2020年中考备考数学专项练习：因式分解拓展题

1、因式分解拓展板块一：换元法例 1.分解因式：(x24x8)23x(x24x8)2x2例 2.分解因式：(x25x2)(x25x3)12【巩固】分解因式：(x1)(x3)(x5)(x7)15【巩固】分解因式：(x2x1)(x2x2)12yx2yx3yx4yy4是一个完全平方数.例 4 分解因式(2a5)(a29)(2a7)91例 3.证明：四个连续整数的乘积加是整数的平方.【巩固】若 x,y 是整数，求证:【巩固】分解因式(x23x2)(38x4x2)90例 5 分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(4x2x4)2【巩固】分解因式：(ab2ab)(ab2)(1ab)2例 6 分解因式：(x1

2、)4(x3)4272【巩固】分解因式：a444(a4)4板块二：因式定理因式定理：如果 xa 时，多项式 anxnan1xn1.a1xa0的值为 0,那么 xa 是该多项式的一个因式.有理根：有理根 c2 的分子p是常数项 a。的因数，分母q是首项系数%的因数.q【巩固】分解因式：x39x2y26xy224y3例 8 分解因式：x3(abc)x2(abbcca)xabc【巩固】分解因式：(lm)x3(3l2mn)x2(2lm3n)x2(mn)板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等nn1n21nn1n2anxan1xan2xLa1xa0bnxbn1xbn2xL那么 an

3、bn,an1bn1,，&b,aobo.例 9 用待定系数法分解因式：x5x1【巩固】x4x21 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积bix1b0【巩固】x6x31 能否分解为两个整系数的三次因式的积例 10 分解因式：x4x32x2x3板块四：轮换式与对称式例 11 分解因式：x2(yz)y2(zx)z2(xy)例 12 分解因式：xy(x2y2)yz(y2z2)zx(z2x2)家庭作业练习 1.分解因式24(x5)(x6)(x10)(x12)3x2练习 2.要使 x1x3x4x8m 为完全平方式，则常数m 的值为练习 3.分解因式22(x6x8)(x14x48)12练习 4.分解因式(x2

4、xyy2)24xy(x2y2)练习 5.分解因式_32_2xx5x2练习 6.分解因式练习 7.用待定系数法分解：x5x41练习 8.分解因式：a3(bc)b3(ca)c3(ab)补充题【备选 1】分解因式：(a1)(a2)(a3)(a4)2412【备选 2】分斛因式：xy(xy1)(xy3)2(xy-)(xy1)2【备选 3】分解因式：6x45x33x23x2因式分解拓展题解板块一：换元法例 1 分解因式：(x24x8)23x(x24x8)2x2【解析】将 x24x8u 看成一个字母，可利用十字相乘得原式 u23xu2x2(ux)(u2x)(x24x8x)(x24x82x)2_2_2(x25

5、x8)(x26x8)(x2)(x4)(x25x8)例 2 分解因式：(x25x2)(x25x3)12【解析】方法1:将 x25x 看作一个整体，设 x25xt,则原式=(t2)(t3)12t25t6(t1)(t6)(x2)(x3)(x25x1)方法 2:将 x25x2 看作一个整体，设 x25x2t,则原式=t(t1)12t2t12(t3)(t4)(x2)(x3)(x25x1)方法 3:将 x25x3 看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把 x25x 看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式(x25x)25(x25x)6(x25x1)(x25x6)(x

6、2)(x3)(x25x1).【巩固】分解因式：(x1)(x3)(x5)(x7)15【解析】(x2)(x6)(x28x10)【巩固】分解因式：(x2x1)(x2x2)12【解析】(x1)(x2)(x2x5)【解【解析】设这四个连续整数为：x1、x2、x3、x4(x1)(x2)(x3)(x4)1(x1)(x4)(x2)(x3)1,2_2、，2_2、4(x5xy4y)(x5xy6y)y令 x25xy4y2u2、4,22上式 u(u2y)y(uy)例 4 分解因式(2a5)(a29)(2a7)91【解析】【解析】原式(2a5)(a3)(a3)(2a7)91(2a2a15)(2a2设 2a2a15x,例

