平面解析几何专题突破习题顾效禹

1、第一部分 基本知识直线和圆的方程(1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。(5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。(6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。圆锥曲线方程(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。(2) 掌握双曲线的定义、标

2、准方程和双曲线的简单几何性质。(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4) 了解圆锥曲线的初步应用。（一）直线与圆知识要点直线的倾斜角与斜率k=tg（ ），直线的倾斜角一定存在，范围是0,），但斜率不一定存在。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。点到直线的距离公式。会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，会由几何条

3、件列出曲线方程。圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。圆的参数方程：掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。(二)圆锥曲线1椭圆及其标准方程：双曲线及其标准方程：抛物线及其标准方程：4直线与圆锥曲线：注意点：（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式 ，当已知直线 的斜率 时，公式变形为 或 ；当已知直线的倾斜角 时，还可以得到 或（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。（4）会在任何条件下求出直线方程。（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质解

4、析几何中的一些常用结论：1.直线的倾斜角的范围是，)2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角的增大而增大。当是钝角时，k与同增减。3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。4.两直线：L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1L2A1A2+B1B2=05.两直线的到角公式：L1到L2的角为，tan= 夹角为，tan=| |注意夹角和到角的区别6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。7.有关对称的一些结论点（，）关于轴、轴、原点、直线y=x的对称点分别是（，），（，），（，），（，）如何求点（，）关于直线Ax+By+C

5、=0的对称点直线Ax+By+C=0关于轴、轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（，）对称的直线方程又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：（）点(a.b)（）轴（）轴（）原点（）直线y=x（）直线y=x（）直线x点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2>r2点P(x0,y0)在圆外；如果 (x0a)2+(y0b)2<r2点P(x0,y0)在圆内；如果 (x0a)2+(y0b)2=r2点P(x0,y0)在圆

6、上。10圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2.11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与轴垂直的直线。12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。>r相离d=r相切d<r相交13圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,Rd>r+R两圆相离dr+R两圆相外切|Rr|<d<r+R两圆相交d|Rr|两圆相内切d<|Rr|两圆内含d=0，两圆同

7、心。14. 两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=015. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。16. 焦半径公式：在椭圆 中，F、F分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 (2) 三角形PFF的面积如何计算17圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。18直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1

8、) ,P2(x2,y2)则弦长P1P2=19. 双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。20. 抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆）解题思路与方法：解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。（2）在考查直线和

9、圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据

10、条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)。定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定

11、义。（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。 第二部分 解析几何中的范围问题一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都

12、是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；（2）当 时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.2、设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线 垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.二、

13、“圆锥曲线的有关范围”之运用1、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点（1）过 作垂直于长轴的弦MN，求AMB的取值范围；（2）椭圆上是否存在点P，使APB120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。1、已知椭圆的一个顶点A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线

14、l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、2、3、4、1、已知椭圆的焦点为 ，过点 且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B， ，又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为ykxm，求m的取值范围.五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用“1、2

15、、1、 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与 成等比数列，求离心率e的取值范围.第三部分 直线与圆锥曲线问题的解题策略众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化； （2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所

16、解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟（1）向弦中点问题转化1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率 ，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。 （2）向弦长问题转化例2设F是椭圆 的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，

17、四点依A、B、C、D顺序排列，求使 成立的直线l 的方程。2化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。（1）借助投影例3如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线 于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一点Q，使 、 、 的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。（2）避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、

18、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。例4已知 点P、Q在椭圆 上，椭圆中心为O，且 ， 求椭圆中心O到弦PQ的距离。二、求解交点坐标的“度”的把握个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途1.设斜率为2的直线与抛物线 相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使 ，求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。2、真心实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例2.正方形ABCD的中心为M

19、（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为 的直线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。三、求解交点坐标的转换与回避解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。1、设而不解这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。1. 设椭圆 的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。2、不设不解这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我