第6章微波谐振器

1、第6章 微波谐振器微波谐振器 微波谐振器通常由一定形状的微波谐振器通常由一定形状的“电壁电壁”或或“磁磁壁壁”限定的体积内，产生电磁振荡。限定的体积内，产生电磁振荡。 它是一种储能和选频谐振元件，用于滤波器、它是一种储能和选频谐振元件，用于滤波器、振荡器、频率计、调谐放大器等。振荡器、频率计、调谐放大器等。 选选频频谐谐振振腔腔滤滤波波灵灵敏敏测测量量波波长长计计介介质质测测量量什么是电壁，磁壁？什么是电壁，磁壁？电力线垂直理想导体表面电力线垂直理想导体表面磁力线垂直理想磁介质表面磁力线垂直理想磁介质表面谐振器：低频（谐振器：低频（300MHz300MHz）采用集中参数的）采用集中参数的LC

2、LC 谐振谐振回路；回路；但在高频段（但在高频段（300MHz300MHz），），LCLC回路的欧姆损回路的欧姆损耗、介质损耗、辐射损耗增大，品质因素耗、介质损耗、辐射损耗增大，品质因素Q Q下降。下降。 微波谐振器可以定性地看作是由集中参数微波谐振器可以定性地看作是由集中参数LC LC 谐振谐振回路过渡而来的，如图所示。回路过渡而来的，如图所示。 在研究谐振频率在研究谐振频率f f0 0 时，采用不计及腔损耗，即腔壁时，采用不计及腔损耗，即腔壁由理想导体构成。但是，当研究由理想导体构成。但是，当研究Q Q 时时, ,则必须考虑损则必须考虑损耗的因素。耗的因素。6-1 6-1 微波谐振器的基本

3、特性与参数微波谐振器的基本特性与参数 一、任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性一、任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性 任意形状理想导电壁的谐振器，填充均匀介质，且任意形状理想导电壁的谐振器，填充均匀介质，且无源，电磁场满足无源，电磁场满足SV, n2220EEt2220HHt边界条件：边界条件：分离变量法分离变量法 ( ) ( )EE r T t2( )( )0iTtT t22( )( )0iE rk E r1( )ijtiiiEE r Ae0,0nEn H1( )ijtiiiEE r Ae为满足边界条件的模式矢量函数为满足边界条件的模式矢量函数( )iE ri谐振器自由振荡的模式角频率谐振

4、器自由振荡的模式角频率iik对于谐振器，某一自由振荡模式对于谐振器，某一自由振荡模式( ),( )iijtjtiiiiAEAE r eHjH r e谐振器自由振荡的模式，其谐振器自由振荡的模式，其最大电场储能量等于最最大电场储能量等于最大磁场储能量大磁场储能量EH2211|22emWEdHdW微波谐振器可以存在无穷多不同振荡模式的自由振荡微波谐振器可以存在无穷多不同振荡模式的自由振荡不同振荡模式具有不同的振荡频率，而不同振荡模式具有不同的振荡频率，而LCLC回路只有单回路只有单一谐振频率。一谐振频率。对于微波谐振器的某一模式（频率），电场与磁场的对于微波谐振器的某一模式（频率），电场与磁场的实

5、间相位差实间相位差9090，即电场最大时，磁场最小。能量在，即电场最大时，磁场最小。能量在电场与磁场间交换。但最大储能相等。与电场与磁场间交换。但最大储能相等。与LCLC回路相似回路相似 二、谐振器的基本参数二、谐振器的基本参数 1 1、谐振波长、谐振波长0表征表征谐振器的振荡规律和存在条件。谐振器的振荡规律和存在条件。在求解中在求解中, ,它与它与传输线不同。在传输线中传输线不同。在传输线中z z是优势方向是优势方向: :即从概念上讲：即从概念上讲：x x、y y方向是驻波，而方向是驻波，而z z方向假定是行波。方向假定是行波。xy0-z22222222222()00tcxycckEEEzk