7、 3 证明：四个连续整数的乘积加1 是整数的平方.,2_,2(x5x4)(x5x6)12cux5x原式(x24625x5)21(x25x5)11222(x25x5)211(x25x5)2【巩固】若 x,y是整数，求证：xyx【解析】【解析】xyx2yx3yx4yy42yx3yx4yy4是一个完全平方数4xyx4yx2yx3yy222(x5xy5y)2yx3yx4yy4(x25xy5y2)2a21)91原式 x(x6)91x26x91(x13)(x7)(2a2a28)(2a2a8)(a4)(2a7)(2a2a8)【巩固】分解因式(x23x2)(38x4x2)90【解析】【解析】原式(x1)(x2

8、)(2x1)(2x3)90(2x25x3)(2x25x2)902y2x5x原式(y3)(y2)90y25y84(y12)(y7)(2x25x12)(2x7)(x1)例 5 分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(4x2x4)2【解析】 咋一看， 很不好下手， 仔细观察发现： (3x2x1)(x22x3)4x2x4,故可设 3x2x1A,x22x3B,则 4x2x4AB.故原式=4AB(AB)2A2B22AB(AB)2222_2_2_2(3xx1)(x2x3)(2x3x2).【巩固】分解因式：(ab2ab)(ab2)(1ab)2【解析】【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共 4 个地方

9、，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设 abx,aby,222【斛析】【斛析】则原式=(x2y)(x2)(1y)x2xyy2y2x1(xy)22(xy)1(xy1)2(abab1)2(1a)2(1b)2例 6 分解因式：(x1)4(x3)4272【解析】【解析】设 yx1x3x2,则原式=(y1)4(y1)42722(y46y21)2722-42-22-22(y6y135)2(y9)(y15)2(y3)(y3)(y15)2(x5)(x1)(x24x19)【巩固】分解因式：a444(a4)4【解析】【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令xa2a444(a4)4(x2)4(x2)444(x2

10、4x4)2(x24x4)244_4_2_4_2_2_2_2_2_222(x424x216)2562(x424x2144)2(x212)22(a2)21222(a24a16)2板块二：因式定理因式定理：如果 xa 时，多项式 anxnanxn1.axa0的值为 0,那么 xa 是该多项式的一个因式.有理根：有理根 cE 的分子p是常数项 a0的因数，分母q是首项系数 q例 7 分解因式：2x3x25x2【巩固】a。2 的因数是 1,2,an2 的因数是 1,2.因此，原式的有理根只可能是 1,2(分母为 1),-.2因为 f(1)21526,f(1)21520,于是1是 f(x)的一个根，从而x

11、1是 f(x)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降哥排列，没有的补 0:可得原式(2x23x2)(x1)(x2)(2x1)(x1)点评：观察，如果多项式 f(x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明 f(1)0;如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明 f(1)0.an的因数.2x2_3x_2x12x3x25x2322x2x23x5x23x3x2x22x20解析：本题有理根只可能为1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的是根，所以原式有因式x1,原式(x1)(x5x42x32x&x1)容易验证1也是 x5x42x354c3c2)/xx2x2x

12、x1(x 所以 x62x53x44x33x2【巩固】分解因式：x39x2y26xy2解析：x39x2y26xy224y3(x2y)(x3y)(x4y)例 8 分解因式：x3(abc)x2(abbcca)xabc【解【解析】常数项abc的因数为a,b,c,ab,bc,ca,abc把 xa 代入原式，得a3(abc)a2(abbcca)aabca3a3ba2ca2a2babca2cabc0所以 a 是原式的根，xa 是原式的因式，并且x3(abc)x2(abbcca)xabc322(xax)(bc)xa(bc)x(bcxabc)2(xa)x(bc)xbc(xa)(xb)(xc).【巩固】分解因式：

