高数期中复习答案【包括所有题型】包过,求高分

1、高等数学高等数学A(A(中中) )期中复习期中复习1.1.二元函数的极限、连续、偏导数、可微的概念二元函数的极限、连续、偏导数、可微的概念及其关系。梯度、极值与方向导数及其关系。梯度、极值与方向导数。 2.2.求偏导数（复合函数、隐函数）求偏导数（复合函数、隐函数）, ,求极值、方向求极值、方向 导数导数。3.3.多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用。 1 1）切线与法平面、切平面与法线切线与法平面、切平面与法线。 2 2）条件极值（实际问题的应用）。条件极值（实际问题的应用）。 4.4.解析函数的概念，解析函数的概念，Cauchy-RiemannCauchy-Riemann方程，初等解析

2、方程，初等解析函数的性质，解析函数的导数的几何意义函数的性质，解析函数的导数的几何意义。 5.5.求区域共性映到上半平面或单位圆的一个映射（记求区域共性映到上半平面或单位圆的一个映射（记住分式线性映射的四个性质，熟记五个公式）。住分式线性映射的四个性质，熟记五个公式）。 Im0z 1w (Im0)izwez .ziwzi (1)上半平面上半平面到单位圆到单位圆的分式线性变换的分式线性变换，通常取通常取1z 1w (1)1izaweaa z (2)单位圆单位圆到单位圆到单位圆的分数线性变换的分数线性变换 :0ImDzz Im0w zwe (3)带形域带形域映为上半平面映为上半平面的共形映射的共形

3、映射。 :0arg()Dzzn :0argGwwn nwz (4)角形域角形域到角形域到角形域的共形映射的共形映射 :| | 1Im0Dzzz 且且Im0w 221111zzwwzz 或或(5)上半单位圆上半单位圆映为上半平面映为上半平面的共形映射的共形映射6.6.二重积分二重积分 1 1）化二次积分化二次积分； 2 2）交换二次积分的次序交换二次积分的次序； 3 3）二重积分的计算二重积分的计算； 4 4）利用二重积分求体积利用二重积分求体积。 22212101()1| 1,(|)2( ,)3( ,)DxxxxDxyxy dxdydxf x y dydxf x y dy 题题型型填填空空题题

4、设设 ：则则。交交换换积积分分顺顺序序。交交换换积积分分顺顺序序。21.3答答案案12420212.( ,)( ,)yydyf x y dxdyf x y dx 103.( ,)yydyf x y dx222222224ln,0.zzzxyxyxy设设则则当当，02235,3,3( 1, 3,3)xtytztM 曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程。133269xyz (1,1,1)6tan,|.xuzarcgrad uy设设则则11224ijk 7sin,.xyzxedz设设则则2(sincos)cosxyxyxyxyxydzexyeedxx eedy答答案案：(1,0,1)22222(

5、 ,)(0,0)222( ,)(0,0)8( , ),|(,),1110lim11,2412limzxyx yx yu x y zexyzgradzfzf x y exx yxyxdxydyzdzduuxyzxyxy 设设则则。9 9设设可可微微且且则则。若若则则。jek122xyxyfyef 0222xyzc14 2题题型型（单单项项选选择择）22( , )()() ,lim().zdzzf x yxy 0 01 1设设可可微微且且则则( )1( ) (0)( )0()AB k kCDC(2)2( ,),22,21,2,1,2,(1, 0)( ,)()( )( )( )()xyxxxyyyf

6、 x yCfxyfyxffff x yABCD 已已知知则则点点是是的的。非非驻驻点点非非极极值值点点极极大大值值点点极极小小值值点点D232(2,1,1)()( )3( )2 6( ) 1()0uxyzABCD 在在点点处处方方向向导导数数的的最最大大值值为为。B2( ,)(,)114lim(1)().( )( )1( )()0 xxyx yaxA eBC eD C2arctan22()1(),.yxzzxyedzx y 题题型型3 3 求求偏偏导导数数设设求求22ln,.xyzzzzdzxyxyx y 设设求求， ，及及arctan(2)(2)yxdzexy dxyx dy 222arct

7、an22yxzyxyxex yxy ,()()yxdzdxdyx xyy xy221()zx yxy 2223,.vxyzzzuuevx yxx y 设设求求，4()题题型型复复合合函函数数求求偏偏导导数数2(2)221( , )(,),zzzf u vCzf xyxyxyx y 设设，求求。2( , )( , ),2( , )( , ),uvuvzzxfu vyfu vyfu vxfu vxy22242()uuuvvvvzxyfxyfxyffx y (1)2( , ),( , )0,.xttxtytyf x ttF x y tx yf FCf Ff Fdydxf FF 设设而而 由由方方程程

