三角形中位线训练试题解答题

1、三角形中位线训练试题一.解答题(共30小题)1. (2013?常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC Rt CEF / ABCd CEF=90，连接AF, M是AF的中点，连接 MB ME(1) 如图1,当CB与 CE在同一直线上时，求证： MB/ CF;(2) 如图 1,若 CB=a CE=2a 求 BM ME的长；4(1) 如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连 接CF,过点F作FFUFC交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；(2) 如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，你在(1)中 得

2、出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.图13. (2008?黄石)如图，/ ABM为直角，点 C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动 点(不与点B重合)，连接AD,作BE!AD垂足为 E,连接CE,过点E作EF丄CE交BD于 F.(1) 求证：BF=FD(2) ZA在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；(3) ZA在什么范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG= DA并说明理由.4. (2008?延庆县二模)(1)如图所示，BD CE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AF丄BD AGL CE垂足分别为 F, G,连接FG延长AF, AQ与直线BC分别交于

3、点 M N,那么线段 卩6与厶ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG (AB+BC+AC(直接写出结果即可)VB CN(2)如图，若BD, CE分别是 ABC的内角平分线；其他条件不变，线段卩6与厶ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.(3) 如图，若BD ABC的内角平分线，ABC的外角平分线，其他条件不变，线段 卩6与厶ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段FG与厶ABC三边之间数量关系是5. ( 2013春?西城区期末)如图，在 ABC中，AC> AB, D点在AC上, AB=CD E、F分别是BG AD的中点，连结EF

4、并延长，与BA的延长线交于点 G若/ EFC=60，联结 GD判断 AGD的形状并证明.6如图所示，已知 AB=CD AN=ND BM=CM求证：/ 仁/ 2.BMC7.已知：如图， ABC中，/ A>Z B, CR是/ ACB的平分线且交 AB于R, AQLCR垂足为Q P为AB的中点，求证： PQ=( BC- AC .&如图所示.在四边形 ABCD中, CD> AB AB与CD不平行，E, F分别是AC, BD的中点.求 证：二 - V9.如图，在 ABC中，D为BC的中点，点 E、F分别在边 AC AB上，并且/ ABE2 ACF BE、CF交于点 0.过点 0作OP

5、L AC OQL AB P、Q为垂足.求证： DP=DQ10.如图，在凸四边形 ABCD中, M为边AB的中点，且 MC=MD分别过C, D两点，作边BC, AD的垂线，设两条垂线的交点为P.求证：/ PADM PBCDB11 如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近/B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的 BDE 的面积最小？为什么？12. 已知 ABC中，DE/ BC交AB于D,交AC于E, AM为BC边上的中线，与 DE相交于N, 求证：DN=NE13. 操作1:如图1，一三角形纸片 ABC分别取AB AC的中点D、

6、E,连接DE沿DE将纸 片剪开，并将其中的 ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2:如图2, 一平行四边形纸片 ABCD E、F、G H分别是AB BC CD AD边的中点，沿EF剪开并将其中的厶BFE纸片绕点E旋转180°到厶AF1E位置；沿HG剪开并将其中的厶DGH 纸片绕点H旋转180°到厶AGH位置；沿FG剪开并将厶CFG纸片放置于 AF1G的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FRGG.则四边形FRGG的形状图1操作、思考并探究：（1）如图3,如果四边形H分别是AB BC CD AD的中点.依次沿

7、 EF、FG GH HE剪开得到四边形纸片 EFGH请判ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片,E、F、G断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由.（2）你能将上述四边形纸片 ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边 形纸片？请在图4上画出对应的示意图.（3）如图5, E、F、G H分别是四边形 ABCD各边的中点，若 AEH BEF CFG DGH 的面积分别为 Si、S、&、S4，且Si=2, S3=5，则四边形 ABCD是面积是.（不要求说明理由）14. （2014春?张家港市校级期末）如图，点D E是Rt ABC两直角边AB AC上的一点，连接BE,

