高数第章习题ppt课件

1、 ,duPdxQdyuu x y一一、理理解解两两类类曲曲线线积积分分的的概概念念，熟熟悉悉性性质质、关关系系、物物理理意意义义，熟熟练练掌掌握握计计算算；二二、理理解解两两类类曲曲面面积积分分的的概概念念，熟熟悉悉性性质质、关关系系、物物理理意意义义，熟熟练练掌掌握握计计算算；三三、熟熟悉悉并并能能灵灵活活使使用用格格林林公公式式、高高斯斯公公式式、斯斯托托克克斯斯公公式式；四四、熟熟悉悉曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关的的条条件件，已已知知 、 、会会求求；五五、在在线线、面面计计算算中中，适适当当注注意意对对称称性性来来简简化化计计算算；六六 本 本、会会求求曲曲线线、曲曲面面的的重

2、重心心、转转章章基基本本要要求求动动惯惯量量、质质量量、功功、通通量量、散散度度、旋旋度度、环环流流量量。iiiiiiiiim xm ym zx, y,z,mmm质质点点系系质质心心坐坐标标：xdsydszdsx, y,zdsdsds曲曲线线 的的质质心心：xdSydSzdSx, y,zdSdSdS 曲曲面面 的的质质心心： xiiiyiiiziiiImyz,Imxz,Imyx 2 22 22 22 22 22 2空空间间质质点点系系转转动动惯惯量量： xyzIyzds,Ixzds,Iyxds. 2 22 22 22 22 22 2空空间间曲曲线线 的的转转动动惯惯量量： xyzIyzdS,I

3、xzdS,IyxdS. 2 22 22 22 22 22 2空空间间曲曲面面 的的转转动动惯惯量量：FPiQjRkWPdxQdyRdz. 变变力力沿沿曲曲线线 作作功功: : vPiQjRk,PdydzQdzdxRdxdy. 速速度度场场通通量量( (流流量量, ,即即流流体体的的质质量量) ): : APiQjRk,APQRdivA.xyz向向量量场场则则 的的散散度度： APiQjRk,AijkrotA.xyzPQR 向向量量场场则则 的的旋旋度度： APiQjRk,APdxQdyRdz. 向向量量场场则则 沿沿 的的环环流流量量： 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲

4、线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终 第一类曲线积分计算方法：:( ),( ),( ).()xtytztt 222( , , ) ( ),( ),( )( )( )( )f x y z dsftttttt dt () 第二类曲线积分计算方法： ( ),( ),( )( ) ( ),( ),( )( ) ( ),( ),( )( )PdxQdyRdzPttttQttttRtttt dt ,.其其中中下下限限 对对应应于于 的的起起点点 上上限限 对对应应于于

5、的的终终点点( ):( ),( )xtytzt 其中 为有向曲线 上点x，y，z处的切向量的方向角。( , , )( , , )( , , ) ( , , )cos( , , )cos( , , )cos P x y z dxQ x y z dyR x y z dzP x y zQ x y zR x y zds 两两类类曲曲线线积积分分之之间间的的联联系系：注：对于封闭曲线, 可考虑用格林公式。、 、 a 例例1 1 求求半半径径为为 、中中心心角角为为2 2 的的均均匀匀园园弧弧（线线密密度度为为1 1）的的重重心心。 2220,cos:,sincossincos2sin ,sin2,.LL

6、LLLLx dsxdsyxdsdsxaLyaxdsaaadaadsax 故故 x解解：建建立立坐坐标标系系如如图图，将将园园弧弧中中心心放放在在坐坐标标原原点点，园园弧弧关关于于 轴轴对对称称。例2、 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx解法1.L的参数方程为：:L)cos1 (2txatyasin2)20( txaoyrt那么 22/ddttsxyt tad2 222220d1cos2.22Laaxystdta 故故 解法解法2: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(cos: arLdd22rrs原式22dcos22aa22ad278a （见见上上册册第第页页）ttad)cos1 (

7、例3. 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.解解:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2 21-1-Fyixy jyaxxaF 例例4 4 在在变变力力 作作用用下下，一一质质点点沿沿曲曲线线 从从点点 0,00,0 移移动动到到点点 1,0 ,1,0 ,试试确确定定参参数数 使使变变力力 作作的的功功最最小小。 2122202:1-,:01111121.306LL yaxxxW aydxxy dya x

