是 CD 中点， DE=EC根据折叠性质可得：AD=AF, DE=EF / D=ZAFE=90 , CE=EF在 RtAECG 与 RtAEFG 中,/ EG=EG EC=EF RtAECa RtAEFG ( HL), CG

25、=FG设 CG=a,- BG=3CG=3a,BC=4a, AF=AD=BC=4a.AG=5a.在 Rt ABG 中,AB ,AG2BG24a，AD 1AB，故选 B.【点睛】本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概 念是解题关键，7. A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB,从而证明AADE也文CDF且ADC 90,即证明DE DF和厶DEF是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积1SAABC；再根据勾股定理求得 EF,即可得到答案.2【详解】ACB 90，AC BC 2AB. 22222 &A B 45故SACDGSADHF点 D

26、是 AB 的中点1 CD AB，且AD BD CD AB2DCB 45A DCF,在厶ADE和么CDF中AD CDA DCFAE CFADE旦KDF SAS-DE DF,ADE CDF CD ABADC 90EDF EDC CDF EDC厶DEF是等腰直角三角形TziADE旦兰CDFAADE和巴CDF的面积相等 D 为 AB 中点1AADC的面积ABC的面积2四边形 CEDF 面积S,EDCSCDFS,.EDC当DE AC，DF BC时，EF2值最小根据勾股定理得：EF2DE2DF2此时四边形 CEDF 是正方形即EF CD、2EF2（、2）22正确的个数是 4 个故选：A.【点睛】本题考察了

27、等腰三角形、 全等三角形、 正方形、 直角三角形、勾股定理的知识； 解题的关 键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解.8.B解析：B【分析】关键结合图形证明 CH3AEGD,即可逐项判断求解【详解】ADEADC90Sj.ADES“.ADCABC；故SACDGSADHF解： DF=BD,/DFB=ZDBF,/AD/ BC, DE=BC四边形 DBCE 是平行四边形，/ DFB=ZGBC, / DEC=Z DBC=45 ,/DEC=2/ EFB,/EFB=22.5, /CGB=ZCBG=22.5, CG=BC=DE/ DE=DC,/DEG=ZDCE,/GHC=Z

28、CDF+ZDFB=90+22.5112.5/DGE=180 -(/BGD+ZEGF),=180 (/BGD+ZBGO,=180 (180ZDCG) -2=180 (180 -45 -2=112.5 ，ZGHC=ZDGE，CHGAEGD,ZEDG=ZCGB=ZCBFZGDH=90 -ZEDGZGHD=ZBHC=90-ZCGBZGDH=ZGHD故正确；ZGDH=ZGHD又ZEFB=22.5,ZDHG=ZGDH=67.5ZGDF=90-ZGDH=22.5=ZEFB, DG=GF, HG=DG=GF HF=2HG,显然 C 字 HF=2HG,故正确；/CHGAEGD,SCHGSEGDSCHGSDHGS

29、EGDSDHG即SA CDGS四边形DHGE而SADHF=足边形DHGESEFG,故不正确；结合前面条件易知等腰三角形有 ABD,ACDB,ABDF,ACDE BCG, DGH, EGF, CDG, DGF 共 9 个，.错误；故正确的有，有 2 个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判 定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关 键.9. B解析：B【分析】延长 BG 交 CH 于点 E,根据正方形的性质证明厶 AB3ACDHABCE 可得 GE=BE-BG=2, HE=CH-CE=2 / HEG=9

30、0从而由勾股定理可得 GH 的长.【详解】解：如图，延长 BG 交 CH 于点 E,四边形 ABCD 是正方形，./ABC=90 , AB=CD=10/ AG=8 , BG=6, AG2+BG2=AB2,/AGB=90 ,/ 1 + Z 2=90,又/ 2+Z 3=90 ,:丄仁/ 3 ,同理：/ 4=Z6 ,在AABG 和 CDH 中，AB= CD= 10AG= CH= 8BG= DH= 6ABGACDH ( SSS,/仁/5, /2=Z6,/2=Z4,在厶 ABG 和厶 BCE 中，/1= Z3,AB=BC,Z2= Z4,ABGBABCE(ASA), BE=AG=8, CE=BG=6/BE