8、已知点F、G H分别是DE BE、BC的中点.（1）求/ FGH度数；（2）连CD取CD中点M,连接GM若BD=8 CE=6求GM的长.15. （2014春？团风县校级期中）如图所示. ABC中，/ B, ZC的平分线BE, CF相交于0, AGL BE 于 G AHL CF 于 H.（1）求证：GIH/ BC（2）若 AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求 GH16. （2012春?萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC ADLBC于D, DF/ AE求证：CE=2DF17. （2011秋?江都市期末）如图（1）, BD CE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AFL BD AGL

9、CE垂足分别为 F、G,连接FG延长AF、AG与直线BC相交于M N.（1 ）试说明：FG=（ AB+BC+AC；（2）如图（2）, BD CE分别是 ABC的内角平分线；如图（3）, BDABC的内角平 分线，ABC的外角平分线.则在图(2)、图(3)两种情况下，线段 FG与厶ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并对其中的一种情况说明理由.V B c N(1)(2)(3)18. (2010秋?茶陵县校级期末)如图，已知在?ABCD中, EF/ BC分别交 AB CD于 E、F两点，DE AF交于 M CE BF交于N.求证：MN= AB.19. ( 2010秋?仪征市校级期末)如

10、图1 ,BDCE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AF丄BDAGL CE垂足分别为 F、G,连接FG延长AF、AG与直线BC相交于M N.(1 )试说明：FG= (AB+BC+AC；2(2) 如图2,若BD CE分别是 ABC的内角平分线，则线段 卩6与厶ABC三边又有怎样的数 量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；(3) 如图3,若BDABC的内角平分线，ABC的外角平分线，则线段 FG与厶ABC 三边的数量关系是.图1图丄R 郵匚20. (2007?江苏)如图，已知AD与BC相交于E, / 仁/ 2=7 3,BD=CD 7 ADB=90 , CHL AB于H, CH交AD于

11、F.(1) 求证：CD/ AB(2) 求证： BDEA ACE(3) 若O为AB中点，求证：OF= BE.D/XK/<2/B0 H21. (2014春?江汉区期中)如图，已知 ABC是等边三角形，点 D, F分别在线段BC, AB 上，连接 FC, AD, DE/ FC EF/ DC(1 )若D, F分别是BC, AB的中点，连接 FD,求证：EF=FD(2)连接AE,若BF=CD求证： AED是等边三角形.CM N分别为AD BC的中点，且AB=CD求证：/仁/ 2.图122. (2013春?富顺县校级月考)如图,23. (2016春?梅河口市校级月考)如图，在四边形ABCD中, AB

12、=DC P是对角线 AC的中点,M是AD的中点，N是BC的中点.(1 )若AB=6求PM的长；(2)若/ PMN=20，求/ MPN 的度数.24. (2014?宿迁)如图，在 ABC中，点D, E, F分别是AB BC, CA的中点，AH是边BC 上的高.(1) 求证：四边形 ADEF是平行四边形；(2) 求证：/ DHFM DEF25. (2014?鞍山一模)(1)如图1,在四边形 ABCD中, E、F分别是BC AD的中点，连接 EF并延长，分别与 BA CD的延长线交于点 M N,则/ BMEM CNE求证： AB=CD (提示取 BD的中点H,连接FH HE作辅助线)(2)如图2,在

13、厶ABC中，且 O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线 OE交BA的延长线于点 G 若AB=DC=5 / OEC=60，求 OE的长度.点重合，连接 AE, CD F , M N, G分别为线段 AC CD, ED, AE的中点.(1) 如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG勺形状，并证明你的结论；(2) 从(1)开始，三角板绕 B点顺时针旋转角度 a (0°< a V 360°)时，(1)中的结 论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由.(若画出a =180°的情形，并正确答题得 2分；若画出a =90

14、°的情形，并正确答题得 4分；若画 出其它的情形并正确答题得 6分.请自主选择.)27. 已知：如图，梯形 ABCD AB/ CD以 AC AD为边向外作？ACED联结BE点F是BE 的中点，联结 CF.求证：CF/ AB.28. 在四边形 ABCD中, ACBD相交于 O点，AC=BD E、F分别是AB CD的中点，连接 EF分 别交AC BD于M N,判断三角形 MON勺形状，并说明理由.30.如图，在 ABC中，BC=a若D, Ei分别是 AB AC的中点，贝U 0日=若D2, &分别 2a是DiB, EiC的中点，则D2E2=2- 十若D3, E3分别是D2B, EC

