§2第二类曲线积分

1、§2第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分，但在力学.物理等许多问题中，还常常用到另外一类曲线积分，叫做第二型曲线积分.一第二型曲线积分的定义1力场作功问题如果质点受常力F的作用沿直线运动，位移为s,那末这个常力所做功为W=F|scosu其中|F|,|s|分别表示向量(欠量)的长度用为F与S的火角.设平面力场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)，即力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y).质点在力场作用下，沿平面曲线L从点A到点B所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C作分割T=M0,M1,.,Mn,M

2、n),即在AB内插入n-1个分点M1,M2,.M,nA,与A=M°,B=Mn一起把曲线分成n个有向小曲线段M-Mi(i=1,2,n)以冬记为小曲线段mimi的弧长.i|T|=maxAs.b) 作和任取一点P(£Ui)WMiMi，由丁有向线段Mixyi.MQiyi),在x轴和y轴方向上的投影分别为以=xi-x奴=yi-y,丁是MiUMixijiyi).从而力F(x,y)在小曲线段MiMi上所作的功WLF(i)(Axi,Ayi)=P(M,L)Axi+Q(七气)叙c) 取极限丁是力F沿C(AB)所作的功可近似Wi=/WiGP(si,f)Axi+/。(§,%)皈iAi=1

3、iT当ITIT0时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定，都要求计算上述形式的和式上极限(参见本节附录)，这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2第二型曲线积分的定义(P202-203)设P,Q为定义在平面有向可求长度的曲线(即光滑或分段光滑平面有向曲线)C上的函数,对任一分割T,它把C分成n个小弧段MMi,I=1,2,3,n;记M,(x,y,),M,M,弧长为§,|T|=maxAs,*=xix,Ay,=y,y,，i=1,2，,n.任取(与,听j)wMiMi,若1<i-：nnn极限州广P(Si,i)*i'、Q(Si,i).W

4、i存在且与分割T与界点(幻七)的取法无关，则称此极限为函数P,Q有线段C上的第二类曲线积分，记为fPdx+Qdy或者fPdx+Qdy(1)或者jPdx+JQdy或者Pds十Qdy按这一定义，有力场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W=AFds=AB(P,Q)(dx,dy)=ABPdxQdy.可类似地考虑空间力场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线AB所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分.若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R为定义在C*数，则可按上述办法定义沿有向曲线C的第二类曲线积分，并记

5、为fFds=JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz(4)ABc介绍有向闭路曲线积分的记法fdsc平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？(此时无所谓“起点”和”终点”)3第二型曲线积分的性质(P204)线性设C为有向曲线，(fds,gds存在，则Va,E击R,则(叫+图)ds存在，且(af+Pf)ds=afds+Pgds可加性设ffds存在，C=C1uC2,nfds,fds存在，且fds=fdsfdscclc2(3)第二类曲线积分与曲线C的方向有关设C-是C的反向曲线(即C-和C方向相反)，则jfds=-(fds(如B=BA)(5)第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.注

6、意第一类曲线积分表达示是函数f与弧长的乘积，它与曲线C的方向无关，这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.注1第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的思想建立的积分.因此，第二型曲线积分具有(R)积分的共性，如线性、关丁函数或积分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关丁函数的单调性，这是由丁一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的火角有关.二第二型曲线积分的计算设L(AB)为平

7、面有向光滑或按段光滑曲线，L:x=%t)，y(t)，口或者P<t<a起点A仰(a)，V(a)，终点B(%E)N(E);函数P(x，y)和Q(x，y)在L上连续，则沿L(即从点A到点B的方向)有(P(x，y)dx+Q(x，y)dy=*卜收，甲(t)尹'(t)+QV(t)，甲，(t)Ht.(6)证明略类似，设有空间有向光滑曲线C的方程是X=x(t)，Y=y(t)，Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A到点B设当t=a时对应点A,t=b对应点B(注意:a<b或者a>b均有可能出现);乂设f(x，y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),那么bfd

8、s=JPx(t),y(t),z(t)x(t)+Qx(t),y(t),z(t)y(t)y+Rx(t),y(t),z(t)z(t)dt(7)ca注2式中,必须注意定积分上，下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致，那下限对应丁起点参数值，上限对应丁终点的参数值.注3曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1计算积分(xydx+(y-x)dy,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合，路径为(P205)(1) 直线段AB(2) 抛物线y=2(x-1)2+1;(3) A(1,1)TD(2,1)TB(2,3)tA(1,1),折线闭合路径.

9、注4此例表明，第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关，而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点，但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分，积分值就不同)，会不会有如下情形发生：积分只与起点和终点有关，而在积分路径无关？(参见例2)从物理上讲有-重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的，到底需什么呢？以后在讲.例2计算积分xdy+ydx,这里L:(P206)(1) 沿抛物线y=2x2从点0(0,0)到点B(1,2);(2) 沿直线y=2x从点0(0,0)到点B(1,2);(3) 沿折线闭合路径0(0,0)tA(1,0)tB(1,2)t0(0,0).例3计算第二型曲线积分I=(

10、xydx+(x-y)dy+x2dz,其中L是螺旋线x=acost,y=asint,z=bt,从t=0到t=n的一段.(P207)例4求在力场F(y,-x,x+y+z)作用下，(1)质点由点A(a,0,0)沿螺旋线到点B(a,0,2rb)所作的功，其中L1:x=acost,y=asint,z=bt,(0_t_2二).(2)质点由点A(a,0,0)沿直线L2到点B(a,0,2rb)所作的功.(P207)22补例1i=v2dx+x2dv;C:+=1(y>0)方向(出0)t(a0)yy22y,.cabc补例2I=C2xydx-x2dy;C:直线y=x,方向从原点到(0,0)附录(说明：附录是本章

11、或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲)稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场V(x,y)=(P(x,y),Q(x,y).求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点M心处的切向量为弋=(cosot,sinot),(a是切向量方向与X轴正向的火角.切向量方向按如下方法确定：法线方Mi4向是指从曲线的哪一侧到哪一侧，在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线方向按右手法则确定，即以右手拇指所指为法线方向，则食指所指为切线方向.).在弧段c_一.rMi.Mi上的流量dE=(v,n)ds.n=cos(a-.兀、1.、一),sin(a)=(sina,cosa)，因此，22dE=P(x,y),Q(x,y)(sin：,-cos：)|ds|=P(x,y)sin：|ds|Q(x,y)cos：