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文档简介

1、高阶线性微分方程第六节一、高阶线性微分方程的形式一、高阶线性微分方程的形式 n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.0)(xf一、高阶线性微分方程的形式一、高阶线性微分方程的形式为二阶线性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.说明说明:不一

2、定是所给二阶方程的通解.)()(2211xyCxyCy定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上线性相关,12xx在任何区间 I 上线性无关.若存在不全为 0 的常数定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 那么)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxa

3、yxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCy为任意常21,(CC三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解 请写出方程通解.321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 例例1.22xxeey例例2. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,232

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