第七章非线性系统分析

1、第七章非线性系统分析学习重点 ：了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系统的本质区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方法； 掌握分析非线性系统的近似方法描述函数法，能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。 7非线性系统的分析7-1非线性控制系统概述7-1 非线性控制系统概述包含一个或一个以上非线性元件或环节的系统为非线性系统。7-1非线性控制系统概述一、典型非线性特性 在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值如图所示1. 饱和 7-1非线性控制系统概述 理想的饱和特性如图(a)

2、所示， 图中，x1为输入信号， x2为输出信号。设 )(12xfx 将非线性特性视为一个环节，按照线性系统比例环节的描述，定义非线性环节输入与输出的比值为等效增益 1112)(xxfxxk 从饱和特性曲线上可以看出，其等效增益随着输入信号的加大逐渐减小，因此，饱和特性的存在，使系统的开环增益有所下降，故对动态响应的平稳性是有利的。7-1非线性控制系统概述 由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不会造成愈振愈大的不稳定现象； 由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于自振荡以保证系统的安全。 当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳

3、态精度；对快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。 7-1非线性控制系统概述存在不灵敏区的元件，在输入信号很小时系统没有输出。一些测量元件、变换部件和各种放大器，在零位附近常有不灵敏区；作为执行元件的电动机，由于轴上有静摩擦，故加给电枢的电压必须达到某一数值，即所谓空载启动电压，电机才能开始转动，这个空载启动电压就是电动机的不灵敏区。不灵敏区的特性如图所示，图中 表示不灵敏区，也称为死区。 7-1非线性控制系统概述2. 不灵敏区(死区) 7-1非线性控制系统概述 死区最主要的影响就是增大系统的稳态误差。例如，假设电压放大元件存在死区，则当系统偏差信号小于 时，等效增益为零，系统相当于开环系统

4、，不会产生任何的控制作用；当执行元件存在死区时，系统的输出就会存在时间上的滞后，影响系统的跟踪精度。当系统存在扰动信号时，在系统动态过程的稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响，一定程度上提高了系统的抗干扰能力。 7-1非线性控制系统概述3. 间隙(回环) 例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，是必须和容许有少量间隙存在的，但间隙量不应过大。间隙特性如图所示，显然，输入到输出是一多值的映射，具体的取值由箭头的方向亦即输入的运动方向决定。 7-1非线性控制系统概述4. 摩擦 在机械传动机构中，摩擦是必然存在的物理因素。图为摩擦力矩 Mf与转速关系示意图，图中，M1为静摩擦力矩，M2为动

5、摩擦力矩，Mf表示摩擦力矩， 表示转速。 摩擦对系统的影响，依系统的具体情况而定。对小功率的随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度；在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行现象，影响系统的低速平稳性。 7-1非线性控制系统概述7-1非线性控制系统概述5. 继电器特性 由于继电器吸合电压(电流)与释放电压(电流)不等，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。其中图(a)表示理想继电器特性，当吸合与释放值都很小时，可视为这种情况；图(b)表示带死区的继电器特性，此时吸合与释放值较大且二者 数 值 接 近 ； 图 ( c ) 则 为 一 般 继 电 器

6、 特 性 。 理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。 7-1非线性控制系统概述 二、非线性控制系统的特点 1、不能应用叠加定理2、对正弦输入信号的响应复杂 在线性系统中，输入为正弦函数时，稳态输出也是同频率的正弦信号，两者仅在幅值和相位上有所不同，因而可以用频率特性来描述系统的特性。 非

7、线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出是包含有谐波分量的非正弦周期函数，有时还可能出现跳跃谐波、倍频、和分频振荡等现象。因此频率法不能直接用于非线性控制系统。7-1非线性控制系统概述线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始状态无关。 非线性系统的稳定性不仅仅和系统的结构与参数有关，还和起始状态有直接关系。一个非线性系统，他的某些平衡状态可能是稳定的，某些平衡状态可能是不稳定的。因此对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念，要研究的是非线性系统平衡状态的稳定性。例1 某一阶非线性系统的微分方程为 0) 1(xxx 试分析系统的稳定性3.稳定性7-1非线性控制系统概述积分得 t

