四色问题四色

1、a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 陈景润证明了1+2成立，即任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和。 四四色色问问题题 数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用区域总可以用1 1，2 2，3 3，4 4这四个数字之一来标记，而不会使这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。相邻的两个区域得到相同的数字。 （相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。） 四色猜想四

2、色猜想的提出的提出: : 英英国毕业国毕业于于伦伦敦大敦大学学的的弗南西斯弗南西斯 格思里格思里来来到一家科到一家科研单研单位位搞搞地地图图着着色工作色工作时时，发现发现了一了一种种有趣的有趣的现现象：象：“ “看看来来，每幅地，每幅地图图都可以用四都可以用四种颜种颜色色着色，使得有共同着色，使得有共同边边界的界的国国家都被着上不同的家都被着上不同的颜颜色。他和在大色。他和在大学读书学读书的的弟弟格里斯弟弟格里斯决决心心试试一一试试, ,可是可是研研究工作究工作没没有有进进展。展。 著名著名数学数学家家奥奥古斯都古斯都 德德 摩根摩根也也没没有能找到解有能找到解决这个问题决这个问题的途的途径径

3、，著，著名名数学数学家家威廉威廉 哈密哈密顿顿对对四色四色问题进问题进行行论证论证。但直到。但直到18651865年哈密年哈密顿顿逝世逝世为为止，止，问题问题也也没没有能有能够够解解决决。 18781880年两年间，著名的律师兼数学家年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒肯普和泰勒两人分别提交两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。此也就解决了。 首先指出如果首先指出如果没没有一有一个国个国家包家包围围其他其他国国家，或家，或没没有三有三个个以上的以上的国国家相遇于一点，家相遇于一点，

4、这种这种地地图图就就说说是是“ “正正规规的的” ” 否否则为则为非正非正规规地地图图。 ，但非正，但非正规规地地图图所需所需颜颜色色种数种数一般一般不超不超过过正正规规地地图图所需的所需的颜颜色，如果有一色，如果有一张张需要五需要五种颜种颜色的地色的地图图，那就是指，那就是指它它的正的正规规地地图图是五色的，是五色的，要要证证明四色猜想成立，只要明四色猜想成立，只要证证明不存在一明不存在一张张正正规规五色地五色地图图就足就足够够了。了。 ：大意是如果有一：大意是如果有一张张正正规规的五色地的五色地图图，就，就会会存在一存在一张国数张国数最少的最少的“ “极极小正小正规规五色地五色地图图” ”

5、，如果，如果极极小正小正规规五色地五色地图图中有一中有一个国个国家的家的邻国数邻国数少于六少于六个个，就，就会会存在一存在一张国数较张国数较少的正少的正规规地地图图仍仍为为五色的，五色的，这样这样一一来来就不就不会会有有极极小五色地小五色地图图的的国国数数，也就不存在正，也就不存在正规规五色地五色地图图了。了。这样这样肯普就肯普就认为认为他已他已经证经证明了明了“ “四色四色问题问题” ”，但是，但是后后来来人人们发现们发现他他错错了。了。 18901890年，在牛津大年，在牛津大学学就就读读的年的年仅仅2929岁岁的的赫伍德赫伍德以自己的精确以自己的精确计计算算指出了指出了肯普在肯普在证证明

6、上的漏洞明上的漏洞。不久，泰勒的。不久，泰勒的证证明也被人明也被人们们否定了。否定了。 人人们发现们发现他他们实际们实际上上证证明了一明了一个较个较弱的命弱的命题题五色定理。就是五色定理。就是说对说对地地图图着色，用五着色，用五种颜种颜色就色就够够了。了。 后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。与费马猜想相媲美的难题。 构形构形：他：他证证明了在每一明了在每一张张正正规规地地图图中至少有一中至少有一

7、国国具有具有两两个个、三、三个个、四、四个个或五或五个邻国个邻国，不存在每，不存在每个国个国家都有六家都有六个个或更多或更多个个邻国邻国的正的正规规地地图图，也就是，也就是说说，由，由两个邻国两个邻国，三，三个邻国个邻国、四、四个个或五或五个邻国组个邻国组成的一成的一组组“构构形形”是不可避免的，每是不可避免的，每张张地地图图至少含有至少含有这这四四种构种构形中的一形中的一个个。 “可约可约”性性: :“可可约约”这个词这个词的使用是的使用是来来自肯普的自肯普的论证论证。他他证证明了只要五色地明了只要五色地图图中有一中有一国国具有四具有四个邻国个邻国，就，就会会有有国数减国数减少少的五色地的五