6、kkkk 例，矩形波导例，矩形波导 2222222222222000 xyxxyzd Ek Edxd Ek Edyd Ek Edzkkkkx0-zy矩形谐振腔矩形谐振腔 可见可见, ,传输线传输线kc 是二是二维谐振，维谐振，将一端矩形波将一端矩形波导两段封闭，导两段封闭，z z方向的行方向的行波解也变为驻波形式。波解也变为驻波形式。即，即，谐振腔在三个方向谐振腔在三个方向都是纯驻波。都是纯驻波。 c1,2,2glpp2,gpl0222211(1/)(1/)(1/)( /2 )cgcpl为波导的截止波长，为波导的截止波长， 波导波长波导波长g在在z z方向，也有边界限制，也应呈驻波分布方向，也

7、有边界限制，也应呈驻波分布 222222xyzckkkkk2 2、品质因数、品质因数 0Q表征微波谐振系统的频率选择性，表示谐振器储能表征微波谐振系统的频率选择性，表示谐振器储能与损耗间关系。与损耗间关系。W谐振器平均储能；谐振器平均储能；lP一周期内的平均损耗功率一周期内的平均损耗功率 02|Q谐振时谐振器内储存电磁能量一个周期内损耗的电磁能量0lWP2002|VStSHdVQRHdS202|2|VtSHdVQHdS谐振器内壁的切向磁场一般总大于腔内磁场，近似有谐振器内壁的切向磁场一般总大于腔内磁场，近似有2sR222sR202|2|VtSHdVQHdS22| /2tHH01 VQS32,V

8、S0Q 可以知道，可以知道， 小、小、V/S大，是大，是Q0大的先决条件。大的先决条件。理理想腔的品质因数也称为固有品质因数想腔的品质因数也称为固有品质因数Q0( (或无载或无载Q值值) )。 Q无量纲无量纲, ,只与媒质、腔体几只与媒质、腔体几何形状和波型有关何形状和波型有关。事实上可。事实上可以有很多以有很多损耗源损耗源，例如，例如1nLLiiPP除了导电壁除了导电壁 的的Q Q 值以值以外，最普遍的是介质外，最普遍的是介质 对应的对应的Q Qd d。这时储能和损耗功率分这时储能和损耗功率分别是别是 j2201|21|2VLVWEdVPEdV01dLWQPtg 可见可见, ,均匀分布的介质

9、均匀分布的介质Q值是一个普适的公式，值是一个普适的公式，它与波型无关。它与波型无关。现在，我们进一步引进复频率现在，我们进一步引进复频率 ，令令01j于是内部场可写成于是内部场可写成 000jtjttmmEE eE ee 复频率复频率 相当于场衰减。于是能量可写成相当于场衰减。于是能量可写成 02tmWW e 而损耗功率而损耗功率 ，于是，于是 PdWdtL0LWdWP dtdtQ 02dWWdt 12Q比较上两式比较上两式 引入复频率，可引入复频率，可以把谐振频率和以把谐振频率和幅值包含在一个幅值包含在一个公式之中公式之中0112jQ3 3、损耗电导、损耗电导 0G将单模谐振器等效为将单模谐

10、振器等效为LCLC回路，用等效电导表示谐回路，用等效电导表示谐振器功率损耗振器功率损耗20/2lmPG V202/lmGP VmV为等效电路两段电压幅值为等效电路两段电压幅值bmmaVEdl 202|tssbmaHdsGREdl现代微波理论中对于现代微波理论中对于G G0 0 这个参量已经比较这个参量已经比较淡化淡化( (只有在只有在TEMTEM波，波，例如同轴腔才使用例如同轴腔才使用) )，而强调而强调0 0和和Q Q这两个这两个参量。参量。6-2 6-2 串联和并联谐振电路串联和并联谐振电路 LVRCinZI输入阻抗输入阻抗 1inZRj LjC*2211|2211| ()2ininPVI

11、ZIIRj LjC输入复功率输入复功率 电阻耗散功率电阻耗散功率 21|2lPIR一、一、串联谐振电路串联谐振电路 211| (2()2lminePIRj LCPWjjW2222| /)2(ininlmePjPZIIWW202/ |1/inlZPIRLC谐振时，谐振时，meWW电感中平均储磁场能量电感中平均储磁场能量21|4mWIL2211|4eWIC电容中平均储电场能量电容中平均储电场能量1 1、谐振频率、谐振频率 复功率复功率2 2、品质因数、品质因数 串联谐振电路串联谐振电路 000012memllWWWLQCPPRRRQ在谐振频率附近在谐振频率附近 0211(1)inZRj LjRj

