空气动力学基础环量与涡学习教案

1、空气空气(kngq)动力学基础动力学基础 环量与涡环量与涡第一页，共29页。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法(fngf)(fngf)2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2.3 2.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 2.3.3 Bernoulli2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义积分及其物理意义2.3.4 Bernoulli2.3.4 Bernoulli方程的应用方程的应用2.4 2.4 流体运动积分方程组流体运动积分方程

2、组 2.4.1 Lagrange2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程2.4.2 Reynolds2.4.2 Reynolds输运方程输运方程2.4.3 Euler2.4.3 Euler型积分方程型积分方程 2.5 2.5 环量与涡环量与涡 第1页/共29页第二页，共29页。 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念(ginin)研究流动的问题，还有两面研究流动的问题，还有两面(lingmin)个极重要个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。的概念，一个叫环量，一个叫做涡。l速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称

3、为该封闭曲线的速度环量。曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。l速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向l规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域区域(qy)总在行进方向的左侧。总在行进方向的左侧。第2页/共29页第三页，共29页。如果把一个如果把一个(y )速度向量分成三速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量个坐标轴方向的三个分量u,v,w ,把把线段线段ds也分解成也分解成dx, dy, dz 三个方三个方向的三个线段，有：向的三个线段，有：wdzvdyudxsdVLLdsVsdVco

4、s(a)沿曲线AB作速度(sd)的线积分(b)沿闭曲线速度(sd)的线积分 于是于是(ysh)环量表达式为：环量表达式为：Lwdzvdyudx)( 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念第3页/共29页第四页，共29页。如果流动是无旋的，如果流动是无旋的， 存在位函数存在位函数， 那末上式那末上式中的中的 u ,v ,w 都可以用都可以用 的偏导数的偏导数(do sh)表表达：达： zwyvxu 说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度(sd)环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任

5、意一条封闭曲线的速度任意一条封闭曲线的速度(sd)环量一般不等于零。环量一般不等于零。0)(LLLddzzdyydxxsdV 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念(ginin)第4页/共29页第五页，共29页。在三维流里，流体微团可以有三个方向在三维流里，流体微团可以有三个方向(fngxing)的的角速度角速度 x ,y ,z ,三者合为一个合角速度是：三者合为一个合角速度是：旋转轴线旋转轴线(zhu xin)都按右手定则确定。合角速度是个都按右手定则确定。合角速度是个向量，它的三个方向余弦是向量，它的三个方向余弦是x/,y/ ,z/。 kjizyx222zyxVVrot2涡量可写为：涡量

6、概念涡量概念 是指流场中任何一点是指流场中任何一点(y din)微团角速度之二微团角速度之二倍，如平面问题中的倍，如平面问题中的2z ， 称为涡量，涡量是个纯运动称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。学的概念。 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念第5页/共29页第六页，共29页。像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定(i dn)时刻，时刻，t为参量）：为参量）：zyxdzdydx涡线给定瞬间，通过

7、某一曲线（本身不是涡线）给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有的所有(suyu)涡线构成的曲面称为涡面。涡线构成的曲面称为涡面。由封闭涡面组成由封闭涡面组成(z chn)的管状涡面称为涡管。的管状涡面称为涡管。涡面涡管 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念第6页/共29页第七页，共29页。SzdS2涡量在一个涡量在一个(y (y )截面上的面积分称为涡通量，截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中，涡通量就是：在平面问题中，涡通量就是：在三维空间问题在三维空间问题(wnt)(wnt)中，涡通中，涡通量就是：量就是：SSdSSdcos22式中的式中的S S 是任意形状空间是任意形状空间(

8、kngjin)(kngjin)曲面，曲面，是是曲面上微面积曲面上微面积 dS dS 的法线和的法线和的轴线之间的夹角。的轴线之间的夹角。ndS空间问题的涡通量zSdS平面问题的涡通量涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 2.5.1 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念第7页/共29页第八页，共29页。在有旋流动中，速度环量与涡量存在在有旋流动中，速度环量与涡量存在(cnzi)(cnzi)着十分着十分密切的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。密切的联系。为说

