【公开课课件】6.2.3组合6.2.4组合数（课件）（人教A版2019选择性必修第三册）

1、人教A版2019 选择性必修第三册第六章第六章 计数原理计数原理6.2 排列与组合排列与组合6.2.3 组合组合6.2.4 组合数组合数从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法名去参加一项活动，有多少种不同的选法?这一问题与这一问题与6.2.1节的问题节的问题1有什么联系与区别有什么联系与区别?探究探究在在6.2.1节问题节问题1的的6种选法中，存在种选法中，存在“甲上午、乙下午甲上午、乙下午”和和“乙上午、甲乙上午、甲下午下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，名同学，然后再

2、分配上午和下午而得到的同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分然后再分配上午和下午而得到的同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有配上午和下午也都各有2种方法而从甲、乙、丙种方法而从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名去参名去参加一项活动，就只需考虑将选出的加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序于是，在的顺序于是，在6.2.1节问题节问题1的的6种选法中，将选出的种选法中，将选出的2名同学作为一名同学作为一组的选法就只有如下组的选法就只有如下3种情况：种情况：甲乙，甲丙，乙丙甲乙，甲丙，乙丙将具体背景舍去，上述问题可以概括为：将具

3、体背景舍去，上述问题可以概括为：从从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组个元素作为一组，一共有多少个不同的组?这就是我们要研究的问题这就是我们要研究的问题,(combinatio.()n)nnm mnm一一般般地地 从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元素素作作为为一一组组 叫叫做做从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元组组合合素素的的一一个个你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗?,(),.nm mn从从排排列列与与组组合合的的定定义义可可以以知知道道 两两者者都都是是从从 个个不不同同元元素素中中取取

4、出出个个元元素素 这这是是它它们们的的共共同同点点但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关只有元素相同且顺序但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的例如，在上述探究问题中，如何，都是相同的例如，在上述探究问题中，“甲乙甲乙”与与“乙甲乙甲”的元素的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列由此，以排列由此，以“元素相同元素

5、相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图对应关系，如图6.2-7所示所示甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙，乙甲甲乙，乙甲甲丙，丙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙乙丙，丙乙乙丙，丙乙组合组合排列排列由此，由此，6.2.1节问题节问题1的的6个排列可以分成每组有个排列可以分成每组有2个不同排列的个不同排列的3个组，也个组，也就是上面探究问题的就是上面探究问题的3个组合个组合校门口停放着校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆下面辆下面的问题是排列问题，还是组合问题的问题是排列问题，还是组合问题?（1）从中

6、选）从中选3辆，有多少种不同的方法辆，有多少种不同的方法?（2）从中选）从中选3辆给辆给3位同学，有多少种不同的方法位同学，有多少种不同的方法?组合问题组合问题排列问题排列问题例例5 平面内有平面内有A，B，C，D共共4个点个点（1）以其中）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条个点为端点的有向线段共有多少条?（2）以其中）以其中2个点为端点的线段共有多少条个点为端点的线段共有多少条?分析：（分析：（1 1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；是排列问题；（2 2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不

7、需考虑它们的顺序，是组合问）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题题24(1),42,42,A4 312.解解： 一一条条有有向向线线段段的的两两个个端端点点要要分分起起点点和和终终点点以以平平面面内内 个个点点中中的的个个为为端端点点的的有有向向线线段段的的条条数数 就就是是从从 个个不不同同元元素素中中取取出出 个个元元素素的的排排列列数数 即即有有向向线线段段条条数数为为12,.AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC 这这条条有有向向线线段段分分别别为为例例5 平面内有平面内有A，B，C，D共共4个点个点（1）以其中）以其中2个点

8、为端点的有向线段共有多少条个点为端点的有向线段共有多少条?（2）以其中）以其中2个点为端点的线段共有多少条个点为端点的线段共有多少条?(2),(1)2,42,6:,.AB AC AD BC BD CD由由于于不不考考虑虑两两个个端端点点的的顺顺序序 因因此此将将中中端端点点相相同同、方方向向不不同同的的 条条有有向向线线段段作作为为一一条条线线段段 是是以以平平面面内内 个个点点中中的的 个个点点为为端端点点的的线线段段的的条条数数 共共有有如如下下 条条利用排列和组合之间的关系，以利用排列和组合之间的关系，以“元素相同元素相同”为标准分类，你能建立起为标准分类，你能建立起例例5(1)中排列和