8、色地图图。 自自从从引入引入“构构形形”，“可可约约”概概念后，逐步念后，逐步发发展了展了检查构检查构形以形以决决定是否可定是否可约约的一些的一些标标准方法，能准方法，能够寻够寻求可求可约构约构形的不可避形的不可避免免组组，是，是证证明明“四色四色问题问题”的重要依据。但要的重要依据。但要证证明大的明大的构构形可形可约约，需要需要检查检查大量的大量的细节细节，这这是相是相当复杂当复杂的。的。 进入进入2020世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行：上是按照肯普的想法在进行：19131913年美年美国国伯克霍夫：肯普的想法伯克霍夫：肯

9、普的想法+ +新的新的设设想想证证明了某些大的明了某些大的构构形可形可约约19391939年美年美国数学国数学家富家富兰兰克林克林证证明了明了2222国国以下的地以下的地图图都可以用四色着色都可以用四色着色 19501950年年 ，有人，有人从从2222国国推推进进到到3535国国19601960年，有人又年，有人又证证明了明了3939国国以下的地以下的地图图可以只用四可以只用四种颜种颜色着色色着色随随后又推后又推进进到了到了5050国国这种推进仍然十分缓慢。这种推进仍然十分缓慢。 高速数字计算机的发明高速数字计算机的发明，促使更多促使更多数学数学家家对对“四色四色问问题题”的的研研究。究。从

10、从19361936年就年就开开始始研研究四色猜想的究四色猜想的海克海克，公，公开开宣宣称称四色猜想可用四色猜想可用寻寻找可找可约图约图形的不可避免形的不可避免组来证组来证明明。：把每：把每个国个国家的首都家的首都标标出出来来，然后把相，然后把相邻国邻国家的首都家的首都用一用一条条越越过边过边界的界的铁铁路路连连接起接起来来，除首都，除首都( (称为顶称为顶点点) )及及铁铁路路( (称为称为弧或弧或边边) )外，擦掉其他所有的外，擦掉其他所有的线线，剩下的，剩下的称为称为原原图图的的对对偶偶图图。 到了六十年代后期，海克引到了六十年代后期，海克引进进一一个类个类似于在似于在电网络电网络中移中移

11、动电动电荷的荷的方法方法来来求求构构形的不可避免形的不可避免组组。在海克的。在海克的研研究中第一次以究中第一次以颇颇不成熟的形不成熟的形式出式出现现的的“ “放放电电法法” ”，这对这对以后以后关关于不可避免于不可避免组组的的研研究是究是个关键个关键，也是，也是证证明四色定理的中心要素。明四色定理的中心要素。 电电子子计计算机算机问问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话对话的的出出现现，大大加快了，大大加快了对对四色猜想四色猜想证证明的明的进进程。美程。美国国伊利伊利诺诺大大学学哈肯在哈肯在19701970年着手改年着手改进进“ “放放电过电过程程”

12、 ”，后，后与与阿佩尔合作阿佩尔合作编编制一制一个个很好的程序。很好的程序。 19761976年年6 6月，他们在美国伊利诺斯大学月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了的两台不同的电子计算机上，用了12001200个小时，作了个小时，作了100100亿判断，终于完成了亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。四色定理的证明，轰动了世界。几何证明：几何证明： 在平面地图中，为了区分相邻的图形，相邻图形需要使用不同的颜色来上色，与这两个相邻图形都有邻边的图形需要使用第三种颜色 我们先假设四色定理成立，根据四色定理得出在一个平面内最多有四个互有邻边的图形，而因为第四个与三三个互

13、有邻边的图形都会包围一个图形，所以一个平面内互有邻边的图形最多有四个，所以四色定理成立（互有邻边，举例： 三个互有邻边的图形A和B有邻边 C和AB都有邻边） 虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色，但是这个定理的应用是有限的 现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，只用四种颜色将会造成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同地区的差别。 在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题