15、的中点，则- 若DEn分别是D-iB, En-iC的中点，贝U的长是多少$ 3 2228（n> 1，且n为整数，结果用含 a, n的代数式表示）？2016年05月30日wx98wx的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. (2013?常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC Rt CEF / ABCd CEF=90，连接AF, M是AF的中点，连接 MB ME(1)(2)如图如图1,1,当CB与 CE在同一直线上时，求证： MB/ CF; 若 CB=a CE=2a 求 BM ME的长；BM=ME如答图1a，延长AB交CF于点D,则易知 ABC与厶BCD均为等腰直角三

16、角形, AB=BCBD点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点， BM%A ADF的中位线， BIM/ CF.证法二：如答图1b,延长BM交EF于D,/ ABCM CEF=90 , AB丄 CE EF± CE AB/ EF, / BAMM DFMM是AF的中点， AM=MF在厶ABM和厶FDM中，'ZBAM=ZDFI' AM=F1I,lzamb=zfmd ABM2A FDM( ASA , AB=DF/ BE=CE BC, DE=EF- DF, BE=DE BDE是等腰直角三角形，/ EBM=45 ,在等腰直角 CEF中，/ ECF=45 ,/ EBMM ECF M

17、B/ CF;(2 )解法一：如答图2a所示，延长 AB交CF于点D,则易知 BCD与厶ABC为等腰直角三角形, AB=BC=BD亍a AC=CD= _：a,点B为AD中点，又点 M为AF中点， BM= DF.分别延长FE与CA交于点G,则易知 CEF与厶CEG均为等腰直角三角形, CE=EF=GE=2a CG=CF= _a,点E为FG中点，又点 M为AF中点， ME= AG2/ CG=CF= Ta, CA=CD=a, AG=DF=a.2 2解法二：如答图1b.CB=a CE=2a, BE=CE CB=2a_ a=a ,/ ABM2A FDM BM=DM又 BED是等腰直角三角形,BM=ME B

18、EM是等腰直角三角形，点B为AD中点，又点(3 )证法一：如答图3a ,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知 ABC与厶BCD均为等腰直角三角形, AB=BC=BD AC=CD点E为FG中点，又点M为 AF 中点， ME= AG.2延长FE与CB交于点G连接AG则易知 CEF与厶CEG匀为等腰直角三角形, CE=EF=EG CF=CG在厶ACG与厶DCF中,AC=CD它 ZACG-ZDCF=45,m 二 cf ACG2A DCF( SAS, DF=AG BM=ME证法二：如答图3b,延长BM交CF于D,连接BE DE/ BCE=45 ,/ ACD=45 X 2+45° =135&#

19、176;/ BACf ACF=45 +135° =180°, AB/ CF,/ BAMM DFMM是AF的中点， AM=FM在厶ABM和厶FDM中，'ZBAM=ZDFIlzamb=zfmd ABM2A FDM( ASA , AB=DF BM=DMAB=BC=DF在厶BCE和厶DFE中，rBC=DF ZBCE=ZDFE=45& ,lCE=FE BCEA DFE( SAS , be=dem BECM def/ BEDM BECM CEDM DEF+M CEDM CEF=90 , BDE是等腰直角三角形，又 BM=DM BM=ME=BD,2故 BM=MECD答图3

20、bC 答图la2. (2010?顺义区)在厶ABC中，AC=BC/ ACB=90，点 D为AC的中点.(1) 如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连 接CF,过点F作FFUFC交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；(2) 如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，你在(1)中 得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.【解答】 解：(1) FH与FC的数量关系是：FH=FC 证明如下：延长 DF交AB于点G圏1由题意，知/ EDF2 ACB=90 , DE=DF DG/ CB点D为AC的中

