2020年高考数学一轮复习专题93空间几何体外接球和内切球练习含解析

1、9.3 空间几何外接球和内切球一.公式1 .球的表面积：S=4 兀R242 .球的体积：VM.TTF33二.概念1 .空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球2 .空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球考向一长（正）方体外接球【例 1】若一个长、宽、高分别为 4,3,2 的长方体的每个顶点都在球O的表面上，则此球的表面积为【答案】29【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线lJ423222幅2为球的直径，所以球的表面积为S4-29,故填29.2【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这

2、个正方体的表面积为 18,则这个球的体积为.9【答案】2 兀【解析】设正方体棱长为 a,则 6a2=18,a=3.设球的半径为R,则由题意知2R=ojta-a=3,Fl=;.故球的体积V=RR3=-Ux-3=-u.233222.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是.阻挡图底【答案】48【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABCABC,如图所示：cjJ；Xzf!c1*，1jJ/JtIjp1K-其中，三角形ABC是腰长为4的直角三角形，侧面ACCA是边长为 4 的正方形，则该几何体的外接球的4242422半径为X2后.，该几何体的外接球的表面积为427348.故答案

3、为48.2考向二棱柱的外接球【例 2】直三棱柱？-?的所有棱长均为2v3,则此三棱柱的外接球的表面积为（）A.12兀B.16兀C.28兀D.36兀【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为2v3,得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2,又由直三棱柱的侧棱长为2花，则球心到圆O的球心距d=的，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R=r2+d2=7,，外接球的表面积S=4 兀京=287t.故选：C.【举一反三】1 .设直三棱柱 ABC-ABiCi的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40 兀，AB=AC=AA/BAC=120,则此直三棱柱的高

4、是.【答案】2,2【解析】设三角形 BAC 边长为a,则三角形 BAC 外接圆半径为1岳a,因为4R240R2102.2sin32所以R2aa210a2也即直三棱柱的高是2”.22 .直三棱柱？-?1?1?1中，已知？，？，?=3,?=4,?1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.【答案】50?-?1?1?1是直三棱柱，？?1?，？，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，？?1?是球的直，一?.?/22922径，.-.?=封；.?!?,.?=V3+4=5,/.?1?2=52+52=50；故该球的表面积为?=4?2=4?(?)2=?1?2=50?考向三棱锥的外接球类型一：正棱锥型

5、【例 3-1】已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为衣，若该正四棱锥的体积为 2,则此球的体积为()A.4B.晅 C.D.”381819【答案】C【解【解析】如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O,正四棱锥PABCD的外接球的球心为OQ底面正方形的边长为 J2OD1Q正四棱锥的体积为21厂2VpABCD-V2PO2,解得PO33OOPOPO|3R在RtnOOD中，由勾股定理可得：OO2OD2OD22即3R212R2,解得R5V球4R345500故选C333381【举一反三】1 .已知正四棱锥PABCD的各条棱长均为 2,则其外接球的表面积为（）A.4兀 B.6兀 C

6、.8九 D.16九【答案】C【解析】设点 P 在底面 ABCD 勺投影点为O,则AO1ACJ2,PA2,PO平面 ABCD 故2POJPA2AO2J2,而底面 ABC 所在截面圆的半径AOJ2,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径 R=J2,故外接球的表面积为S4R28,故选 C.2 .如图，正三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，底面正三角形的边长为 3,侧棱长为 2J3,则球O的表面积是（）A.4cB.留3C.16D.36【解析】如图，设OMx,OBODr273,DM3,【例 3-2在三棱锥PABC中,得：xQAB3,BM73,又DBr2,AP2AB3.3,PA面ABC,且在三角形AB

7、C中，有ccosB2abcosC（其中a,b,c为ABC的内角A,B,C所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为A.40B.20C.12D.空【解析】 设该三棱锥外接球的半径为R.在三角形ABC中,CCOSB2abcosC（其中a,b,c为ABC的内角A,B,C所对的边）.ccosBbcosC2acosC根据正弦定理可得sinCcosBsinBcosC2sinAcosC,即sinBC2sinAcosC.1一一SinA0cosCC0,C2sin3【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（其中？=?=2,?=4且?面？，/?=120根据余弦定理可知:?-?2+?2-2