8、texxextx0001)(相应的时间响应随初始条件而变。当 时，随t 增大， 递增；当 时， 为1；当 时， 递减并趋于 0。不同初始条件下的时间响应曲线如图所示。 1ln, 1000 xxtx)(tx)(tx)(tx1ln, 1000 xxtx1ln, 1000 xxtx解：设00)(xtxdtxxdx ) 1(7-1非线性控制系统概述从曲线及方程中可以看出，系统有两个平衡状态，即 x=0和 x=1 。按稳定性的定义对平衡状态 x=1来说，系统只要有一个很小的偏离，就再也不会回到这一平衡状态上来。因此，x=1的平衡状态是一个不稳定的平衡状态。对于平衡状态 x=0来说，系统最终是否会收敛于这

9、一平衡态，还与起始的偏离大小即起始的状态有关。当 x01 时，响应曲线是发散的；当x01 时，响应曲线会收敛于平衡状态。7-1非线性控制系统概述4. 自激振荡 从前面线性系统的分析已知，非周期信号作用于线性系统时，只有在临界状态下才会产生周期运动。一旦系统的参数发生微小的变化，都会使系统极点向左或右偏移，响应趋于发散或收敛。在非线性系统中其频率响应除了发散和收敛外，也可能发生一定频率和振幅的周期运动，而当扰动消失后，系统仍维持原来的频率和振幅，亦及这种周期运动具有稳定性。这种稳定的周期运动，称为自激振荡，简称自振，或称为自持振荡。 7-1非线性控制系统概述7-2 描述函数法7-2 描述函数法

10、描述函数法可以看作是对非线性系统的一种线性的近似，是在对系统正弦信号作用下的输出进行谐波线性化处理后得到的，表达形式类似于线性理论中的幅相频率特性。 一一 描述函数的基本概念：描述函数的基本概念：1 . 1 . 基本原理和应用条件：基本原理和应用条件：（1）满足条件 a)正弦波输入，输出为同频率信号。7-2 描述函数法b）输出平均值为零，不产生支流项即要求非线元件输入输出特性斜对称。 c)系统线性部分有较好的低通滤波特性。（2）谐波线性化 在满足上述条件下用非线性系统中元件输出的一次谐波分量去代替正弦作用下的实际输出，忽略高次谐波分量。这样就可以把非 线性元件作为一个基本环节，用某描述函数代替

11、它的传函之后，用频率特性对正弦进行分析。例2：对于理想继电器特性，输入为tXtxsin)(7-2 描述函数法输出为同周期的方波信号。7-2 描述函数法将其输出展开为傅里叶级数 012)12sin(4)5sin513sin31(sin4)(nntnMtttMty 方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加，包含基波分量和高次谐波分量，各谐波分量的振幅和频率的关系称为该方波的频谱。 将上式推广至任一个非线性系统，当加以正弦输入信号 时，其稳态输出一般为同周期的非正弦信号，将其展开为傅里叶级数 tXtxsin)(7-2 描述函数法式中 7-2 描述函数法 非线性特性为奇对称，则直流分量 A0= 0；同时，

12、各谐波分量的幅值与基波相比一般都比较小；因此，可以忽略式中的高次谐波分量，只考虑基波分量，这种近似也称为谐波线性化。则 2 . 2 . 描述函数描述函数 非线性环节进行谐波线性化处理后，可以依照线性环节频率特性的定义，建立非线性环节的等效频率特性，即描述函数。7-2 描述函数法 定义在正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中基波分量和输入正弦信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(X)表示 1121211111arctansin)sin()(BAXBAXYtXtYXN例3：设非线性放大器输入输出特性为 试计算其描述函数。 解：因为 为 的奇函数，故有)(xyx,0,0,0110AA计算1

13、B7-2 描述函数法得描述函数为 系统的特性曲线与描述函数曲线分别如图7-2 描述函数法 可以看出，描述函数不仅是输入正弦信号频率的函数，而且也是输入信号振幅的函数，这正是非线性特性的一种反映。因此，描述函数法本质上是不同于线性环节的频率特性，是非线性理论的一个概念。7-2 描述函数法二、典型非线性元件的描述函数二、典型非线性元件的描述函数根据定义式11212111arctan)(BAXBAXYXN由于理想继电特性为单值的奇函数，1.理想继电器特性的描述函数,0,0,0110AAMtdtMtdtMtdttyB4sin4sin4sin)(120202017-2 描述函数法描述函数为 2.死区特性