21、点，点G为AB的中点，且|厂-.:,* ABC的中位线，/ AC=BC DC=DG DC- DE=DG DF，即 EC=FG/ EDF=90，FH1 FC, / 1+Z CFD=90，/ 2+Z CFD=90 , / 仁/ 2. DEF与厶ADG都是等腰直角三角形， / DEF=/ DGA=45 ,/ CEF=/ FGH=135 , CEFA FGH CF=FH(2) FH与FC仍然相等.理由：由题意可得出：DF=DE/ DFE=/ DEF=45 ,/ AC=BC/ A=Z CBA=45 , DF/ BC/ CBAM FGB=45 ,/ FGHM CEF=45 ,点D为AC的中点，DF/ BC

22、 DG= BC, DC= AC,2 2 DG=DCEC=GF/ DFC=/ FCB/ GFHM FCE 在厶FCE和厶HFG中'ZCEF=ZFGH” EC=GF ,lZECF=ZGFH FCEA HFG( ASA , HF=FC3. (2008?黄石)如图，/ ABM为直角，点 C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动 点(不与点B重合)，连接AD,作BE!AD垂足为 E,连接CE,过点E作EF丄CE交BD于 F.(1) 求证：BF=FD(2) ZA在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；(3) ZA在什么范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG= DA并说明理由

23、.【解答】(1)证明：在Rt AEB中，/ AC=BC CE= AB,2 CB=CE/ CEBM CBE/ CEF=/ CBF=90 ,/ BEF=/ EBF EF=BF/ BEF亡 FED=90，/ EBD+/ EDB=90 ,/ FED/ EDF BF=FD(2) 解：由(1) BF=FD 而 BC=CA CF/ AD 即 AE/ CF.若 AC/ EF,贝U AC=EF BC=BF. BA=BD / A=45. O°V/ Av 90°且/ AM45°时，四边形ACFE为梯形;(3) 解：作GHLBD垂足为H,贝U GH/ AB./ DG= DA4 DH= D

24、B.4又F为BD中点， H为DF的中点. GH为DF的中垂线. / GDF/ GFD点 G在 ED上, / EFDZ GFD/ EFD+/ FDE+/ DEF=180 , / GFD/ FDE+/ DEFC 180 度. 3/ EDFC 180 度. / EDFC 60 度.又/ A+/ EDF=90 , 30°C/ Av 90°.当 30°C/ Av 90° 时，DE上存在点G,满足条件DG= DA4. (2008?延庆县二模)(1)如图所示，BD CE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AF丄BD AGL CE垂足分别为 F, G,连接FG延长AF,

25、 AG与直线BC分别交于点 M N,那么线段 卩6与厶ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= -(AB+BC+AC2(直接写出结果即可)MB CN(2)如图，若BD, CE分别是 ABC的内角平分线；其他条件不变，线段卩6与厶ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.(3)如图，若BD ABC的内角平分线，ABC的外角平分线，其他条件不变，线段 卩6与厶ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段FG与厶ABC三边之间数量关系是GF= (AC+BG AB).(2)答:FG= (AB+AC- BC)2证明：延长 AG交BC于N,延长AF交BC

26、于M/ AFL BD AGL CE/ AGCM CGN=90，/ AFB=/ BFM=90在 Rt AGC和 Rt CGN中/ AGCM CGN=90 , CG=CGZ ACGM NCG AGQ Rt NGC AC=CN AG=NG同理可证：AF=FM AB=BM GF是AAMN的中位线 GF= MN2/ AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+BC=BN+MN+CM AB+AC- BC=MN GF= MN= (AB+AC- BC);2 2(3)线段卩6与厶ABC三边之间数量关系是:GF= (AC+BC- AB).2AB N MCF分别是GD判断5. ( 2013春?西城区期末)如图，在 A

27、BC中，AC> AB, D点在AC上, AB=CDBC AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点 G若/ EFC=60，联结 AGD的形状并证明.【解答】 解：判断： AGD是直角三角形.证明：连接 BD,取BD的中点H,连接HF HEF是AD的中点， HF/ AB HF= AB,2 / 仁/ 3,同理，HE/ CD HE= CD2 / 2=Z EFC/ AB=CD HF=HE / 仁/ 2 , / 3=Z EFC/ EFC=60 , / 3=Z EFC2 AFG=60 , AGF是等边三角形, AF=FG/ AF=FD GF=FD/ FGDM FDG=30 ,:丄 AGD=90