8、?120=42+22-?120。2v7，由正弦定理,3.32r,得三角形ABC的外接圆的半径为r3.PA面ABC2PA2r2R22.R10，该三棱锥外接球的表面积为2S4R240故选 A.A.2143B.1273C.1153D.1243【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥?-?可知？=2V7根据正弦定理可知？?外接圆直径2?=?/?2x4x2x(-2)=28?=1,在？?？冲,.,外接球的表面积？=4?3=4?X31=?故选?33的外接球的体积为（）A.13.13B.13兀 C.3D.书866【例 3】已知四棱锥？-?勺三视图如图所示，则四棱锥？-?阴接球的表面积是（）?2=?2=

9、（驾）3132.已知三棱锥SABC中,SA平面ABC,且ACB30,AC2AB2J3.SA1.则该三棱锥【解ACB30,AC2AB2a：.VABC是以AC为斜边的直角三角形AC其外接圆半径r曲，则三棱锥外接球即为以VABCC 为底面，以SA为高的三棱柱的外接球2.三棱锥外接球的半径R满足R43故三棱锥外接球的体积V4R33类型三：侧面垂直与底面型2SA213r221313,.故选 D.6B.【举一反三】1.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积

10、是（）A.20?B.101?5C.25?D.22?【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE 底面 ABCD矩形，侧面 ABH 底面 BCDE.如图所示，矩形 ABCD 勺中心为 M,球心为O,F 为 BE 中点,OGLAF.设 OM=x,由题得？=v5,在直角OM 冲,+5=?2(1),又 MF=OG=1,AF=32-22=v5,?=V?2-1,?=?,.-.V?2-1+?=V5(2),解(1)(2)得？?2=1201,.?=4?2=：?.故选205情图困A.81?B.33?C.56?D.41?【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥？-?,其中？盥边

11、长为 4 的正方形，平面？二面？?.设？为？勺中点，？?为正方形？硒中心，？?为四棱锥外接球的球心，？1为？卜接圆的圆心,则球心？?为过点？且与平面？座直的直线与过？1且与平面？座直的直线的交点.由于？?M屯角三角形，故？1在？勺外部，从而球心？?与点 P 在平面？勺两侧.由题意得?=1,?=?i?,?i=?,设球半径为？，贝U?2=?2+?2=?2+?1?2,即？?2+(2V2)2=22+(1+?)2,解得?=.?2=(2)2+(2V2)2=.?球表=4?2=41?.选D.2 .已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直,BCCDBD2/3,则球O

12、的表面积为()【解析】QAB3,AC6BC273,B.12C.16D.36【答案】C又AC2,设G为三角形ABC外接圆的圆心，则一AC一二一2CG,CG2.sinABCsin30再设CG交AB于D,可得CD1,AB2M，则DG1.在等边三角形PAB中，设其外心为H,则BHPH2PD2.3过G作平面ABC的垂线，过H作平面PAB的垂线，两垂线相交于O,则O为该三棱锥的外接球的球心，则半径ROBJ4J5.该三棱锥的外接的表面积为4(J5)220.故选：B._2_22ABACBC,ACAB,ABC的外接圆的半径为卮QABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h,则

13、h23h1,R2,2球O的表面积为4R16.故选：C.3.三棱锥PABC的底面是等腰三角形，则该三棱锥的外接球表面积为()A.12B.20【答案】B【解析】如图，在等腰三角形ABC中，C120，侧面是等边三角形且与底面ABC垂直，ACC.32D.100由C120,得ABC302,类型四：棱长即为直径【例 3-4已知底面边长为重,各侧面均为直角三角形的正三棱锥？-?的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3?B.2?C.4?D.4?3【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为 1,将三棱锥补成一个正方体（棱长为 1）,则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为，1+1+1=v3,故