31、C=ZAGB=90, GE=BE- BG=8- 6=2,同理可得 HE=2,在 RtAGHE 中，GH.GE?HE2一22一222,2，故选：B.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运 用，通过证三角形全等得出 GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关 键.10.D解析：D【分析】通过判断厶 ANDACMB 即可证明，再判断出 ANEACMF 证明出，再证明出 NFMMEN，得到/ FNM= / EMN，进而判断出，通过 DF 与 EB 先证明出四边形为平 行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到/NDO=ZABD=30进而得到 D

32、E=BE即可知四边形为菱形.【详解】/ BF 丄 AC / BMC=90又DE /BF / EDO=ZMBO，DE 丄 AC/DNA=ZBMC=90四边形 ABCD 为矩形 AD=BC, AD/ BC，DC/ AB/ADB=ZCBD / ADB-ZEDO=ZCBD-/ MBO 即/ AND=ZCBM在厶 AND 与厶 CMBDNA BMC 90AND CBMAD BCANDBACMB(AAS) AN=CM，DN=BM，故正确./AB/ CDZNAE=ZMCF又/DNA=ZBMC=90/ ANE=/ CMF=90在 ANE 与 CMF 中ANE CMF 90AN CMNAE MCFANEBACM

33、F(ASA) NE=FM, AE=CF 故正确.在厶 NFM 与厶 MEN 中FM NEFMN ENM 90MN MNNFMBAMEN(SAS/FNM=ZEMN NF/ EM，故正确./ AE=CF DC-FC=AB-AE 即 DF=EB又根据矩形性质可知 DF/ EB四边形 DEBF 为平行四边根据矩形性质可知 OD=AO，当 AO=AD 时，即三角形 DAO 为等边三角形/ ADO=60又 DN 丄 AC根据三线合一可知/ NDO=30又根据三角形内角和可知/ ABD=180丄DAB-/ ADB=30故 DE=EB四边形 DEBF 为菱形，故正确.故正确故选 D.【点睛】本题矩形性质、全等

34、三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是 解题关键 .二、填空题11 . 【分析】由矩形的性质可得 AB=CD AD=BC / BAD=/ ABC=/ BCD=/ ADC=90 , AC=BD 由角平分 线的性质和余角的性质可得/F=/ FAD=45 ,可得 AD=DF=BC 可判断；通过证明 DCGBABEG 可得/ BGE=/ DGC, BG=DQ 即可判断；过点 G 作 GH 丄 CD 于 H,设AD=4x=DF, AB=3x，由勾股定理可求 BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得15 2HG=CH=FH 七 x, DG=GB= x,由三角形面积公式可求解，可判断.2

35、2【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD, AD=BC / BAD=Z ABC=Z BCD=Z ADC=90 , AC=BD,/ AE 平分/ BAD,/ BAE=Z DAE=45 ,/ F=Z FAD, AD=DF , BC=DF,故正确；/ EAB=Z BEA=45 , AB=BE=CD/ CEF=/ AEB=45 , / ECF=90 , CEF 是等腰直角三角形，/点 G 为 EF 的中点, CG=EG / FCG=45 , CG AG,/ BEG=Z DCG=13 ,在厶 DCG 和厶 BEG 中，BE=CDBEG= DCG,CG=EGDCGA BEG (SAS)./ B

36、GE=/ DGC, BG=DG,/ BGE/ AEB, / DGC=/ BGE 45 ,/ CGF=90, / DGFf02 2【分析】根据点P在直线BC上，点Q在直线CD上，分两种情况：1.P、Q 点位于线段上；点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解【详解】解：当 P 点位于线段 BC 上, Q 点位于线段 CD 上时：四边形 ABCD 是矩形AP PQ,/BAP=ZCPQ,/APB=ZPQC/ AP PQ ABP PCQ33 3 PC=AB= , BP=BC-PC=3=22 2AP=.（3）2（3）2=2 &N 222当 P 点位于线段 BC 的延长线上，