28、 ,即厶AGD是直角三角形.6如图所示，已知 AB=CD AN=ND BM=CM求证：/ 仁/ 2.BMC【解答】解：连接BD取BD的中点G连接MG NG G N、M均为中点， 6“是厶ADB的AB对的中位线， GM是 BCD的CD对的中位线, NG/ AB NGAB, GM/ CD GM=CD2 2/ 仁/ GNM / 2=Z GME又 AB=CD MG=ING/ GNMNGME/ 仁/ 2./LAB M C7.已知：如图， ABC中，/ A>Z B, CR是/ACB的平分线且交 AB于R, AQLCR垂足为Q P为AB的中点，求证： PQ= ( BC- AC).【解答】 解：延长AQ

29、与 BC交于D./ CR是/ACB的平分线，/ ACQM DCQ/ AQCM DQC=90 , CQ=CQ ACQ2A DCQ (ASA AQ=QP AC=CD BC- CD=BG AC=BDTP是AB的中点，且 AQ=QD PQ是三角形 ABD的中位线. PQ= BD.2 PQ= ( BC- AC).&如图所示.在四边形 ABCD中, CD> AB AB与CD不平行，E, F分别是AC, BD的中点.求【解答】证明：取AD中点G连接EQ FG,在厶ACD中，EG是它的中位线（已知 E是AC的中点），所以EG= CDD同理，由F, G分别是BD和AD的中点，从而，卩6是厶ABD的

30、中位线,所以FG= AB2在厶 EFG 中，EF> EG- FG.由，得 EF> - ( CD- AB)CD9. 如图，在 ABC中，D为BC的中点，点 E、F分别在边 AC AB上，并且/ ABE2 ACF BE、CF交于点 0.过点 0作OPL AC OQL AB P、Q为垂足.求证： DP=DQ【解答】 证明：如图，取 0B中点M, 0C中点N,连接MD MQ DN PND为BC的中点 DIM/ OC DM= OC DIN/ OB DN= OB2 2在 Rt BOQ和 Rt OCP中，QM= OB PN= OC2 2 DM=PN QM=DN / QMDN QMO+ OMD=2

31、 ABO# FOB/ PND# PNO# OND=2 ACO# EOC/ ABO# ACO / FOB# EOC # QMD#PND QMID DNP DQ=DPBD10. 如图，在凸四边形 ABCD中, M为边AB的中点，且 MC=M,分别过C, D两点，作边BC, AD的垂线，设两条垂线的交点为P.求证：/ PADM PBC【解答】证明：如图：取 AP, BP的中点分别为F, E;并连接DF, MF EC, ME 根据三角形的中位线定理得：MF= BP=PE ME= AP=PF2 2四边形MFPE为平行四边形/ MFPM MEP/ PDL AD PCL BC/ ADPM BCP=90 ,在

32、 Rt APD与 Rt BPC中,DF=AF=PF= PA CE=BE=PE=BP,2 2 DF=EM=PF FM=PE=CE/ MC=MD MDS CME( SSS ,/ DFMMMEC/ DFP=/ CEP FA=FD CE=BE/ DAF=/ FDA / ECBM CBE/ DFP=M DAP M CEP=M CBP/ DFPM CEP M PADM PBCD制B11 如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近/B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的 BDE 的面积最小？为什么？【解答】 解：过P作直线GF/ AB,交

33、BC于G,交AC于F,在BC上取点E, 使GE=BG延长EP交AB于点。，则厶BDE的面积最小.若过P任作一直线，交 BC于M交AB于N,过D作DK/ BC交MN于K,/ GP/ AB BG=GE DP PE=BG GE PD=PE又 T DK/ BC/ KDP/ MEP / PKD/ PME MPFA KPGS NPC Sampf,-S abmA SabfG BDE的面积最小.12. 已知 ABC中，DE/ BC交AB于D,交AC于E , AM为BC边上的中线，与 DE相交于N, 求证：DN=NE【解答】 证明：在厶ABC中，T DE/ BC ADWA ABM 且厶 AENA ACM7 &q