9、中排列和(2)中组合之间的对应关系吗中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数关系出发，由排列数求出组合的个数?类比排列数，我们引进组合数概念：类比排列数，我们引进组合数概念：,.()Cmnm mnnnm从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元素素的的所所有有不不同同组组合合的的个个数数 叫叫组组合合数数做做从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元素素的的用用符符号号表表示示CCcombination(),.mnnm符符号号中中的的 是是英英文文组组合合 的的第第一一个个字字母母 组组合合数数还还可可以以用用符符号号表表

10、示示2334,32C ,43C .例例如如 从从 个个不不同同元元素素中中取取出出 个个元元素素的的组组合合数数表表示示为为从从 个个不不同同元元素素中中取取出出 个个元元素素的的组组合合数数表表示示为为探究探究,AC?mmnn前前面面已已经经提提到到 组组合合和和排排列列有有关关系系 我我们们能能否否利利用用这这种种关关系系由由排排列列数数来来求求组组合合数数呢呢前面，我们利用前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同元素相同、顺序不同的两个组合相同”“”“元素相同、元素相同、顺序不同的两个排列不同顺序不同的两个排列不同”，以，以“元素相同元素相同”为标准，建立了排列和组为标准，建立了

11、排列和组合之间的对应关系，并求得了从合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的组合数个元素的组合数23C3. 甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙，乙甲甲乙，乙甲甲丙，丙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙乙丙，丙乙乙丙，丙乙组合组合排列排列a b ca b c b a c c a ba c b b c a c b a a b da b d b a d d a ba d b b d a d b a a c da c d c a d d a ca d c c d a d c ab c db c d c b d d b cb d c c d b d c b图图6.2-8组合组合排列排列34,43C

12、,运运用用同同样样的的方方法法 我我们们来来求求从从个个不不同同元元素素中中取取出出 个个元元素素的的组组合合数数34344, , , ,3A24.24,4,6.28,C4.a b c d 设设这这 个个元元素素为为那那么么从从中中取取出出 个个元元素素的的排排列列数数以以“元元素素相相同同”为为标标准准将将这这个个排排列列分分组组一一共共有有 组组 如如图图所所示示因因此此组组合合数数346.28,43A 观观察察图图也也可可以以这这样样理理解解求求“从从 个个元元素素中中取取出出 个个元元素素的的排排列列数数”341,43,C;第第 步步 从从 个个元元素素中中取取出出 个个元元素素作作为

13、为一一组组 共共有有种种不不同同的的取取法法332,3,A.第第 步步 将将取取出出的的 个个元元素素作作全全排排列列 共共有有种种不不同同的的排排法法333334443433A,ACA ,C.A于于是是 根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理 有有即即A,mnnm同同样样地地“从从 个个元元素素中中取取出出个个元元素素的的排排列列数数”可可以以看看作作由由以以下下两两个个步步骤骤得得到到: :1,C;mnnm第第 步步 从从 个个元元素素中中取取出出个个元元素素作作为为一一组组 共共有有种种不不同同的的取取法法2,A.mmm第第 步步 将将取取出出的的个个元元素素作作全全排排列列 共共有有

14、种种不不同同的的排排法法,ACA .mmmnnm根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理 有有*A(1)(2)(1,N ,)A!,C.mmnnmmn nnnnmnmmm 这这里里这这个个公公式式叫叫组组合合因因此此并并做做且且数数公公式式!A,!C.!()!()!mnnmnnmnnmm 上上面面的的组组合合数数公公式式还还可可以以写写成成因因为为所所以以0,C1.n 另另外外 我我们们规规定定3710010101010(1)C ;(2)C ;(3)C ;(4)C6.计计例例算算：33101033,A10 9 8(1)C120;A3! 解解： 根根据据组组合合数数公公式式 可可得得71010!1

15、0 9 8 7!10 9 8(2)C120;7!(107)!7!3!3! 101010101010A10!(3)C1;A10!010(4)C1. 观察例的（观察例的（1）与（）与（2），（），（3）与（）与（4）的结果，你有什么发现）的结果，你有什么发现?（1）与）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?CCmn mnn !C,!()!C,()!()!()!CCmnn mnmn mnnnmnmnnnmnnmmnm 证证明明：例例7 在在100件产品中，有件产品中，有98件合格品，件合格品，2件次品、从这件次品、从这