9、明这个联系，首先考察二维流场。 2.5.2 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)(gun x)在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割围成的面积用两组坐标的平行线分割(fng)(fng)成一系列成一系列微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元到总的速度环量。对于微元ABCDABCD，速度环量为，速度环量为第8页/共29页第九页，共29页。dxdydxdyyuxvdydyyvvdxdxxudyyuudydyyvdxx

10、vvdxdxxuusdVdzABCDA2 22 22 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)第9页/共29页第十页，共29页。绕整个封闭绕整个封闭(fngb)(fngb)曲线的速度环量为（上图中微曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）元矩形块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）上式即为二维问题上式即为二维问题(wnt)(wnt)中的格林公式。中的格林公式。dSdSyuxvvdyudxsdVszLsL2)()(表明：沿平面上一封闭围线表明：沿平面上一封闭围线 l l 做速度的线积分，所做速度的线积分，所得的环量等于曲线得的环量等于曲线(

11、qxin)(qxin)所围面积上每个微团所围面积上每个微团角速度的角速度的2 2倍乘以微团面积之和，即等于通过面积倍乘以微团面积之和，即等于通过面积S S的涡通量。的涡通量。 2.5.2 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系第10页/共29页第十一页，共29页。如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要(zhyo)(zhyo)包进去的面积里没有涡通量，那么环量值包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。沿任何围线只要并不会改变。沿任何围线只要(zh

12、yo)(zhyo)速度环量等速度环量等于零，就说明围线内无涡通量。于零，就说明围线内无涡通量。推广推广(tugung)(tugung)到三维空间中的封闭曲线到三维空间中的封闭曲线L L上，计算的上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面限大的曲面 S S 的围线的围线 L L的环量仍等于的环量仍等于 S S 面上各点的二面上各点的二倍角速度与面积倍角速度与面积 点积：点积：Sd 2.5.2 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡

13、量的关系(gun x)(gun x)第11页/共29页第十二页，共29页。SSLSdVrotSdsdV2dSznyuxvynxwzuxnzvywwdzvdyudxsL),cos()(),cos()(),cos()()(dxdyyuxvdzdxxwzudydzzvywS)()()(展开展开(zhn ki)即：即： 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)其实其实(qsh)这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间的关系。分之间的关系。第12页/共29页第十三页，共29页。三维流中环量与涡的关系(gun x) nv表明：沿空间封闭表

14、明：沿空间封闭(fngb)曲线曲线 L 的环量，等于穿的环量，等于穿过张在过张在L上任意曲面上任意曲面 S上的涡通量，涡通量的数值上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有与所张的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封闭关，无旋时涡通量为零从而沿封闭(fngb)曲线的曲线的速度环量也为零。速度环量也为零。对于对于(duy)无旋流动还有：无旋流动还有：说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。BAABwdzvdyudx)( 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系第13页/共29页第十四页，共29页。一

15、条强度为一条强度为 的涡线的一段的涡线的一段 dS 对线外的一点对线外的一点P会产生会产生一个一个(y )诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是：表达涡段所产生的诱导速度的公式是：sin42rdsdV 涡与诱导(yudo)速度 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)第14页/共29页第十五页，共29页。这个这个 dV 是一个垂直于线段是一个垂直于线段 dS 与受扰点与受扰点P所组成所组成(z chn)的平面的速度（如图），其值正比于涡的平面的速度（如图），其值正比于涡强强 和涡段长度和涡段长度dS，但