14、其表面积为?=4X?X（易2=3?.选 A.【举一反三】1 .已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，PC 是球 O 的直径.若平面 PCA 平面 PCB,PAAC,PBBC,三棱锥 PABC 的体积为 a,则球 O 的体积为（）A.2aB.4aC.2aD.4a33【答案】B【解析】如下图所示,B设球 O 的半径为 R,由于 PC 是千 O 的直径，则 PAC 和 PBC 都是直角，由于 PAAC,PBBC,所以，PAC 和 PBC 是两个公共斜边 PC 的等腰直角三角形,且 PBC 的面积为 SPBC1PCgOBR2,QPAAC,O 为 PC 的中点，则 OAPC,Q 平面 P

15、AC 平面 PBC,平面 PAC 平面 PBCPC,OA 平面 PAC,所以，OA 平面 PBC,所以，三棱锥 PABC 的体积为10AspBC1RR21R3a,3PBC33因此，球 O 的体积为-R341R34a,故选：B.33考向四墙角型【例 4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A.【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的.121212r2【举一反三】1 .已知四面体？勺四个面都为直角三角形，且？面？，?=?=?=2,若该四面体的四个顶点都在球？的表面上，则球？的表面积为（）A.3?B.2V3?C.4v3?D.12?w4则：V3;

16、4-故选B故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径T1恻觇图R1H正视图【答案】D【解析】.?=?=2且？的直角三角形.?!?又？，平面？，?平面?.?!?.?，平面?由此可将四面体？微入边长为2的正方体中，如下图所示：.正方体的外接球即为该四面体的外接球？正方体外接球半径为体对角线的一半，即?=1?v2+22+22=西.球？的表面积：?=4?2=12?本题正确选项：？2 .已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积正视图凰视图厢视图【解析】该几何体是把正方体AC1截去两个四面体AA1B1D1与CC1B1D1,其外接球即为正方体A

17、C1的外接球，由ACi-22222223.外接球的半径R值.A.24B.20C16D.12是是()()该几何体外接球的表面积是4(J3)212.故选：D.3 .在三棱锥P-ABC中，PAPBPC1,PA、PB、PC两两垂直，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()2.一三棱锥PABC的外接球的表面积为：S4r12.故选：A.考向五内切球【例 5】正三棱锥的高为 1,底面边长为 2J6,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.【答案】S求4R24(&2)28(52/3h6,解得h3/332取AC边的中点为OI,则OI为ABC外接圆圆心连接OOI,则OQ平面ABC,如下图所示:

18、Q平面PAB平面ABC,P到平面则OO1h速22则ROA卜丝2性222匹V2222球O的表面积S4R243本题正确选项：C214.已知三棱锥SABC各顶点土在球O上，SB为球O的直径，若ABBC2,ABC，三棱3锥SABC的体积为4,则球O的表面积为（）A.120B.64C.32D.16【答案】B【解析】原题如下图所示：2L由ABBC2,ABC 一得：BC2也3一.一12一则SABCABBCsin、323设ABC外接圆圆心为O,则OOeO43所以球的体积为一R34向，故选 D。OA2由正弦定理可知，ABC外接圆半径：0A222sin3设S到面ABC距离为d1由SB为球O直径可知：00-d2VO

19、ABC1,3d4d4,33则 002,3球的半径OA,OA2OO2、，4124球O的表面积 S44264本题正确选项：B15.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AABC2,BAC,则三棱柱ABC4接球的体积为（）A.12.3B.83C.6.3D.4.3【解析】设ABC的外接圆圆心为01,ABG的外接圆圆心为02,球的球心为0,因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,所以球的球心为O1O2的中点，且直线O1O2与上、下底面垂直,且201c-2五OQ1,所以在RtOQC中,sin40C12即球的半径为J3,ABICI外17,已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4,AB=AC=2/3