12、LCLC201/ LC2202inZRj L有耗谐振器可有耗谐振器可看成有复谐振看成有复谐振频率的无耗的频率的无耗的0(1/2 )jQ0/22Rj LRj RQ 二、并联谐振电路二、并联谐振电路 1(1/1/)inZRj Lj C2*2*11| /221| (1/)2ininVRPVjCIZLVj电阻耗散功率电阻耗散功率 21| /2lPVR221| /4mWVL21|4eWVC2()inlmePPjWW复功率复功率202/ |1/inlZPIRLC1 1、谐振频率、谐振频率 2 2、品质因数、品质因数 0002mlCPRQRWL在谐振频率附近在谐振频率附近 00112/1/2inRjQZRj

13、C 谐振频率可采用电纳法分析。在谐振时，谐振谐振频率可采用电纳法分析。在谐振时，谐振器内电场能量和磁场能量彼此相互转换，其谐振器器内电场能量和磁场能量彼此相互转换，其谐振器内总的电纳为零。如果采用某种方法得到谐振器的内总的电纳为零。如果采用某种方法得到谐振器的等效电路，并将所有的等效电纳归算到同一个参考等效电路，并将所有的等效电纳归算到同一个参考面上，则谐振时，此参考面上总的电纳为零，即面上，则谐振时，此参考面上总的电纳为零，即B f00获得谐振频率。获得谐振频率。6-3 6-3 传输线谐振器传输线谐振器 利用不同长度和端接（开路或短路）的利用不同长度和端接（开路或短路）的TEM传输线传输线端

14、构成端构成一、短路一、短路/2/2线型谐振器线型谐振器 inZ0,Z 终端短路的有耗线，终端短路的有耗线，谐振时，谐振时， ，则，则 0/2(1,2,3,)lnn2 / 特性阻抗特性阻抗 0Z相移常数相移常数 衰减常数衰减常数输入阻抗输入阻抗 00thtg1+ tth()gthinljlZZZjljlllinZ0,Z 00thtg1+ tth()gthinljlZZZjljll无耗线无耗线 00tginZjZl1lth ll0当当0pppllll0nln 00000(/)()1+(/)inlj nnZZZljj l n 00()innZZlj 与串联谐振电路的输入阻抗与串联谐振电路的输入阻抗

15、相似。相似。 0RZl等效电感等效电感 002n ZL等效电容等效电容200012CLnZ品质因数品质因数 022LnQRl2inZRj L二、短路二、短路/4/4线型谐振器线型谐振器 长度为（长度为（2n2n1 1）/4 (n=1,2,3/4 (n=1,2,3) )短路传输线短路传输线构成并联谐振器。构成并联谐振器。由由 000thtg1+th(tgth1thctgthc)tginljlZjlljllZljlZZjl2 / 2(21)(21)42nln回顾回顾无耗传输线输入阻抗无耗传输线输入阻抗 0tginZjZl 等效为并联谐振电路等效为并联谐振电路 谐振时，谐振时， 令令 000(21)

16、(21)22pppllnnll 00(21)(21)ctgtgnnl 000(21)/1thctgtht2c ginjllZlZZljnjl 0000/(21)12 (2/21)/4/inZZljnlZljn 0112/1/2inRjQZRjC 回顾并联回顾并联RLC谐振电路谐振电路 重写重写比较两式比较两式 (21)4nQl0ZRl00(21)4nCZ三、同轴谐振腔三、同轴谐振腔同轴谐振腔通常分为同轴谐振腔通常分为 /2/2型、型、 /4/4型及电容加载型三型及电容加载型三种。其工作特点简要介绍如下。种。其工作特点简要介绍如下。1 1、 /2/2型同轴谐振腔型同轴谐振腔 /2/2型同轴谐振腔