8、确确定定的的的的函函数数, ,其其中中求求证证2(2)13()(,),zzzzf xyyg xy xyf gCxxyx y 设设求求。2222,1( , )( , ),( , )( , ),()2.uvuvuuuvvvuvuxy vxyzyffy gu vygu vxxxzfgxygu vygu vyzyfxy gy xy gygyggx y 设设则则24( ,),.yzzzf u x yuxeyx y 设设求求132111123132,().yyyyyzxe ffxze fxee ffe ffx y 2(2)5( , )(,),yyzzf u vCzf xexxx y 设设，求求。22223

9、,( , )( , ),1(1).yyuvyyyuvuuuvvvyzyuxeve fu vfu vxxxzy eye ffxefffx yxxx 设设则则5()题题型型条条件件极极值值,)333abc答答案案：切切点点( (22222211xyzabc 在在椭椭球球面面的的第第一一卦卦限限上上求求一一点点，使使该该点点的的切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面围围成成的的四四面面体体的的体体积积最最小小。2(1, 2,1)M过过点点作作一一平平面面，使使该该平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的位位于于第第一一卦卦限限的的四四面面体体的的体体积积最最小小？1363xyz答答案案：6()

10、题题型型切切平平面面、法法线线、切切线线、法法平平面面22230,1(1,1,1)23540 xyzxxyz 求求曲曲线线在在点点的的切切线线和和法法平平面面方方程程。111,1692401691xyzxyz 切切线线法法平平面面23(2,1, 0)zezxyM求求曲曲面面在在点点处处的的切切平平面面和和法法线线方方程程。21240,120 xyzxy切切平平面面法法线线2221,3(1,2, 2)1xyzxyz 求求曲曲线线在在点点的的切切线线和和法法平平面面方方程程。122,01140 xyzyz 切切线线法法平平面面4(0)xyza a 证证明明： 曲曲面面上上任任一一点点处处的的切切平

11、平面面在在三三坐坐标标轴轴上上的的截截距距之之和和为为常常数数。1,1,2,21xyDIyedxdyDxxyxy 计计算算二二重重积积分分其其中中 由由直直线线及及双双曲曲线线所所围围的的区区域域。4212Iee答答案案：()题题型型7 7 二二重重积积分分的的计计算算2min ,:02, 01Dx y dxdyDxy 计计算算。56答答案案：8()题题型型交交换换积积分分顺顺序序并并计计算算232111.yxdxedy 计计算算二二次次积积分分2214011(1)2yyIdyedxe 242122sinsin.22xxxxxIdxdydxdyyy计计算算二二次次积积2222311248sin

12、cos22yyxyyIdydxdyy 2( )Re( )f zzz 1 设设，问，问 在何处连续？在何处在何处连续？在何处可导？在何处解析？请说明理由可导？在何处解析？请说明理由 。( )f z9()CR 题题型型复复函函数数连连续续、可可导导、解解析析、方方程程222( )( ,)( ,)( )1f zu x yiv x yDf zDuv设设在在区区域域 内内解解析析且且不不为为常常数数，证证明明：在在内内的的像像不不可可能能全全部部落落在在双双曲曲线线上上。233( )32f zxy i问问函函数数在在何何处处可可导导？何何处处解解析析？请请说说明明理理由由。1 :| | 2|1| 1|

13、1Dzzzw 求求一一个个共共形形映映射射将将区区域域且且映映为为单单位位圆圆。2()(1)2222()(1)2221.,2., 3.izz ii zzizz ii zzeieieiwwweieiei 答答案案2 求一个共形映射将区域求一个共形映射将区域为单位圆为单位圆 :1Im1Dzz映映| 1.w 10()题题型型求求共共形形映映射射3 : 1Re3| 1Dzzw 求求一一个个共共形形映映射射将将区区域域映映为为单单位位圆圆。221ln()(1, 0,1)(3, 2, 2)uxyzAAB 求求在在点点处处沿沿 指指向向方方向向的的方方向向导导数数。22222211(1,),2yzuulxy

14、zyzyz 。11()题题型型方方向向导导数数、梯梯度度222222,(1, 2,2)3(1,1,1)xuMxyzxyzQ2 2求求函函数数在在点点沿沿曲曲面面在在的的外外向向量量的的方方向向导导数数。822,(2, 2,2),2727274 381xyzMMMuuunun 112()( )()( )bxbnnaaadxxyf y dybyf y dyn 证证明明：。12()题题型型证证明明题题2001( )0, 2( ) ( )( )aaaxf xadxf x f y dyf x dx 设设在在上上连连续续， 证证明明：3(0)xyza a 证证明明： 曲曲面面上上任任一一点点处处的的切切平平面面在在三三坐坐标标轴轴上上的的截截距距之之和和为为常常数数。(1)