20、,BC=6PAL 面 ABC 则此三棱锥的外接球的表面积为（）16.在三棱锥ABCD中，BCBD,ABADBD4J3，BC6,平面ABD平面BCD,则三棱锥ABCD的外接球体积为（）A.36【答案】C256B.C.500D.288【解析】Q平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BCBD,BC平面BCD,BC平面ABD,QABADBD473,所以，ABD是边长为4J3的等边三角形,由正弦定理得ABD的外接圆的直径为08sin一3所以，该球的直径为2RJ2r2BC210,则R5,因此，三棱锥ABCD的外接球体积为V535003.故选：C.A. 16几B. 32几C. 64几D. 1287

21、t【答案】C【解析】底面ABC中，1cosBACsin2rABC的外接圆半径QPA面ABC三棱锥外接球的半径R2r2ABAC2,BC6,BAC-,216232/，22PAc 二2c22V3216,18 .三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且ABBC,ABBCAA2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.48B.32C.12D.8【答案】C【解析】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为 D,Di,由于三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，故球心O位于DDi的中点处，画出图像如下图所示.设球的半径为r,则rOCJOD2CD21T25故球的体积

22、为4212%，故选 C.所以三棱锥PABC外接球的表面积S4R264.故选：C.19 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）俯视图【答案】A【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是一个四棱锥如图：该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为 2,3,2,2故几何体的外接球半径 R 满足：4R2=4+4+12=20,解得：R押，故:S=20,故选：A.20 .我国古代九章算术将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖月需.如图是一个鳖月需的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖月需的外接球的表面积是（）A.5B.6C.12D.24【答案】B正视图侧视图A.

23、 20几B.167tC. 12,2冗D. 8、.2九2还原该几何体为三棱锥，其中AD平面 BCDBDBC,把三棱锥扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，此时 2R=AC=,一46，该鳖月需的外接球的表面积是421 .在三棱锥PABC中,PC底面ABC,BAC90,锥PABC外接球的体积为（）A.100B.500C.1253【答案】B【解析】由题意知，在三棱锥PABC中，BAC90,AB3,AC4,所以 BC5,125D.一3PBC606故选：B又由PC底面ABC,所以PCBC,在直角PBC中，BC5,PBC60,所以PC10,根据球的性质，可得三棱锥PABC外接球的直径为2RP

24、C10,即R5,所以球的体积为V4R3453500-,故选 B.33322.已知四棱锥MABCD,MA平面ABCD,ABBC,BCDBAD180,MABC2J6,ABM30.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（A.20B.22C.40D.44【答案】C故选：C23.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为【解析】因为BCDBAD180，所以A,B,C,D四点共圆,ADCABC90.,一2一由tan30，得AB2忑,所以ACAB2322、626.设AC的中点为E,MC的中点为O,因为MA平面ABCD,所以OE平面ABCD.易知

25、点O为四面体MACD外接球的球心，所以0c2262、记，S球=4OC2=40.22【解析】由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有个侧面PAC垂直于底面，高为 73,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图.C.4x3D.2,3B.3A.3所以OM平面ABC,则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心,这个几何体的外接球的半径R-PD32.33则这个几何体的外接球的表面积为故选：A.24.已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰直角三角形ABC的斜边AC为2,DC2J2，则这个球的表面积为（）A.254B. 8C. 1

26、2D.16【解析】由题可得：O为AD的中点,取AC中点M,则 OM 为DC的中位线,一一一_._1由等腰直角三角形ABC可得：点M为ABC外接圆圆心，且MB1AC1.一1所以球心O到面ABC的距离为dOM-DC展,2外接球球半径为RJMB2d22/2点，故球表面积为 S4R212故选：C接球的体积为（如图：.?!?,?=1,?=v3.?=2.,?=?=v2.?!?.?的中点？?为外接球球心故外接球半径为1体积？=4?X13=4?-33本题正确选项：?汉3,各顶点均在以SC为直径球面上，ABAC3个球的表面积为【答案】16 支【解析】由题意，设球的直径SC2R,A,B是该球面上的两点，如图所示,