17、由两端短路的一段同轴线构成，型同轴谐振腔由两端短路的一段同轴线构成，如下图所示。谐振条件为如下图所示。谐振条件为BB120BB12 01222nlllnln02 Qb abab a002118lnln由上式可导出谐振波长由上式可导出谐振波长 0 0与腔体长度与腔体长度l l的关系为的关系为或或 /2/2型同轴谐振腔的品质因数为型同轴谐振腔的品质因数为当当( (b/ab/a)=3.6)=3.6时，同轴腔的品质因数时，同轴腔的品质因数Q Q0 0 达最大。达最大。BB12 2 2、 /4/4型同轴谐振腔型同轴谐振腔谐振时应满足：谐振时应满足：0421lnln2140或或由于这类同轴腔内导体长度为由

18、于这类同轴腔内导体长度为 0 0/4/4的奇数倍，故称的奇数倍，故称为四分之一波长型同轴谐振腔。为四分之一波长型同轴谐振腔。谐振波长谐振波长 0 0与腔体长度与腔体长度l l的关系为的关系为四、开路四、开路/2/2线型谐振器线型谐振器 带状线和微带线也传输带状线和微带线也传输TEMTEM波，波， /2/2开路线开路线回顾第回顾第2 2章终端开路无耗线，输入阻抗章终端开路无耗线，输入阻抗 00ctgctginZjZljZn 2 / 22nln等效并联谐振电路等效并联谐振电路00cth(1tgththt)ginjZZjllZljll 由由谐振附近时，谐振附近时， 令令 00nln 0001tgt/

19、hthtginjllZllZnjZlj 00/tgtg()nnl 0112/1/2inRjQZRjC 对比并联对比并联RLCRLC谐振电路谐振电路 获得获得 2nQl0ZRl002nCZ 五、五、 电容加载型同轴谐振腔电容加载型同轴谐振腔 电容加载型同轴谐振腔电容加载型同轴谐振腔 BB120谐振条件：谐振条件：回顾终端接纯电容负载回顾终端接纯电容负载相当小于相当小于/4/4开路线等效开路线等效LLZjX 0arcctg()2LXlZ满足谐振条件的满足谐振条件的C C 值值 0002 ctglCY如果将缝隙电场近如果将缝隙电场近似看作均匀分布，似看作均匀分布，则式中则式中C C可按平板可按平板电

20、容公式计算电容公式计算CSdad 002 0 0为空气的介电常为空气的介电常数，数，a a为同轴腔内半为同轴腔内半径，径，d d为缝隙宽度。为缝隙宽度。6-4 6-4 金属波导谐振腔金属波导谐振腔 一、矩形谐振腔矩形谐振腔 矩形谐振腔是由一段两端短路的矩形波导构成，矩形谐振腔是由一段两端短路的矩形波导构成，它的横截面尺寸为它的横截面尺寸为a a b b，长度为，长度为l l。1 1、 谐振模式及其场分布谐振模式及其场分布在在TETEmnmn模和模和TMTMmnmn中中横向电场横向电场0( , , )( , )mnmnjzjzttE x y zEx yA eA e传播常数传播常数 222(/ )

21、(/ )mnkmanb首先在首先在z=0处放一块金属处放一块金属板板( (全反射全反射),),则有则有 0tE 则则 AA 又在又在z zl l处方金属板，处方金属板，( , , )0tE x y l 0( , , )( , )2 sinttmnE x y lEx y Ajl 要求要求 (1,2,)mnpll谐振时腔边长等于半波导波长的整数倍谐振时腔边长等于半波导波长的整数倍矩形谐振腔的截止波数矩形谐振腔的截止波数 222(/ )(/ )(/ )mnpkmanbplTETEmnpmnp和和TMTMmnpmnp 模式谐振频率模式谐振频率2mnpmnprrcfk 2g2mnpmnprrcfk 矩形

22、波导中传输的电磁波模式有矩形波导中传输的电磁波模式有TETE模和模和TMTM模，模，相应谐振腔中同样有相应谐振腔中同样有TETE谐振模和谐振模和TMTM谐振模，分别以谐振模，分别以TETEmnpmnp和和TMTMmnpmnp表示，存在无穷多个模式。其中下标表示，存在无穷多个模式。其中下标m m、n n和和p p分别表示场分量沿波导宽壁、窄壁和腔长度方分别表示场分量沿波导宽壁、窄壁和腔长度方向上分布的驻波数。在众多谐振模中，向上分布的驻波数。在众多谐振模中，TETE101101为最低为最低谐振模。谐振模。它是由传输线它是由传输线TETE1010模在模在z z方向加两块短路板方向加两块短路板而构成