13、(lm)x3(3l2mn)x2(2lm3n)x2(mn)【解析】【解析】如果多项式的系数的和等于 0,那么 1 一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0,那么 1 一定是它的根.现在正是这样：(ln)(3l2mn)(2lm3n)2(mn)0所以x1是原式的因式，并且3一一2一一一(lm)x(3l2mn)x(2lm3n)x2(mn)(lm)x3(lm)x2(2lmn)x2(2lmn)x2(mn)x2(mn)2(x1)(lm)x(2lmn)x2(mn)(x1)(x2)(lxmxmn)板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等nn1n21nn1n21a

14、nxan1xan2xLa1xa0bnxbn1xbn2xLbixb0那么 anbn,an1bn1,，&。，a。b.例 9 用待定系数法分解因式：x5x1x1(x2ax1)(x352-xx1(xaxbx2cx1)或x5x11)(x3bx2cx1)x5ab0a1故 cab1,解得 b1,所以 x5x1(x2acb10c0ac1事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况【巩固】x4x21 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积解析：我们知道x4x21(x2x1)(x2x1).x4x21 不能分解成两个整系数的二次因式的乘积.如果 x4x21 能够分解，那么一定分解为(x2ax1)(x2bx1)或【

15、解析】【解析】原式的有理根只可能为1，但是这 2 个数都不能使原式的值为0,所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式.22xx1 的根，1)(x42x21)(x1)(x21)2,2222x1(x1)2(x21)224y3故 x5(x2ax1)(x3bx2cx1)432(ab)x(abc1)x(acb1)x(ac)x132x1)(xx1)22(xax1)(xbx1)比较 x3与 x2的系数可得：abab2由(1)得ba,代入(2)得 a22（1）（2）3 或 a21,没有整数 a 能满足这两个方程.所以，x4x21 不能分解成两个整系数的二次因式的积（从而也不能分解成两个有理系数的二

16、次因式的积）.【巩固】【巩固】x6解析：设 x63X3X1能否分解为两个整系数的三次因式的积3231(xaxbx1)(xa2cxdx1),比较 x5,x3及 x 的系数，得 adb由第一个方程与第三个方程可得0bc10ca,db,再把它们代入第二个方程中，得abab1矛盾!所以，x6x3例 10分解因式：x4x31 不可能分解为两个整系数的三次因式的积.22x原式的有理根只可能为x31,3,但是这四个数都不能使原式的值为没有有理根，因而也没有（有理系数的以分为两个整系数的二次因式的乘积.）一次因式.我们设想x4由于原式是首 122x的（首项系数为 1）,x3 可两个二板块四:对称式：次因式也应

17、当是首于是， 设 x4x3其中整系数a、b、a及常数项，得 bbcbd1的.2x2c、cdx3(x22axb)(xcxd)d有待我们去确定.比较式两边x3,x2,x 的系数acad3(2)(4)这样的方程组，一般说来是不容易解的.不过，别忘了b1b1从（5）可以得出 b或 b,当然也可能是d3d3在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有b1或bd3d将b1,d3,代入（4）,得c将与相减得2a2,于(a1,b因此x4x3将b1,d1,c22xb、d是整数！根据这一点,3T或11 一这两种情况.33a11,再由得2,d3）不仅适合、,2x3(xx3,代人，得将与相加得2a0.于是a这

18、一组数（a0,b1,c1,2这一组数而且适合.2,.1)(x2x3)c3a10,再由得c1.因而 x4x32x2x3(x21)(x23） ,虽然适合、 、 ， 却不适合,x3） .事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式,考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要.轮换式与对称式x、y的多项式x2233y,xy,xy,xy,Xyxy,在字母 x 与y互换时，保持不变.这样的多项式称为类似地，关于x、v、z的多项式xyz,x2y2x、y的对称式.2333z,xyyzzx,xyz,222222xyxzyzyxzxzy,xyz,在子母x、y、z中任思两子互换时，保持不变.这样的多项