34、uot;J且空， -丽p,是BC的中点，所以 BM=CM.DN=NE13. 操作1:如图1，一三角形纸片 ABC分别取AB AC的中点D、E,连接DE沿DE将纸 片剪开，并将其中的 ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2:如图2, 一平行四边形纸片 ABCD E、F、G H分别是AB BC CD AD边的中点， 沿EF剪开并将其中的厶BFE纸片绕点E旋转180°到厶AF1E位置；沿HG剪开并将其中的厶DGH 纸片绕点H旋转180°到厶AGH位置；沿FG剪开并将厶CFG纸片放置于 AF1G的位置，此 时四张纸片恰好拼合 （

35、无重叠无缝隙）成四边形 FFQG则四边形FRGG的形状是 平行四的面积分别为 S1、在、S3、S4，且S1=2, 明理由）图1图2操作、思考并探究：（1）如图3,如果四边形 ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、GH分别是AB BC CD AD的中点.依次沿 EF、FG GH HE剪开得到四边形纸片 EFGH请判 断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由.（2）你能将上述四边形纸片 ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边 形纸片？请在图4上画出对应的示意图.DABCD各边的中点，若 AEH BEF CFG DGHS3=5,则四边形ABCD是面积是 28.

36、（不要求说解：操作2:连接BD根据三角形的中位线定理，得EH/ BD EH=；BD, FG/ BD FGBD,2 2根据旋转的性质，得 FiG/ EH FiGi=EH.所以 FiG / FG FiG=FG所以四边形FFiGG的形状是平行四边形.GH °D E是Rt ABC两直角边 AB AC上的一点, BC的中点.BE、BC的中点,连接(1)(2)图3(1) 连接BD.根据三角形的中位线定理，得EH/ BD EH= BD, FG/ BD FG= BD,2 2贝U EH/ FG EH=FQ则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形.(2) 见上述操作2;(3) 28.14. (2014春?

37、张家港市校级期末)如图，点BE,已知点F、G H分别是DE BE、 求/ FGH度数；连CD取CD中点M,连接GM若BD=8 CE=6求GM的长. FG/ DB GIH/ EC/ DBEM FGE / EHGMAEG/ FGHM FGEf EGHMABE+Z BEA=180 / A=180° - 90° =90°(2)如图所示：连接 FM HM/ M H分别是BC和DC的中点， MN/ BD MN丄bit2同理：GF/ BD GFbDL_i"四边形FGHM为平行四边形./ G H、M分别是BE BC DC的中点， gh=-二=3由（1）可知：/ FGH=

38、90 ,四边形FGHM为矩形. / GHM=90 . GM=：| J ；,.'=5.15. （2014春？团风县校级期中）如图所示. ABC中，/ B,ZC的平分线BE, CF相交于O,AGL BE 于 G AHL CF 于 H.（1）求证：GH/ BC（2）若 AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求 GH【解答】 解：（1）证明：分别延长 AG AH交BC于 M N在AABM中，由已知，BG平分/ ABM BGL AM 所以 ABG MB（ ASA）.从而，G是AM的中点.同理可证 ACHA NCH（ ASA,从而，H是AN的中点.所以 GH>A AMN的中位线，从而

39、，HG/ MN即 HG/ BC（2）解：由（1）知， ABGA MBG 及厶 ACHA NCH所以 AB=BM=91 米，AC=CN=1厘米.又BC=18厘米，所以 BN=BC- CN=18- 14=4 （厘米），MC=BG BM=18- 9=9 （厘米）.从而 MN=1- 4 - 9=5 （厘米），1 5 GH= MN= cm.2 2B N A/ C16. （2012春?萍乡校级期中）已知：如图， AB=AC ADLBC于D, DF/ AE求证：CE=2DF【解答】 证明：T AB=AC ADL BC于D, BD=CD/ DF/ AE BF=EF DF > BEC的中位线， CE=2D