8、xxaxxaaxdxaa 解解： /2/11,306156550,0,2252aaaWaWaaWa 令令得得驻驻点点又又故故当当时时、变变力力作作功功最最小小。(1) 利用对称性简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例5. 计算计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 利用利用曲线积分与曲线积分与路径无关：路径无关：令令,22xyQyxP那么xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIA

9、Bd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.解法解法2 用格用格林公式林公式 ：,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)332aBALyxyxyxId)(d)(22那么添加辅助线段解法解法3 直接法：直接法：思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213ABABLDyxdd2)32(2aa332aCoyxABLDLyxyxyxId)(d)(2213若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:方法之一是直接计算、方法之二用格林公式。考虑考虑: sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo

10、计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax解解: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆时针方向.ABABL例例6*. 例7 .设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解解:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x33kkFxiyj F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 8.4sinsin3cos-3cos3cos2,.xyxdxy

11、xdyu x yu x y 例例 验验证证表表达达式式: :是是某某二二元元函函数数的的全全微微分分，并并求求 6cos3 sin24sinsin3cos-3cos3cos2,PQyxyxxyxdxyxdyu x y 解解： 是是某某二二元元函函数数的的全全微微分分; ;Oyx( ,0)A x( , )B x y ,0,000,4sinsin3cos-3cos3cos24sinsin3cos-3cos3cos24sinsin3cos-3cos3cos2:0,:0:,:0,-3cos3cos2-3cos2cos3cos2 sin3x yOAAByyu x yxyxdxyxdyxyxdxyxdyx

12、yxdxyxdyOA yy xxxAB xx yyyu x yyxdyxydyxy .,cos2 sin3.u x yxyC 一一般般的的，二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分 第一类曲面积分计算方法： 若：z=z(x，y)，那么22( , , )( , , ( , ) 1xyxyDxyf x y z dSf x y z x yzz dxdyDxoy 是是在在面面上上的的投投影影。 第二类曲面积分计算方法： 若：z=z(x，y)，那么xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(上侧取正号，下侧取负号。其

13、中,，为有向曲面上点x，y，z处的法向量的方向角。( , , )( , , )( , , ) ( , , )cos( , , )cos( , , )cos P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y zQ x y zR x y zdS 两两类类曲曲面面积积分分之之间间的的联联系系：注：对于封闭曲面, 可考虑用高斯公式。2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化xzoy例例1. 设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时

14、针方向, 为平面解解: 记记2zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I2zyx2(423 )d3xyzS LD计算Dyxyxdd)6(2Dxyo11Dyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD 1222215220044122125 514sincos14420 xyDxyzdSxyzdSxy xyxydxdydrr dr 22.,:01IxyzdSzxyz 例例2 2 计计算算其其中中xozyozxy 解解：积积分分曲曲面面 关关于于面面和和面面对对称称、被被积积函函数数关关于于 、 都都是是偶偶函函数数，可可见见，只只须须算算出出

15、曲曲面面积积分分在在第第一一卦卦限限的的值值、再再四四倍倍。例例3*.证明证明: 设设(常向量)那么单位外法线向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量,n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0azyxo例例4.,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 解解: 以半球底面以半球底面0原式 =3323R032RP185 题题4(2) , P18

16、5 题题 9 同样可利用高斯公式计算同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用2222222.1y zdxdyz xdydzx ydzdxxyzxy 例例5 5 计计算算I I= =为为柱柱面面、抛抛物物面面及及坐坐标标面面在在第第一一卦卦限限所所围围闭闭曲曲面面的的内内侧侧。 22221222000548rIyzxdvdrdrrzdz 解解：xzoy例例6.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记记 为平面为平面2

17、zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLDDyxyxdd)6(2Dxyo11Dyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD 222222222.,0,0Iy dxz dyx dzxyzaxyax azx 例例7 7 计计算算其其中中 是是球球面面：与与柱柱面面：的的交交线线，从从 轴轴正正向向看看去去， 的的方方向向是是逆逆时时针针方方向向。解解：用用斯斯托托克克斯斯公公式式 2222220 xyzazxyax 记记上上半半球球面面被被柱柱面面截截下下的的部部分分为为取取上上侧侧 ，于于是是3cos22022,cos,cos,cos,cos,cos1222cos.4xyxyDDaIydxdyzdydzxdxdzdydzdS dxdzdS dxdydSxydydzdxdydxdydxdzdx