37、Q 点位于线段 CD 的延长线上时2.P、Q四边形 ABCD 是矩形AP PQ, /BAP=ZCPQ,/APB=ZPQC/ AP PQ-“ABP仝PCQ339PC=AB=- , BP=BC+PC=3+ =-2 22故答案为：或2 2【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题 的关键.15.3 或 6【详解】1/ B EC=90 时，如图 1,/ BEB =9Q由翻折的性质得/AEB=/AEB=rX9045,ABE 是等腰直角三角形， BE=AB=6cm；2/ EB C=90 时，如图 2,由翻折的性质/ AB E/ B=90 , A、B、C 在同一直

38、线上，AB，=ABBE=B，,由勾股定理得，AC=.AB2BC2 6282=10cm,/ B， C=-60=4cm,设 BE=B E=,贝 y EC=8-X在 RtAB，E 中, B，EB，2=EC2,即X2+42= (8-x)2,解得 x=3,即 BE=3cm,综上所述，BE 的长为 3 或 6cm.故答案为 3 或 6.16.【分析】1根据折叠得 ABEAAFE,证明 EFC 是等腰三角形，得到/ EFC=Z ECF,根据/ BEF=ZEFC+ZFEC 得出/ BEA=ZAEF=ZEFCN ECF 即可证明 AE/ FC,故正确；根 据四边形 ABCD 是正方形，且 ABEAAFE,证明

39、RtAAFG RtAADG，得出/ FAG=ZGAD,根据/ BAF+ZFAD=90,推出/ EAF+ZFAG=45,可得/ EAG=45,根据 全等得：BE=FE DG=FG,即可得 BE+DG=EF+GF=EG 故正确；先求出 SAECG,根据 EF：a a12FG= :=3:2,得出SA EFC&FCG=3:2,即&EFC=a,再根据SABCD=S2,得出 &CEF2310121SAABCD=a:a2,即SACE=SABCD,故错误；设正方形的边长为a,根据勾股定理10 10得 AE=. AB2BE2n-a,设 DG=X,贝 y CG=a-x FG=XEG=a+X,再根据勾股定理求出2

40、2X,即可得出结论，故正确.【详解】解：由折叠可得 ABEAAFEZBEA=ZAEF, BE=EF E 是 BC 中点, BE=CE=EFEFC是等腰三角形，ZEFC=/ECF/ZBEF=ZEFC+/ FECZBEA=ZAEF=ZEFCK ECF AE / FQ 故正确；2/四边形 ABCD 是正方形，且厶 ABEAAFE, AB=AF=AD,ZB=ZD=ZAFG AFG 和厶 ADG 是直角三角形，AF AD在 RtAAFG 和 RtAADG 中AG AG RtAAF3 RtAADG(HL),/FAGN GAD,又/BAF+ZFAD=90, 2ZEAF+2/ FAG=90,即ZEAF+ZFA

41、G=45,ZEAG=45,由全等得：BE=FE DG=FG BE+DG=EF+GF=EG 故正确；3对于 RtAECG1ia21SECGFXECXCG=X Xa= 22236 EF: FG= : - =3: 2 ,23贝USAEFCSAFCG=3 : 2 ,即 SkEF(= 2,10又TSABcD=a2,121则 SACEFSAABCD=:2,即& CEf=SABCD,故错误；10 104设正方形的边长为 , AB=AD=AF= BE=EF= =EC2，由勾股定理得 AE= AB2_5,2设 DG=x,贝UCG=-x FG=xEG= +x ,2二 EG2=EC?+CG,即(+x)2= ()2+