40、F17. （2011秋?江都市期末）如图（1）, BD CE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AFL BD, AGL CE垂足分别为 F、G,连接FG延长AF、AQ与直线BC相交于M N.（1 ）试说明：FG= （AB+BC+AC；2（2）如图（2）, BD CE分别是 ABC的内角平分线；如图（3）, BDABC的内角平 分线,ABC的外角平分线.则在图（2）、图（3）两种情况下，线段 FG与厶ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并对其中的一种情况说明理由.AM B C X(3)(1)【解答】 解：(1)证明：T AFL BD / ABF=/ MBF / BAF=/ BMF M

41、B=AB AF=MF同理可说明：CN=AC AG=NG FG是AAMN的中位线， FGMnJ： ( MB+BC+QN(AB+BC+AC2 2 2（2）解：图（2)中，FG= : (AB+AC> BC)图(3)中,FG=： (AC+BC- AB)(1)18. （2010秋?茶陵县校级期末）如图，已知在两点，DE AF交于 M CE BF交于N.求证:?ABCD中, EF/ BC 分另【J交 AB CD于 E、FMN= AB.2DF cEB 如图(2),延长AF、AG与直线BC相交于 M N,由(1)中可知， MB=AB AF=MF CN=AC AG=NG FG= MN= ( BM+CIN

42、BC =( AB+AG BC),2 2 2 如图(3)延长AF、AG与直线BC相交于 M N,同样由(1)中可知，MB=AB AF=MF CN=AC AG=NG FGMN=i ( CN+BG BM ( AC+BG AB),解答正确一种即可2 2【解答】 证明：平行四边形 ABCDCD/ AB AD/ BC/ EF/ BC EF/ BC/ AD四边形ADFE CFEB是平行四边形， FM=AM FN=BN MN= AB.219. （ 2010秋?仪征市校级期末）如图1 ,BDCE分别是 ABC的外角平分线，过点A作AF丄BDAGL CE垂足分别为 F、G,连接FG延长AF、AG与直线BC相交于M

43、 N.(1 )试说明：FG= (AB+BC+AC;2(2) 如图2,若BD CE分别是 ABC的内角平分线，则线段 卩6与厶ABC三边又有怎样的数 量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；(3) 如图3,若BDABC的内角平分线，ABC的外角平分线，则线段 FG与厶ABC三边的数量关系是FG= (AC+BC- AB).2图1图R图3C【解答】解：(1)V BDL AF,/ AFB=/ MFB=90 ,在厶ABF和AMBF中'ZAFB-ZIFB“ BF=BF ,lZABF=ZMBF ABFA MBF( ASA MB=AB AF=MF同理：CN=AC AG=NG FG是AAMN

44、的中位线 FG= MN2=(MB+BC+CN2=_ (AB+BC+AC(2 )图(2)中，FG= (AB+AC- BC)2解：如图(2),延长AF、AG与直线 BC相交于M N,/ AF丄 BD / ABF=/ MBF / BAF=/ BMF在厶ABF和 MBF中rZAFB=ZMFB ” BF二BF, ABFA MBF( ASA MB=AB AF=MF同理：CN=AC AG=NG FG= MN2=(BM+CIN BC ,2=(AB+AC- BC ,2答：线段 卩6与厶ABC三边的数量关系是 FG= (AB+AG- BC .2(3) 解：FG= (AC+BC- AB,2理由是： AF丄 BD /

45、 ABF=/ MBF/ BAF=/ BMF在厶ABF和 MBF中rZAFB=ZMFBBF二BF, ABFA MBF( ASA MB=AB AF=MF同理：CN=AC AG=NG FG= MN2=_ ( CN+BG BM),2=(AC+BC- AB).2故答案为：FG= (AC+BC-220. (2007?江苏)如图，已知 AD与 BC相交于 E, / 仁/ 2=Z 3, BD=CD / ADB=90 , CH丄AB 于H, CH交AD于F.(1) 求证：CD/ AB(2) 求证： BDEA ACE(3) 若O为AB中点，求证：OF=,BE.DBo hr>【解答】 证明：(1 ) BD=C