16、反比于距离，但反比于距离 r 的平方，另外的平方，另外还要乘上还要乘上 r 与与 ds 的夹角的的夹角的 的正弦。这个公式在的正弦。这个公式在形式上和电磁学的电磁感应的比奥形式上和电磁学的电磁感应的比奥萨瓦公式一样，萨瓦公式一样，仍叫比奥仍叫比奥萨瓦公式。萨瓦公式。或：或：34rrSdVd 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)第15页/共29页第十六页，共29页。现在把一条强度为现在把一条强度为的直涡线对线外一点所产生的直涡线对线外一点所产生的诱导速度写一下的诱导速度写一下(yxi)。参看下图。参看下图。AB是涡线，是涡线，P为线外一点，为线外一点，P到到AB的距离是的距

17、离是h。令任意微段。令任意微段 ds 与与P的连线和的连线和AB垂线垂线PN之间夹角为之间夹角为，则，则 直线涡的诱导速度ds2()secdsd h tghddhdVcos4cos)sin(sincoshPSr 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)第16页/共29页第十七页，共29页。ds再令再令PA与与AB的夹角的夹角(ji jio)为为；PB与与BA的夹角的夹角(ji jio)为为。上式积分，。上式积分， 由由 到到 得：得：22)cos(cos4hV这个这个(zh ge)诱导速度是垂直于纸面的，按图示诱导速度是垂直于纸面的，按图示的方向，它向外指。如果涡线一头是无限

18、长的，那的方向，它向外指。如果涡线一头是无限长的，那就有：就有：)cos1 (4hV 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系(gun x)第17页/共29页第十八页，共29页。如果如果(rgu)涡线是半无限长，且涡线是半无限长，且P点至涡线之垂直足点至涡线之垂直足N与涡线的一端重合，则：与涡线的一端重合，则： hV4如果如果(rgu)涡线两头都伸展到无限远，则：涡线两头都伸展到无限远，则：hV2涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡是升力是升力(shn l)的问题都和涡及环量有关。的问题都和涡及环量有关。 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡

19、量的关系第18页/共29页第十九页，共29页。2.5.3 理想理想(lxing)流中的涡流中的涡定理定理描述理想流体中的涡线或涡管有三条描述理想流体中的涡线或涡管有三条(sn tio)定理：定理：定理定理(dngl)1 沿涡线或涡管涡强不变。沿涡线或涡管涡强不变。见图，在涡管上两条围线见图，在涡管上两条围线PQR和和PQR作两条重合的连线作两条重合的连线PP和和RR,沿沿PPQRRQP 这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原来涡管的一部分，这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：没有涡线穿过，故总的环量为零：0PQRRRPQRPPPQPQRRPR

20、RPPRQPPQR得：得：RQPPQR这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同的。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。的。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。第19页/共29页第二十页，共29页。涡管强度守恒（左图）和涡管可能存在的形式（右图）定理定理1的推广：的推广： 一根涡管在流体里不可能中断，可以伸一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限远去，可以自相连接成一个展到无限远去，可以自相连接成一个(y )涡环（不一涡环（不一定是圆环），也可以止于边界，固体的边界或自由边界定是圆环），也可以止于边界，

21、固体的边界或自由边界（如自由液面）。（如自由液面）。这条定理可以这条定理可以(ky)用第一定理的结论推用第一定理的结论推演而得到证明。第一定理说，涡强沿涡演而得到证明。第一定理说，涡强沿涡管不变。如果涡管到某处突然中止了，管不变。如果涡管到某处突然中止了，那末涡强也就应该随之变为零，而这是那末涡强也就应该随之变为零，而这是违反第一定理的，所以是不可能的。违反第一定理的，所以是不可能的。 2.5.3 理想理想(lxing)流中的流中的涡定理涡定理此定理称为海姆霍兹第二定理，或简称第二涡定理。此定理称为海姆霍兹第二定理，或简称第二涡定理。第20页/共29页第二十一页，共29页。上述涡管的三种存在形