42、 (a-x)2,2 2解得 x=, CG=,33即 AD=3DG 成立，故正确.【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键.17.2 2【分析】由正方形 ABCD 的边长为 4,得出 AB=BC=4,ZB=90,得出 AC=. 2，当 P 与 D 重合时，PC=ED=PA 即 G 与 A 重合，贝UEG 的中点为 D,即 F 与 D 重合，当点 P 从 D 点运动到A 点时，则点 F 运动的路径为 DF,由 D 是 AE 的中点，F 是 EG 的中点，得出 DF 是 EAG 的中位线，证得/ FD

43、A=45，贝 U F 为正方形 ABCD 的对角线的交点， CF 丄 DF,此时 CF 最1 _小，此时 CF=，AG=22-【详解】解：连接 FD正方形 ABCD 的边长为 4, AB=BC=4,Z B=90 ,二 AC=4、2,当 P 与 D 重合时，PC=ED=PA 即卩 G 与 A 重合， EG 的中点为 D,即卩 F 与 D 重合，当点 P 从 D 点运动到 A 点时，则点 F 运动的轨迹为 DF,/ D 是 AE 的中点，F 是 EG 的中点， DF 是厶 EAG 的中位线， DF/ AG,/ CAG=90，/ CAB=45 ,/ BAG=45 ,/ EAG=135 ,/ EDF=

44、135 ,/ FDA=45 , F 为正方形 ABCD 的对角线的交点， CF 丄 DF,此时 CF 最小，1此时 CF AG=2 2；2故答案为：2J2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键18.6十6 3【分析】通过四边形 ABCD 是矩形以及CE CB BE，得到 FEM 是等边三角形，根据含 30直 角三角形的性质以及勾股定理得到KM, NK, KE 的值，进而得到 NE 的值，再利用 30直角三角形的性质及勾股定理得到BN, BE 即可.【详解】解：如图，设 NE 交 AD 于点 K,四边形 ABCD 是矩形， AD/BC,ZABC=90,/MFE=ZFCB

45、/FME=ZEBC CE CB BE, BCE 为等边三角形，/BEC=/ ECB 玄 EBC=60 ,/FEM=/BEC, / FEM=/ MFE=/ FME=60 , FEM 是等边三角形， FM=FE=EM=2/ EN 丄 BE,/NEM=/NEB=90, / NKA=/ MKE=30 , KM=2EM=4, NK=2AN=6,在 RgKME 中，KE=.；KM2EM22 3， NE=NK+KE=62 3,/ABC=90 , / ABE=30 , BN=2NE=12+4 3,BE=. BN2NE2663，-BC=BE=6 + 63,故答案为：6+63【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性

46、质，以及含30直角三角形的性质与勾股定理的应用,解题的关键是灵活运用 30直角三角形的性质.19.8 或 3【分析】根据 AE 和 DF 是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线 的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论.【详解】解：当 AE 和 DF 相交时，如下图所示四边形 ABCD 为平行四边形，AD=11, EF=5, BC=AD=11 , AD / BC, AB=CD/ DAE= / BEA，/ ADF= / CFD/ AE 平分/ BAD, DF 平分/ ADC/ DAE= / BAE，/ ADF= / CDF./ BEA= / BAE，/ CFD=

47、 / CDF BE=AB , CF=CD BE=AB= CD= CF/ BE + CF=BC + EF 2AB=11 + 5解得：AB=8 ;当 AE 和 DF 不相交时，如下图所示四边形 ABCD 为平行四边形，AD=11, EF=5, BC=AD=11 , AD / BC, AB=CD/ DAE= / BEA，/ ADF= / CFD/ AE 平分/ BAD, DF 平分/ ADC / DAE= / BAE，/ ADF= / CDF / BEA= / BAE , / CFD= / CDF BE=AB , CF=CD BE=AB= CD= CF/ BE + CF+ EF =BC 2AB +

48、5=11解得：AB=3综上所述：AB=8 或 3故答案为：8 或 3.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质, 掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关 键.20.【分析】作 AB 的中点 E,连接 EM、CE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形 的中位线定理求得 CE 和 EM 的长，然后确定 CM 的范围.【详解】解：作 AB 的中点 M，连接 EM、CM.在 RtAABC 中，AB=. AC2BC2=8262=10，/ M 是直角 ABC 斜边 AB 上的中点，“ 1CM = - AB= 5