23、的金属封闭盒。而构成的金属封闭盒。 2 2、矩形腔、矩形腔TE10p10p模的场和模的场和Q 0sin(/ )sin(/ )yEEx ap z l0sin(/ )cos(/ )xTEjEHx ap z lZ 0cos(/ )sin(/ )zj EHx ap z lk aTE101模模Ey0sinsinyEExzal（1 1） TETE10p10p模的场模的场可采用可采用MaxwellMaxwell方程组解出方程组解出0EjH 01 00yijkHjxyzE 000001 sincos sincos2yxExEHzjlaljzExzjlal 0001 coscsin2ossinyzEHjxExz

24、jaaExjaallz归纳起来归纳起来TE101模的场模的场 00000sinsin sincos2 cossin2yxzEExzalExzHjaalExzHjaal 000sinsin1cosj zyj zxj zzEEx eaHEx eaHjEx eaa TETE1010波导模的场波导模的场EyEy和和HxHx在在z z方向行方向行波同时出现最大值波同时出现最大值TETE101101模中模中最大值对应最小值最大值对应最小值 sin(/ )yEzl cos(/ )xHzl相位差相位差9090，因此，因此SzSz只有虚功率。只有虚功率。在相位方面，只差在相位方面，只差一负号一负号12zyxSE

25、 H有行波传输的实功率有行波传输的实功率TE101模的场结构模的场结构由于由于 222222101( / )( / )xyzkkkkal101222alal llpl10222palpal值得提出：如果是值得提出：如果是TETE10p10p模模只要作代换只要作代换 即可，这时有即可，这时有（2） TE101和和TETE10p10p模的模的Q值值 22220000011sinsin28lbaExz dxdydzabl Eal 20002000220012|22|2|baLsxzlbzxlaxzPRHdxdyHdydzHHdxdz 21|2emVWWWEdv电磁储能电磁储能功率损耗功率损耗2200

26、2000222202200 2|2( /2 ) s/ )4in (baxzbaHdxdyElx a dxdE ably 功率损耗功率损耗220200022202202002|2( /2 ) sin4(/ )lbzxlbHdydzElx a dydzEbla 22002222000222202200200 2|2( /2 ) sin (/ )cos (/ ) +2( /2 ) cos (/ )sin (/ )8laxzlalaHHdxdzElx az l dxdzEax az l dxdzEalla 2200222182sLRabblalPElala22002222333320022 21822

27、282sLsRabblalPElalaRa bbla lalEa l33330233312222eLsk a b lRa bblWQa lalP20128eWabl E0/kk推广到推广到TE10p模无耗情况下的模无耗情况下的Q值值 3332333320212222seCLk a b lRa bbla lapplWQP当介质有耗，介质耗散功率当介质有耗，介质耗散功率 2*20|1|228dVVablEPJ E dEd 021tgeddWQP111CdQQQ例例 铜制矩形腔尺寸铜制矩形腔尺寸a=l=a=l=2cm2cm，b b=1cm,TE=1cm,TE101101模，模，空气填充，求空气填充，

28、求Q Q0 0值值解解 2201110.62GHz2cfal 2002.69 1027780sRQ 二、圆形波导谐振腔二、圆形波导谐振腔 与矩形腔的情况类似，我们以与矩形腔的情况类似，我们以TEmn波为例，先波为例，先研究研究z方向行波场方向行波场也即传输线情况。也即传输线情况。 cos()sinj zzmnmcmHA Jk rem在在z=0处放一金属板，处放一金属板，Hz=0的全反射条件的全反射条件 cos()()sincos()sinsinjzjzzmnmcmnpmncmHAJk reemmHJk rzm其中，其中，kc=mmn/R，umn是是m阶阶Bessel函数导数的根。函数导数的根。