22、式上述涡管的三种存在形式(xngsh)(xngsh)，都有实际的例子。吸，都有实际的例子。吸香烟的人会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。三维机香烟的人会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。三维机翼上的涡线（与翼展同向的）在左右两端折转向后，成为尾涡，翼上的涡线（与翼展同向的）在左右两端折转向后，成为尾涡，向后伸展到无限远的后方去。在二维风洞中做机翼的实验时，向后伸展到无限远的后方去。在二维风洞中做机翼的实验时，机翼上的涡线（翼展方向的）止于两侧的洞壁。机翼上的涡线（翼展方向的）止于两侧的洞壁。l涡线保持定理：在某时刻构成涡线和涡管的流体质点，在涡线保持定理：在某时刻构成涡线和涡管的流体质

23、点，在以后运动以后运动(yndng)过程中仍将构成涡线和涡管。过程中仍将构成涡线和涡管。l涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动(yndng)2.5.3 理想理想(lxing)流中的涡定流中的涡定理理第21页/共29页第二十二页，共29页。定理定理3 在理想流中，涡的强度在理想流中，涡的强度(qingd)不随时间变不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失。化，既不会增强，也不会削弱或消失。 实际流体(lit)都是有粘性的，涡强是会随时间变化的。不过空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流下去，离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了，而在离机翼不太远的范围内，

24、粘性使涡强的衰减并不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰减去处理就行了。2.5.3 理想理想(lxing)流中的涡定流中的涡定理理第22页/共29页第二十三页，共29页。本章基本本章基本(jbn)要求要求了解两种描述流场的方法的区别与特点，重点掌握了解两种描述流场的方法的区别与特点，重点掌握Euler法下加速度的法下加速度的表达和意义表达和意义掌握流体微团的几种变形和运动及其数学表达，掌握流体微团的运动掌握流体微团的几种变形和运动及其数学表达，掌握流体微团的运动分解与刚体运动的异同；分解与刚体运动的异同；了解系统分析方法与控制体分析方法的区别与

25、联系，掌握了解系统分析方法与控制体分析方法的区别与联系，掌握Reynolds输输运方程的表达及意义；运方程的表达及意义； 空气动力学基本空气动力学基本(jbn)方程是本章重点，积分形式方程要掌握质量方程、方程是本章重点，积分形式方程要掌握质量方程、动量方程和能量方程的表达和意义，并会用它们解决实际工程问题；动量方程和能量方程的表达和意义，并会用它们解决实际工程问题；微分形式方程要重点掌握连续方程、微分形式方程要重点掌握连续方程、Euler方程和能量方程的表达方程和能量方程的表达和意义；掌握微元控制体分析方法；掌握和意义；掌握微元控制体分析方法；掌握Bernoulli方程的表达、意方程的表达、意

26、义、条件和应用；义、条件和应用；重点需要掌握的概念：流线、流量、散度、旋度、位函数、流函数、重点需要掌握的概念：流线、流量、散度、旋度、位函数、流函数、环量与涡的表达、意义及其相互之间的关系；环量与涡的表达、意义及其相互之间的关系；第23页/共29页第二十四页，共29页。xvyu ,第24页/共29页第二十五页，共29页。0)(dsnVdts.,zuwyuvxuutuDtDu2. 积分形式的质量积分形式的质量(zhling)方程为：方程为：其意义是：控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。其意义是：控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。应用条件：积分形式的质量方程描述流体应满

27、足的运动学关系，与流体是否受力，应用条件：积分形式的质量方程描述流体应满足的运动学关系，与流体是否受力，是否有粘性，是否可压均无关，它描述控制体中及其控制面上的关系，并且允许是否有粘性，是否可压均无关，它描述控制体中及其控制面上的关系，并且允许控制体包含流动控制体包含流动(lidng)不连续的区域。不连续的区域。第25页/共29页第二十六页，共29页。dsVVdVtFsndsVuudtFdfdsxnpsnsxxs),cos(其意义为：控制体中流体所受合外力等于控制体中流体动量其意义为：控制体中流体所受合外力等于控制体中流体动量(dngling)的的增加率加上净流出控制面的动量增加率加上净流出控制面的动量(dngling)流量。流量。上述形式的动量上述形式的动量(dngling)方程常常运用于第一类控制体（即内流、管道方程常常运用于第一类