14、的描述函数 7-2 7-2 描述函数法描述函数法由于特性仍为单值奇函数， 故只需要求解 B17-2 7-2 描述函数法描述函数法3. 饱和特性的描述函数 7-2 7-2 描述函数法描述函数法7-2 7-2 描述函数法描述函数法 三三. .非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析 描述函数是对非线性环节进行谐波线性化处理后得到的，故可将线性系统的相关理论推广到非线性系统。典型结构表示如图)(XN)(jW系统闭环频率特性)()(1)()()(jWXNjWXNjWB非线性系统的奈氏判据1.稳定性分析7-2 7-2 描述函数法描述函数法即)(1)(XNjW称为负倒描述函数与线性系统的奈氏判据相

15、比， 相当于线性系统中开环幅相平面的 点)(1XN)0,1(j0)()(100jWXNK)(1)(00XNjWK特征方程0)()(1jWXN通常取基准描述函数)(0XN令基准负倒描述函数)(10XN7-2 7-2 描述函数法描述函数法非线性系统稳定性的判别方法如下：)(10XN不被)(0jWK包围，系统稳定)(10XN被)(0jWK包围，系统不稳定2.自振分析7-2 7-2 描述函数法描述函数法若非线性系统存在一组参数),(X使)(1)(00XNjWK成立。)(10XN与)(0jWK即相交，非线性系统在交点处处于等幅振荡状态，产生周期运动。只有稳定的周期运动才称之为自振。7-2 7-2 描述函

16、数法描述函数法1M2M)(10XN)(0jWKReImX7-2 7-2 描述函数法描述函数法例4. 已知非线性系统的结构图，为使系统不产生自振，试用描述函数法确定继电器特性参数a,b7-2 7-2 描述函数法描述函数法例5.利用描述函数法分析具有饱和非线性的控制系统，如图（1）当线性部分的K=5时，判断系统是否产生自振。如果产生自振，求出它的振幅和频率。（2）欲使系统稳定，试求出放大系数K的取值范围。42)2)(1(ssske7-2 7-2 描述函数法描述函数法解:饱和非线性的描述函数为20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXdXKXN20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXd

17、XdXN将 曲线和 曲线画在同一复平面上.)(10dXN)(0jWK非线性部分:基准负倒描述函数20)/1(1/1/1arcsin21)(1dXdXdXdXNdX 7-2 7-2 描述函数法描述函数法线性部分:幅相频率特性曲线)2)(1()(00jjjKKjWK-4 -23.3X7-2 7-2 描述函数法描述函数法欲使系统稳定,则应使 曲线不包围 曲线.即)(10dXN)(0jWK2)(2P7-2 7-2 描述函数法描述函数法7-2 7-2 描述函数法描述函数法7-2 7-2 描述函数法描述函数法7-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 相平面法是基于时域的一种图解分

18、析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。 二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)一般可用常微分方程 来描述。 式中，设输入信号为零， 表示系统中的某一个物理量， 是 和 的解析函数。0),(xxfx x),(xxfxx 控制系统的任一动态过程可由状态变量 来表示。),(xx 一、相平面的基本概念一、相平面的基本概念1. 1.相平面:以 和 为横轴和纵轴构成的坐标平面.2.2.相点:相平面上任一点),(xx 3.3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。7-3 7-3 相平面法相平面法 xx xx 1M2M7-3 7-3 相平面法

19、相平面法 (x0,x0)xx漸漸進進穩穩定定系系統統xx(x0,x0)不不穩穩定定xx(x,x)(x,x) 持續振蕩持續振蕩4.4.相轨迹特点: 与初始点(状态)密切相关. 可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.5.5.相轨迹判断系统稳定性7-3 7-3 相平面法相平面法 二、相平面图绘制方法二、相平面图绘制方法1 1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.设二阶系统0),(xxfx (*) 若令xy则直接积分,便解出相轨迹方程)(xfxy 并由此画出相轨迹。0),(yxfy ),(yxfdtdy),(yxfdxdtdxdtdtdyyyxfdxdy),(7-3 7-3 相平