46、D/ BCDM 1;/ 仁/ 2,/ BCDM 2; CD/1 AB(2)T CD/1 ABCDAM 3./ BCDM 2=Z 3, BE=AE且/ CDAM BCD DE=CE在厶BDE和厶ACE中，fDE=CEBE=AE BDEAACE( SAS ；(3 ) BDEA ACE / 4=Z 1,Z ACEM BDE=90 / ACH=90 -Z BCH又 CHL AB Z 2=90°-Z BCH Z ACHZ 2=Z 1=Z 4, AF=CFvZ AEC=90 -Z 4,Z ECF=90 -Z ACH又tZ ACHZ 4, Z AECZ ECF CF=EF EF=AFVO为AB中点

47、， OF ABE的中位线； OF= BE.221. (2014春?江汉区期中)如图，已知 ABC是等边三角形，点 D, F分别在线段BC, AB 上，连接 FC, AD, DE/ FC EF/ DC(1 )若D, F分别是BC, AB的中点，连接 FD,求证：EF=FD(2)连接AE,若BF=CD求证： AED是等边三角形.A【解答】(1)证明：T DE/ FC EF/ DC,四边形CDEF是平行四边形， EF=CDD, F分别是BC, AB的中点， ADL BC CF丄 AB BF=CD= AB,2又 FD=BF= AB,2FD=CD EF=FD(2)证明：ABC是等边三角形， / B=Z

48、ACD=60 , BC=ACrBC=AC在 BCF和 ACD中，” ZB二ZACD ,HF二CD BCFA ACD( SAS , CF=AD Z CADM BCF DE/ FC EF/ DC四边形CDEF是平行四边形， CF=D E DE/ FC, Z BCFZ BDE由三角形的外角性质得，Z CADZ ACBM BDEM ADE Z ADEM ACB=60 , AED是等边三角形.22. （2013春？富顺县校级月考） 如图，M N分别为AD BC的中点，且AB=CD求证：Z仁Z 2.G【解答】 证明：连接AC,取AC的中点G连接NG和MG G是AC的中点，M是BC的中点，即 MG>A

49、ABC的中位线, MG=AB,且 MG/ AB2/ 2=Z NMG同理，GN=CD NG/ CD2/ 仁/ MNG又 AB=CD MG=NG/ MNGNNMG/ 仁/ 2.23. (2016春?梅河口市校级月考)如图，在四边形ABCD中, AB=DC P是对角线AC的中点,M是AD的中点，N是BC的中点.(1 )若AB=6求PM的长；(2)若/ PMN=20，求/ MPN 的度数.【解答】 解：(1)v AB=DC AB=6, DC=6点P是AC的中点，点 M是AD的中点， PM= DC= X 6=3;2 2(2)点P是AC的中点，点 N是BC的中点， PN= BC,2/ AB=DC PM=P

50、N/ PNMWPMN=20 , / MPN=18° -Z PMN-Z PNM=14° .24. (2014?宿迁)如图，在 ABC中，点D, E, F分别是AB BC, CA的中点，AH是边BC 上的高.(1) 求证：四边形 ADEF是平行四边形;(2) 求证：Z DHFZ DEF DE EF都是 ABC的中位线， EF/ AB DE/ AC四边形ADEF是平行四边形；(2 )四边形ADEF是平行四边形， Z DEFZ BAC D, F分别是AB, CA的中点，AH是边BC上的高， DH=AD FH=AF Z DAHZ DHA Z FAHZ FHA Z DAH-Z FAHZ BACZ DHAZ FHAZ DHF Z DHFZ BAC Z DHFZ DEF25. (2014?鞍山一模)(1)如图1,在四边形 ABCD中 , E、F分别是BC AD的中点，连接 EF并延长，分别与 BA CD的延长线交于点 M N,则Z BMEZ CNE求证： AB=CD (提示取 BD的中点H,连接FH, HE作辅助线)(2)如图2,在厶ABC中，且 O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线 OE交BA的延长线于点 G 若AB=DC=5 Z OEC=60 ,求 OE的长度.G连结EH FH.B