49、.2 E 是 BD 的中点，M 是 AB 的中点，1.ME = -AD= 2.2.5-2wCE5+2,即 3WCE7.最大值为 7,故答案为：7.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键.三、解答题21.(1)四边形BECD是菱形，理由见解析；(2)45【分析】(1) 先证明AC/DE，得出四边形BECD是平行四边形，再 根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半”证出CD BD，得出四边形BECD是菱形；(2)先求出ABC 45，再根据菱形的性质求出DBE 90，即可证出结论.【详解】解：当点D是AB的中点时，四边形BECD

50、是菱形；理由如下： DE BC,DFE 90,/ ACB 90,ACB DFB,AC/DE,/MN /AB，即CE/AD,四边形ADEC是平行四边形，CE AD；/ D 为AB中点，AD BD,BD CE,/BD/CE,四边形BECD是平行四边形，ACB 90,D为AB中点，1CD AB BD,2四边形BECD是菱形；(2)当A 45时，四边形BECD是正方形；理由如下： ACB 90，A 45，ABC 45,四边形BECD是菱形，1ABC DBE,2DBE 90,四边形BECD是正方形.故答案为：45.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段 相

51、等和直角是解决问题的关键.22.(1)四边形 AGFP 是菱形，理由见解析；(2)四边形 AGFP 的周长为：2 5 2【分析】(1) 根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；(2 )根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可.【详解】解：(1)四边形 AGFP 是菱形，理由如下：四边形 ABCD 是矩形，/ BAP= 90,/ PF 丄 BD, PA= PF,/ PBA=Z PBF,/ AE 丄 BD,/ PBF+Z BGE= 90BAP= 90/ PBA+/APB= 90,/APB=ZBGE,/AGP=ZBGE/APB=ZAGP,AP = AG,/ PA= PF,AG= PF,/ A

52、E 丄 BD, PF 丄 BD,AE/ PF,四边形 AGFP 是平行四边形，/ PA= PF,平行四边形 AGFP 是菱形；(2 )在 RtAABP 和 RtAFBP 中，/ PB= PB, PA= PF,RtAABPRtAFBP(HL),AB= FB=1,四边形 ABCD 是矩形，AD= BC= 2,BD=12225,设 PA= x，则 PF= x, PD= 2 -x, PF= ,5 - 1,在 RtADPF 中, DF2+PF=PD2,C、5 1)2X2(2 x)2解得：x= _L,2四边形 AGFP 的周长为：4x= 4X51252.2【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形

53、的判定和性质和勾股定理，解题的关键是 熟练掌握所学的知识定理进行解题.1423.(1)详见解析；(2).5【分析】(1 )由 AB=DE,ZA=ZD, AF=DC,易证得 ABC DEF (SAS，即可得 BC=EF,且BC/ EF,即可判定四边形 BCEF 是平行四边形；(2 )由四边形 BCEF 是平行四边形，可得当 BE 丄 CF 时，四边形 BCEF 是菱形，所以连接 BE,交CF 与点 G,由三角形 DEF 的面积求出 EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案.【详解】(1)证厶 AEHACGH( SAS，即可得出AH=CH;(1) 证明：TAF=DC, AC=DF,在厶

54、 ABC 和厶 DEF 中，AB DEA D,AC DFABCADEF(SAS, BC=EF,ZACB=ZDFEBC/ EF,四边形 BCEF 是平行四边形；(2) 如图，连接 BE,交 CF 于点 G,EF=6,DF=-DE2EF2、8262=10， SADEF-EG DF2-EF DE,2 EG 81024T， FG=CG.EF2EG26224218,5AF=CD=DF-14故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及24.(1)见解析；(2) 1 条；(3)t72或t18115