20、面法相平面法 整理上式并积分xdxydyyyxxn200)(21)(212202202xxyyn20202222yxyxnn1)(2222AyAxn其中22020nyxA 上式表示一族封闭椭圆，说明:=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。例：如无阻尼二阶系统02xxn 令 则 yx yxdxdyn2，设初始条件为),(00yx7-3 7-3 相平面法相平面法 等斜线方程图解法之一：等斜线法图解法之一：等斜线法 它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。yyxfdxdy),(xycdxdy常数若令二阶微分方程0),(xxfx 令0),(cyyxf满足相轨迹上的切线斜率为

21、c7-3 7-3 相平面法相平面法 画图原理： 据不同的斜率c可画出等斜线方向场（分布）可证明不同c不相交，则对确定初始点 沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）),(00yx画图步骤：ii.作等斜线分布图iii.从初始点出发,沿相邻等斜线间的21iiiccc平均斜率依次作短直线便可画得。i.求出等斜线方程相轨迹必然以c的斜率经过等斜线。7-3 7-3 相平面法相平面法 说明说明：等斜线未必都是直线，另外，为保证精度，等斜线分布要有适当密度，密度可不一样。 022xxxnn 例如1,5 . 0n令等斜线方程: xcxcynn1122等斜线分布图.相轨迹 A点直线段交线于B.11

22、.122 .1110A cc过点7-3 7-3 相平面法相平面法 三.相轨迹和相平面图的性质 1)相轨迹的斜率 若相轨迹上任意一点的斜率为 ，则 xxxfxxdtdxdtxddxxdc ),(/c2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。 7-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 则相轨迹关于 对称(左右对称)。),(),(xxfxxf则相轨迹关于 对称(上下对称) 。),(),(xxfxxf则相轨迹关于原点对称。 ),(),(xxfxxfx x 有一个不

23、为零，系统就未达到平衡状态，将继续运动。这样的点叫普通点。3)相平面图的奇点 奇点（平衡点）：奇点（平衡点）：系统的速度和加速度都为零)0, 0(xx 线性系统有唯一奇点零输入条件下就在原点，非线性系统奇点若在原点 不确定，则相轨迹会在该点相交.7-3 7-3 相平面法相平面法 奇点是非线性系统唯一可能的平衡状态。00dxxd 利用系统特征方程根确定奇点位置及特征 如二阶线性系统02, 02222nnnnssxxx 常令),(),()0 ,(0, 0yxfxyxfxxxx 也可用求奇点解出x.7-3 7-3 相平面法相平面法 共轭复根 零输入响应为衰减振荡，收敛于零。对应的相轨迹是一簇对数螺旋

24、线，收敛于相平面原点。这时原点对应的奇点称为稳定的焦点。) 10(一对具有正实部的共轭复根 ，系统的零输入响应是振荡发散的。 对应的相轨迹是发散的对数螺旋线。 这时奇点称为不稳定的焦点。 )01(特征根为两个负实根 ，系统处于过阻尼状态。其零输入响应呈指数衰减状态。对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。相平面原点为奇点，称为稳定的节点。 17-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 特征根为两个正实根 ，系统的零输入响应为非周期发散的。对应的相轨迹是由原点出发的发散的抛物线簇。 相应的奇点称为不稳定的节点。 ) 1(特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，系

25、统的相轨迹是一簇同心椭圆。这种奇点称为中心点。 7-3 7-3 相平面法相平面法 特征根为两个符号相反的实根，此时系统的零输入响应是非周期发散的。这时奇点称为鞍点。 绘制相轨迹时，通常先确定奇点位置，再作它附近的相轨迹。7-3 7-3 相平面法相平面法 4)相平面图的特征区 特征区是指奇点周围相轨迹具有共性的区域。共性是指普通点（描述点）在该区域内不是沿相轨迹趋于奇点（吸引）就是沿相轨迹离开奇点（发散），他们对应的区域分别称为吸引区、发散区。 利用这一特征可判断系统品质。因为在奇点附近某一特征区域内画出一条相轨迹，即可知道其他初始条件下导流运况。这也为画相轨迹提供了理论依据。 在非线性系统的相

26、轨迹中，可能会存在特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。 极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开它。 极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。5）极限环7-3 7-3 相平面法相平面法 如果起始于极限环附近的内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。 因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环轴向与径向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。稳定的极限环7-3 7-3 相平面法相平面法 如图(b)所示。起始于极限环附近内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。不稳定的极限环7-3 7-3 相平面法相平面法 半稳定的极限环 如果极限环附近