19、式称为 x、yz 的对称式.轮换式：关于x、y、z的多项式xyz,x2y2z2,xyyzzx,x3y3z3,222222xyyzzx,xyyzzx,xyz在将字母x、y、z轮换(即将 x 换成y,y换成 z,z 换成 x)时，保持不变.这样的多项式称为x、v、z的轮换式.显然，关于x、v、z的对称式一定是x、v、z的轮换式.但是，关于x、y,z 的轮换式不一定是对称式.例如，x2yy2zz2x 就不是对称式.次数低于 3 的轮换式同时也是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式).例 11:分解因式：x2(yz)y2(zx)z2(xy)解析：x

20、2(yz)y2(zx)z2(xy)是关于x、y、z的轮换式.如果把 x2(yz)y2(zx)z2(xy)看作关于 x 的多项式，那么在xy时，它的值为 y2(yz)y2(zy)z2(yy)0.因此，xy是 x2(yz)y2(zx)z2(xy)的因式.由于 x2(yz)y2(zx)z2(xy)是x、y、z的轮换式，可知yz与 zx 也是它的因式.从而它们的积(xy)(yz)(zx)是 x2(yz)y2(zx)z2(xy)的因式.由于、都是x、y、z的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k,即有x2(yz)y2(z.x)z2(xy)k(xy)(yz)(zx)现在我们来确定常数k的值.为此，比较

21、的两边 x2y 的系数：左边系数为 1,右边系数为k.因此，k1.于是 x2(yz)y2(zx)z2(xy)(xy)(yz)(zx)思路 2：利用 yz=(yx)(zx).例 12 分解因式：xy(x2y2)yz(y2z2)zx(z2x2)【解析】【解析】此式是关于x,y,z 的四次齐次轮换式，注意到xy时，原式0,故xy是原式的一个因式.同理，yz,zx 均是原式的因式，而(xy)(yz)(zx)是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为 k(xyz),故原式 k(xyz)(xy)(yz)(zx),展开并比较系数可知，k1,故原式(xyz)(xy)(yz)(zx).思路 2：利用 x2y2

22、=(x2-z2)+(z2y2).家庭作业练习 1.分解因式：4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2原式 4(x217x60)(x216x60)3x24(x216x60)x(x216x60)3x2222_24(x216x60)24x(x216x60)3x2_2_22(x16x60)x2(x16x60)3x_2_2_2_(2x231x120)(2x235x120)(2x15)(x8)(2x235x120)练习 2.要使 x1x3x4x8m 为完全平方式，则常数 m 的值为【解析】【解析】x1x3x4x8m-2_2222(x5x4)(x5x24)m(x5x)20(x5x)96m,则m196练习

23、 3.分解因式：(x26x8)(x214x48)1222【解析】【解析】原式(x2)(x4)(x6)(x8)12(x10 x16)(x10 x24)12设 tX1210 x16,贝 U原式 t(t8)12(t2)(t6)(x210 x18)(x210 x22)练习 4.分解因式：(x2xyy2)24xy(x2y2)【解析】【解析】设 x2y2a,xyb,则原式(ab)24ab(ab)2(x2y2xy)2.练习 5.分解因式：2x3x25x2【解析】【解析】2x3x25x2(x2)(2x1)(x1)练习 6.分解因式：x36x211x6【解析】【解析】x36x211x6(x1)(x25x6)(x1)(x2)(x3)练习 7.用待定系数法分解：x4x51【解析】【解析】原式的有理根只可能为 1，但是这 2 个数都不能使原式的值为 0,所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式.12【备选 2】分斛因式：xy(xy1)(xy3)2(xy-)(xy1)2【解析】【解析】设xyu,xyv,原式=(u+v+1)(uv+1)=(x+1)(y+1)(x1)(y1).【备选 3】分解因式：6x45x