27、25.已知三棱锥？-?冲,?!?,?=?=v2,?=1,?=,则该三棱锥的外4?A丁8?BC.8V2?-3-D.36?26.已知三棱锥SBC的体积为【答案】A因为 ABACJ2,BC2,所以ABC为直角三角形,设三棱锥SABC的高为h,则11近亚友，解得 h2点,323取BC的中点M,连接OM,根据球的性质，可得OM平面ABC,所以OM、.3,在直角OMC中，OCJOM2MC24诋之122,即球的半径为R2,所以球的表面积为S4R242216.27.表面积为4J3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为【答案】,6【解析】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，.表面积为4石的正四面

28、体,.64正四面体棱长为a,4立a244内，解得a2,正方体的棱长是正，又球的直径是正方体的对角线,设球半径是R,，2R、6,R，球的体积为一2328.已知三棱锥PABC中，侧棱PAJ2,PBJ5,PC3,当侧面积最大时，三棱锥PABC的外接球体积为32【答案】323【解析】三棱锥PABC的侧面积为：迎sin23,2_3,5一APBsinAPCsinBPC22QAPB,APC,BPC 相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥PABC的侧面积最大PC两两互相垂直PC为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥PABC的外接球外接球半径43ABC的外接球的体积：V三R33【答案】36ABCAB1C

29、1中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示:三棱锥P32本题正确结果:3229.已知直三棱柱ABCAB1C1的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB6,ACJ10,ABAC,AA2而，则球O 的表面积为【解析】直三棱柱BCJAC2AB2BBi26,所以球O的直径2R为6,球O的表面积为4田230 .在三棱锥？-?冲，平面？！_平面？，？混边长为2g的等边三角形，其中?=?=V7,则该三棱锥外接球的表面积为【答案】64?如图所示，作？中点？，连接？、？，在？?上作三角形？勺中心？，过点？?作平面？勺垂线，在垂线上取一点？，使得？=?。因为三棱锥底面是一个边长为2V3的等边三角形，？?为三

30、角形的中心，所以三棱锥的外接球的球心在过点？的平面？?的垂线上，因为？=?,?、？?两点在三棱锥的外接球的球面上，所以？?点即为球心，因为平面？面？，?=?,?为？中点，所以？面？?=V?2-?2=、/12-3=3.?=!?=2.?=?-?=1.3E-36几。?=V?2-?2=2设球的半径为？，则有？=?=?,?=V?2-4,(?-?)2+?=?2,即(2-V?2-4)2+12=?2,解得？?2=65故表面积为？=4?2=6：?。31 .已知圆锥的母线长为 5,底面半径为 4,则它的外接球的表面积为625【答案】6259【解析】如图，CB5,BE4,可得CE552423，取CB中点D,作DOC

31、B交CE延长线于O,则O为ABC的外心，也即圆锥外接球的球心，设OEx,则OC3x,OB收16,C22一173xx16,得x=1,6725，外接球半径R3725,6632 .四棱锥 SABCD 中，底面ABCD为矩形，AD4,AB2,且SASD8,当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为圆锥外接球的表面积S422562569【解析】由题意知当 S 到平面 ABCD 勺距离最大时，四棱锥的体积最大，此时满足平面 SAD 平面 ABCD 且SAD为等边三角形，边长为 4,则 S 到 AD 的距离2看即为 S 到平面 ABCD 勺距离，设球心 O 到平面 ABCD的距离 OE=x,则由 OD=OS

32、|x25(2J3x)21,故答案为：3的体积为17扃,则三棱锥PDEF的表面积为3【答案】27【解析】如图所示，因为EF平面PDE,所以EFDE,EFPE,EFDP,因为PDED,EFIDEE,所以PD平面DEF,所以PDDF,设PF的中点为O,则POOFODOE,所以O为三棱锥PDEF外接球的球心,由题知17屈4r3,解得r叵,所以PF疝，2解得x耳，所以外接球的半径R&5后,则外接球的表面积为S4R2763PDXED,EF平面PDE,DE4,EF3,若该球33.已知三棱锥PDEF的各顶点都在球面上,332在RtDEF中，DE4,EF3,所以DFVDEEF5,34 .在四面体？*，？%?器6是边长为 2 的等边三角形，且平面？面？?,则该四面体外接球的体积为【答案】2:5?【解析】取？勺外心为？1,设？为球