第2节：函数解析的充要条件

1、第第二二章章 解析函数解析函数第第2节节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件复变函数可导的充要条件复变函数可导的充要条件复变函数解析的充要条件复变函数解析的充要条件定理一定理一: 设函数设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域在区域D内有定内有定义义, 则则 f(z)在点在点z=x+iyD可导的充要条件是可导的充要条件是: (1) u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)可微可微, 且且(2) 在该点满足在该点满足柯柯西西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程 (简称为简称为C-R方程方程) :, uvuvxyyx 定理二定理二: 函数函数 f(z)=u(x,

2、y)+iv(x,y)在区域在区域D内解析内解析(可导可导)的充要条件是的充要条件是: (1) u(x,y)与与v(x,y)在在D内可微内可微, 并且并且(2) 在在D内满足柯西内满足柯西-黎曼方程黎曼方程(*)式式.1( )uvuvfzixxiyy 这这时时(*)注注: (1) 如如函数函数 f(z)在区域在区域D内内不满足不满足C-R方程方程, 则则 f(z) 在在D内不解析；内不解析；11, uvvurrrr (2) 如如u(x,y)与与v(x,y)中至少有一个偏导数在中至少有一个偏导数在D内不内不 存在存在, 则则 f(z)在在D内不解析；内不解析；(3) 如如函数函数 f(z)在在D内

3、内满足满足C-R方程方程, 且且u(x,y)与与v(x,y) 在在D内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, 则则 f(z)在在D内解析内解析.(4) C-R方程方程在极坐标下的形式为在极坐标下的形式为书书P67:9:例例1. 判断下列函数在何处可导判断下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:1) ( )2 ;f zxiy1,0,uuxy解解. 1) 因为因为 u=x, v=2y, 不满足不满足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导, 处处不解析。处处不解析。22) ;wz 2223) ( )(2).f zxyxixyy0,2vvxy4) ( )e

4、(cossin ).xf zyiy 2) 由由 f(z)= |z|2 =x2+y2, 得得 易知这四个偏导数处处连续易知这四个偏导数处处连续, 但仅当但仅当x=y=0时时, 它它们才满足们才满足C-R方程方程, 因而因而u=x2+y2, v=0, 所以所以2 ,2 ,uuxyxy0,0vvxy函数仅在函数仅在z=0处可导处可导, 且且但在复平面内处处不解析但在复平面内处处不解析.(0)0.f 3) 由由 f(z)= x2-y2-x+i(2xy-y2), 得得 易知这四个偏导数处处连续易知这四个偏导数处处连续, 但仅当但仅当y=1/2时时, 它它们才满足们才满足C-R方程方程, 因而因而u=x2

5、-y2-x , v=2xy-y2, 所以所以21,2 ,uuxyxy 2 ,22vvyxyxy 函数仅在函数仅在y=1/2处可导处可导, 但在复平面内处处不解析但在复平面内处处不解析.因为因为 u=excos y, v=exsin y,4) ( )e (cossin ).xf zyiy e cos ,xuyxe sin ,xuyy e sin ,xvyxe cos ,xvyy 上面四个偏导数都连续上面四个偏导数都连续, 且满足且满足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在复平面内处处可导在复平面内处处可导, 处处解析。处处解析。 = ex(cos y+isin y)= f(z)( )uvfzix

6、x 且且今后将知道这个函数就是指数函数今后将知道这个函数就是指数函数ez.例例2. 设函数设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问常问常数数a,b,c,d 取何值时取何值时, f(z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析?由于由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,解解. vx=2cx+dy, vy=dx+2y则由则由ux=vy, uyvx, 得得=(1 i)(x+iy)2=(1 i)z22x+ay=dx+2y, 2cx+dyax 2by故此时函数在复平面内处处解析故此时函数在复平面内处处解析, 且且a=2, b1, c1, d=2f(z)=x2+2xy

7、y2+i( x2+2xy+y2)例例3. 求证求证 f (z)0, zD f(z)C, zD0uuvvxyxy故所以所以u=常数常数, v=常数常数, 因而因而 f(z)在在D内是常数内是常数.证证)显然显然)( )uvfzixx0vuiyy例例4. 设设函数函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域在区域D内解析内解析, 并并满足下列条件之一，那么满足下列条件之一，那么 f(z)是常数是常数: 书书P67: 101) u是实常数；是实常数；0,.wzDz3)2) v是实常数；是实常数；例例5. 设设函数函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域在区域D内解析内解析,