29、在在z=l处放一金属板，再构成处放一金属板，再构成Hz=0的全反射条件。的全反射条件。RrxZy0由由sinl=0可得到可得到 =p /l，且且 cos()sinsinzmnpmcmHHJk rmpzl我们再次看到尽管我们再次看到尽管圆柱腔和矩形腔横向截圆柱腔和矩形腔横向截面完全不同，但是纵向面完全不同，但是纵向因子因子 是一是一样的，这正是传输线型样的，这正是传输线型谐振腔的共同特点。谐振腔的共同特点。sin/ )p z l（1 1、圆柱腔中的场、圆柱腔中的场200100100001zzrrzczErjEEjErHHjkHrjHr 在波导中，横向分量用纵向分量表示如下：在波导中，横向分量用纵

30、向分量表示如下：2222zrczczrczcHjEk rHjEkrHHk rrHHk 注意到谐振腔与波导的不同，注意到谐振腔与波导的不同，重新作变换重新作变换 ，即，即 z 22222211zrczzrczccHjEk rHjEHHkr zHHkzrk r 可以得到可以得到TEmnp模场本征解表达式模场本征解表达式 222sin()sincoscos()sinsin0cos()cossinsin()coscoscos()rmnpmccmnpmcczrmnpmccmnpmcczmnpmcmjmpEHJk rzmk rlmjpEHJk rzmklEmppHHJk rzmk llmmppHHJk r

31、zmk rllHHJk r sinsinmpzml011mnp2 2、谐振频率、谐振频率f fmnpmnp 2222(/ )(/ ) 2(/ )(/ ) 2mnpmnmnprrmnpmnmnprrcfuaplTEcfuapl TM 模模模模2222(/ ) (/ ) mnmnmnpmnmnmnpkuaTEkua TM模模模模k 传播常数传播常数 谐振频率谐振频率 mnpl 圆柱腔三种主要工作模式圆柱腔三种主要工作模式 010101000100()()2.4052.6211 ( / )czccEHjJ k rEEJk rukaaaaQa lTMTM010010为金属的趋肤深度为金属的趋肤深度 T

32、ETE1111111111211111111111121111sin()sincoscos()sinsin0cos()sinsinsin()coscoscos()sinsinrcccczrcccczcjEHJ k rzk rljEHJ k rzklEHHJ k rzk llHHJ k rzk rllHHJ k rzl 11022/1.841/1113.4122ckuaaal3/2222202211 ()( ) ()212()( )() (1)22mnmnmnmnDuulQDDDulu ll TETE01101101100110011001022()sin()cos()sin3.8321111.

33、642ccrcczccjzEHJk rklzHHJk rk rlzHHJk rlukaaal3/220300.610 1 0.1681 0.168DlQDl 工作模式图的目的在于选择频率范围，在此内工作模式图的目的在于选择频率范围，在此内单模工作。单模工作。022122mnpRl其中其中 TE TMmnmnmnuu模模模模 利用利用0=c/f0和和D=2a可知可知 222022mnfpcDl已知谐振波长已知谐振波长222022mncucf DlpD222022mncucDf Dlp圆柱形谐振腔的谐振模式图圆柱形谐振腔的谐振模式图 对于圆柱腔对于圆柱腔TETEmnpmnp谐振模，有谐振模，有对于

34、圆柱腔对于圆柱腔TMTMmnpmnp谐振模，有谐振模，有2Da 即使同一个腔长，对于不同的模式都会同时谐振于即使同一个腔长，对于不同的模式都会同时谐振于同一个频率上，这就是圆柱腔存在的干扰模问题。同一个频率上，这就是圆柱腔存在的干扰模问题。若取不同的若取不同的m m、n n和和p p值，将上面两式画值，将上面两式画在横坐标为在横坐标为( (D D/ /l l) )2 2，纵坐标为，纵坐标为( (f f0 0D D) )2 2的坐标系内的坐标系内，则可得到一系，则可得到一系列的直线，这些直线构成了模式图。列的直线，这些直线构成了模式图。02462(2 / )a l85 10810 10815 10010TM110TM圆柱形谐振腔的谐振模式图圆柱形谐振腔