55、当 BEXCF 时， 四边形 BCEF 是菱形,/ DEF=90, DE=8,(1)证厶 AEHACGH( SAS，即可得出AH=CH;【分析】2，连接 BD 交 AC 于 0,作直线 OE 即可；1分两种情况：连接 AH 交 BC 于 M，证出 BM=CM=亍 BC=6,由题意得BE=BG=EH=GH=,t 则 AE=9-t，GM=6-t，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；1连接 AH 交 CD 于 M ,交 BC 的延长线于 K,证出 DM=CM= CD,证厶 KCMMAADM 得2CK=DA=12 贝 y BK=BC+CK=24 且 BE=BG=EH=GH=t贝 y AE=9-t,

56、GK=24-t，由三角形面积关 系得出方程，解方程即可.【详解】解：(1).四边形BEHG是正方形，BE BG ,BEH BGH 90,AEH CGH 90,又AB BC,AE CG,又/EH HG,AEH CGH (SAS),AH CH .解：连接 BD 交 AC 于 O,如图 1 所示：图 1作直线 OE,则直线 OE 矩形 ABCD 面积平分，即经过点 E 且把矩形 ABCD 面积平分的直线有 1 条, 故答案为：1 ；(3)解：分两种情况：如图 2 所示：连接 AH 交 BC 于 M ,四边形 ABCD 是矩形，ABC 的面积= ADC 的面积，直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成

57、 1 : 3 两部分, ABM 的面积= ACM 的面积，1BM=CM= CD=6由题意得： BE=BG=EH=GH=,贝 U AE=9-t, GM=6-t,ABM 的面积= AEH 的面积+正方形 BEHG 的面积+ GHM 的面积,1 19=t(9-t)+t2t(6-t),18;5四边形 ABCD 是矩形，/ MCK=Z B=Z D=Z BCD=90, AD=BC=12, CD=AB=9,A ABC 的面积= ADC 的面积,直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1 : 3 两部分，ADM 的面积= ACM 的面积，19DM=CM= CD=_ ,22D MCK在厶 KCM 和厶 ADM

58、 中，DM CMAMD KMCKCMAADM(ASA), CK=DA=12,BK=BC+CK=24由题意得：BE=BG=EH=GH=t 贝 U AE=9-t, GK=24-t,/ ABK 的面积= AEH 的面积+正方形 BEHG 的面积+ GHK 的面积,1 1 12x24x9= t(9-t)+t2+2t(24-t),72解得：t 117218综上所述，t或t1157218故答案为：t或t115【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题ADEE.WC二

59、 5(3如图3 所示：连接 AH 交 CD 于 M,交 BC 的延长线于 K,解得:的关键.25.（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）ADEP 为等腰直角三角形，理由 见试题解析【分析】(1)根据正方形性质得出 BC= DC,根据旋转图形的性质得出CP= CQ 以及/ PCB= / QCD,从而得出三角形全等来得出结论；(2) 由(1)知/ PBC=ZQBC, BE 和 CD 交点为 F,根据对顶角得出/ DFE=ZBFC,从而 说明 BE 丄QD；(3) 根据等边三角形的性质得出 PB= PC= BC,ZPBC=ZBPC=ZPCB= 60则/ PCD= 30 根据BC= DC,

60、 CP= CQ 得出 PCD 为等腰三角形，然后根据 DCQ 为等边三角形，从 而得出/ DEP=90从而得出答案.【详解】(1)证明四边形 ABCD 是正方形， BC= DC,又将线段 CP 绕点 C 顺时针旋 90得到线段 CQ,CP= CQ / PCQ= 90/PCDZQCD=90又/PCB+ZPCD= 90 /PCB=ZQCD在厶 BCP 和厶 DCQ 中，BC=DC, CP=CQ/PCB=ZQCD,BCPADCQ/CBP=ZCDQ;(2)证明：BCPA DCQ,/PBC=ZQDC,/DFE=ZBFC, /FEDZFCB= 90 BE 丄 QD;(3 ) DEP 为等腰直角三角形，理由