高数A下第八章第五节ppt课件

1、第五节第五节 平面及其方程平面及其方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程两平面的夹角两平面的夹角点到平面的距离点到平面的距离xyzOn 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法线向量的特征：法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量.知知),(CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量一块平面可以有许多法向量.0M M 一平面一平面,这向量就叫做该平面这向量就叫做该平面的的法线向量法线向量(法向量法向量).则平面唯

2、一确定，则平面唯一确定，求其方程求其方程.xyzO MM0平面的点法式方程平面的点法式方程例如过点例如过点(2,-3,0),且以向量且以向量(1,-2,3)为法线向量的平为法线向量的平面方程为？面方程为？0)()()(000 zzCyyBxxAn0MM平面上的点满足方程平面上的点满足方程, 不在平面上的点不满足方程不在平面上的点不满足方程.00 nMM),(0000zyxM已已知知点点),(zyxM平面上任一点平面上任一点),(000zzyyxx 0832 zyx),(CBAn 解解 21PP取取 n平面方程为平面方程为, 0)1(4)1()1( zyx化简得化简得. 024 zyx),4,

3、1, 1( 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程122011 kjin例例 .)0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321的的平平面面方方程程及及求求经经过过点点 PPP)0 , 1, 1( )1, 2, 2( 31PP3121PPPP 1P2P 3P 4, 1 , 1, CBA已知平面内两个向量，可用外积确定其法向量已知平面内两个向量，可用外积确定其法向量.平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxACzByAx D 0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量 CBAn, 二、平面的

4、一般方程二、平面的一般方程 任意一个形如上式任意一个形如上式0)(000 CzByAxABC的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程., 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0D平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论y轴轴轴轴zxOz面面 yOz面面0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程, 0 D设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入

5、得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例 设平面与设平面与x, y, z 三轴分别交于三轴分别交于求此平面方程求此平面方程.),0 , 0(),0 , 0 ,(bQaP),0, 0, 0( cba其其中中), 0 , 0(cR1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距 当平面不与任何坐标面平行当平面不与任何坐标面平行,且不过原点且不过原点时时,才有截距式方程才有截距式方程.012243 zyx将将化为截距式方程化为截距式方程,1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程用待定常数法用待定常数法

6、. 设平面过点设平面过点 及及x轴轴, 求其方程求其方程. 即即 法一法一0 DCzByAx设平面方程是设平面方程是0 CzBy从而平面方程是从而平面方程是02 CB 即即从而平面方程是从而平面方程是.2CB . 02 CzCy. 02 zy得得点点(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上, , 0 D A)2, 1 , 3(0 M设平面过点设平面过点 及及x轴轴,求其方程求其方程.用平面的点法式方程用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程由点法式方程得平面方程: 求法向量求法向量法二法二 kjkji 22130010)2( 1)1(2 zy即即)2, 1 , 3(0 M02 zy

7、0OMin xyzOn 0M 求平面方程常用两种方法求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的常数利用条件定出其中的待定的常数, 此方此方法也称待定常数法法也称待定常数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量平面的一个法向量.(1) 用平面的点法式方程用平面的点法式方程.(2) 用平面的一般方程用平面的一般方程.1 2 定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角. . 0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 1n2n),

8、(1111CBAn ),(2222CBAn 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有| |cos2121nnnn 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件222222212121212121|CBACBACCBBAA 取锐角取锐角),(1111CBAn ),(2222CBAn 例例 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系: :013, 012)1( zyzyx解解 cos601cos 两平面相交两平面相交,

9、.601arccos 夹角夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA ,31)1(2)1(|311201|22222 ,)0 , 1 , 1(1 M两平面平行但不重合两平面平行但不重合.01224, 012)2( zyxzyx解解),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行2)0 , 1 , 1( M212142 两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合02224, 012)3( zyxzyx解解,21 设平面为设平面为, 0 DCzByAx, 0 D0236 CBA)2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA .

10、 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2, 3, 6( 的平面方程为的平面方程为( ). nxyzO ),(CBA 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2, 3, 6( 的平面方程为的平面方程为( ). 解解)2, 1, 4()2, 3, 6( n)6, 4, 4( )3, 2, 2( 平面的点法式方程平面的点法式方程0322 zyx nxyzO ),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10( 0)1( 1)1(3)1(2 zy

11、x化简得化简得. 0632 zyx平面方程为平面方程为解解)1 , 3, 2(.例例 求过点求过点(1,1,1)且与平面且与平面7 zyx和平面和平面051223 zyx都垂直的平面方程都垂直的平面方程.0:),(0000 DCzByAxzyxP 是平面是平面设设外一点外一点,.0的距离的距离到平面到平面求求 P四、点到平面的距离四、点到平面的距离 ,),(1111 zyxPn0P ),(CBAn 1Pd并作向量并作向量.01PP的的距距离离到到平平面面 0P d|cos| |01 PP),(01之夹角之夹角的法向量的法向量与与是是nPP 即即 d|01PP|n|cos| |n|01nnPP

12、由于由于nPP 01),(111000CzByAxCzByAx D 1P222000|CBADCzByAxd d),(CBAn |01nnPP nPP 01DCzByAx 0000:),(0000 DCzByAxzyxP 到平面到平面点点的距离公式为的距离公式为222000|CBADCzByAxd 313 填空填空的的到到平平面面点点01022)1 , 1 , 1(0 zyxM).(距距离离为为解解222)1(22|101)1(1212| d313 两平行平面两平行平面 与与 间距离为间距离为( ),其其 的方程分别为的方程分别为:(A) 1(B)21(C) 2(D) 21A 选择题选择题, 0218419 zyx0428419 zyx2 1 ,1 2 222000|cBADCzByAxd 讨论讨论如何确定平面的法向量如何确定平面的法向量?(1) 如果已知点如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面在平面 上的垂足上的垂足为为M1(x1, y1, z1),那么