16、100件产品中任意抽件产品中任意抽出出3件件（1）有多少种不同的抽法）有多少种不同的抽法?（2）抽出的）抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的）抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?分析：（分析：（1 1）从）从100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；问题；（2 2）可以先从）可以先从2 2件次品中抽出件次品中抽出1 1件，再从件，再从9898件合格品中抽出件合格品中抽出2 2件，因此可以看件，因此可以看作是一个分步完成的组

17、合问题；作是一个分步完成的组合问题；（3 3）从）从100100件产品抽出的件产品抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品，包括有件是次品，包括有1 1件次品和有件次品和有2 2件次件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题例例7 在在100件产品中，有件产品中，有98件合格品，件合格品，2件次品、从这件次品、从这100件产品中任意抽件产品中任意抽出出3件件（1）有多少种不同的抽法）有多少种不同的抽法?（2）抽出的）抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的）抽出的3件中至少有件中至少有1

18、件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?3310010033(1),1003,A100 99 98C161700;A3!所所有有的的不不同同抽抽法法种种数数 就就是是从从件件产产品品中中抽抽出出 件件的的组组合合数数 所所以以抽抽法法种种数数为为1229812298(2)21C,982C,3198 97CC29506.2! 从从 件件次次品品中中抽抽出出 件件的的抽抽法法有有种种 从从件件合合格格品品中中抽抽出出 件件的的抽抽法法有有种种 因因此此抽抽出出的的 件件中中恰恰好好有有 件件次次品品的的抽抽法法种种数数为为例例7 在在100件产品中，有件产品中，有98件合格品，件合格品，2件

19、次品、从这件次品、从这100件产品中任意抽件产品中任意抽出出3件件（3）抽出的）抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?（3）方法）方法1 从从100件产品抽出的件产品抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品，包括有件是次品，包括有1件次品件次品和有和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少件中至少有有1件是次品的抽法种数为件是次品的抽法种数为1221298298CC +CC9506989604.方法方法2抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从1

20、00件产品中抽出件产品中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即件都是合格品的抽法种数，即331009898 97 96CC1617009604.3!,.AC .ACmmnnmmnnnmnmnm当当 和和取取较较小小数数值值时时可可以以通通过过手手算算得得出出当当 和和取取较较大大数数值值时时可可以以使使用用信信息息技技术术工工具具以以使使计计算算更更快快捷捷和和准准确确. .许许多多信信息息技技术术工工具具都都有有计计算算排排列列数数的的内内部部构构造造和和和和函函数数输输入入 和和 的的值值后后便便可可以以直直接接组组数数得得到到结结果果合合37010101010

21、10574113151212151518186,CC ,CC,?CCCCC,.C在在例例 中中 我我们们已已经经发发现现与与与与都都是是相相同同的的数数. .现现在在再再用用计计算算工工具具计计算算下下列列各各组组组组合合数数的的值值 还还能能发发现现什什么么 你你能能解解释释你你与与与与的的发发与与现现吗吗,.,5712,41115,31518.?通通过过计计算算不不难难发发现现 各各组组的的两两个个组组合合数数都都相相等等 观观察察同同组组的的两两个个组组合合数数还还可可以以发发现现 它它们们的的上上标标之之和和等等于于下下标标 即即如如何何解解释释上上述述结结果果呢呢5127127125

22、12571212,C“125”,C“127,”.75,CCCC 等等式式的的两两边边是是对对同同一一问问题题的的两两个个等等价价解解释释 这这启启发发我我们们 如如果果把把解解释释为为 从从名名学学生生中中选选出出 人人参参加加某某项项活活动动的的选选法法种种数数那那么么可可以以解解释释为为 从从名名学学生生中中留留下下 人人不不参参加加活活动动的的选选法法种种数数 由由于于留留下下 人人后后其其余余 人人就就是是参参加加活活动动的的 所所以以不不参参加加活活动动的的人人员员选选法法种种数数就就等等于于参参加加活活动动的的人人员员选选法法种种数数即即有有,(),(),C)C(1,mn mnnnmnmnmnmnmnnm 一一般般地地 从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元素素后后 必必然然剩剩下下个个元元素素因因此此从从 个个不不同同元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合 与与剩剩下