用离散时间复指数信号表示信号Z变换

1、ch7 用离散时间复指数信号表示信号：用离散时间复指数信号表示信号：Z变换变换 (the Laplace Transform)Ch7.1 引言（Introduction）1、从离散时间傅里叶变换到Z变换 傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里叶变换不存在。引入Z变换，从而也可以对这些信号进行分析。 Z变换实质是将信号f(n)乘以衰减因子r-n 的傅里叶分析。主要内容主要内容 z变换的定义 基本信号的z变换 z反变换 使用z变换分析系统Ch7.2 Z变换(the Z - Transform) 定义 收敛域 S平面一、定义一、定义 nnznfzF-)(收敛域(ROC):-knznfZ反变换

2、：-其它001211mdzzjmcdzzzFjnfnc1)(21-C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。izznizzF-)(sRe1 zi为F(z)zn-1在C中的极点双边双边Z变换变换二、收敛域（二、收敛域（ROC)1)有限长序列nNNnznfzF-)(21 z0ROC0101nRNnnfN-其它例：11011)(-zzzzFNnNn0z2)右边序列nNkznfzF-)(1- RzROCnuanfn例：1011)(-azzazFnnnaz 3)左边序列nNnznfzF-)(2 RzROC 1-nubnfn例：-11)(nnnnnnzbzbzF-01nnnzbzb1111-111-bzbz

3、4)双边序列nnznfzF-)(-RzRROC 1-nubnuanfnn例：111111)(-bzazzFbza必须在|b|a|的条件下，序列的Z变换才存在。nanf例： 1)(-nuanuanfnnaab-序列的Z变换不存在。三、基本序列的三、基本序列的Z变换变换0, 1) 1znZazznuZn-111)220110101cos21sincos111)300-zzzjzzenuejnj201100cos21cos1)cos(-zzznun201100cos21sin)sin(-zzznun)(11zFnf;ROC111-fffRzRzR)(22zFnf;ROC222-fffRzRzR重点看

4、以下几个：1.线性(linearity)()(2121zbFzaFnbfnaf21ROCffRR包含NnununRN-例：11111)(-zzzzFN0111-zzzNCh7.4 Z变换的主要性质变换的主要性质(properties of Z Transform)3时移（Time Shift）双边Z变换的位移 f n-k z-kF(z) ROC = Rf单边Z变换的位移)(nfn0) 1( nfn0)2( -nfn0)0)( 1fzFznunfZ-nnznfnunfZ- 1 10)1(1-nnznfnnznfz-1)0)(fzFz-2nunfZ 1) 1(nunfZ)1 1(fnfZz-)1

5、0)(12fzfzFz- 1)( 11-fzFznunfZ2 121-fnunfZznunfZ2 1)(12-ffzzFz例：F(z)=1/(z-a) |z| a 求f n。1111)(-azzzF 1)1(-nuanfn4. 序列卷积 (convolution) 序列卷积的定义：2121knfkfnfnfk-)()(2121zFzFnfnfROC 包含Rf1Rf22121knfkfZnfnfZk-证：21knfZkfk-kkzkfzF-)(12)()(21zFzF 0nkkfZ例：nunfZ11)(- zzF例：两个序列的自相关定义为， 求ZRf(n)()()(knfkfnRkfknfZkf

6、nRZkfkkzzFkf)()()(1zFzF-5.序列指数加权（multiplication by exponential seguence）)/(azFnfaZnfRaROC201100cos21sin)sin(-zzznun)sin(0nunn220110cos21sin-zzz20110)/(cos)/(21)/(sin-zzz6.序列线性加权-Z域微分 （differentiation in the z-domain）dzzdFznnf)(-fRROC111-aznuan例：) 1(nuann2121)1 () 1)()(1()(11-azzazaz21)1 (1-azazaznua

7、n-111 1例：- 1) 1(nuann21)1 (1- az7.时间翻转(time reversal)/1 (zFnf-ffRzR11- 1nuan例：11111-zazaaz/1- 1 nuan111111-azzazaaz Ch7.5 Z 反变换(Inversion of Z - Transform)方法： 由定义求 部分分式法（类似于拉普拉斯变换） 幂级数展开部分分式法 111-aznuanaz 111 1-aznuanaz 21)1 (1) 1(-aznuannaz 21)1 (1 1) 1(-aznuannaz 例：求不同收敛域时)31)(21 (1)(11-zzzH的原序列。1

8、13121)(-zBzAzH2)()21 (21-zzHzA3)()31 (31-zzHzB11313212)(-zzzH3) 1z)32(11nunhnn-32)2 z 13211-nununhnn2)3z 13 1211-nununhnn例：4)41 ()21 (1)(121-zzzzF, 求f n121141)21 (21)(-zCzBzAzF4)()41 (41-zzFzC1)()21 (221-zzFzB12112141)21 ()21 ()21)(-zzCBzAzzF2)21)()2(12211-zzzFdzdA)442) 1(22(nunnfnnn-用用MATLAB求部分分式展开

9、求部分分式展开r,p,k=residuez(num,den)111)2() 1 ()(1)() 1 (1) 1 ()(den)(num-zkkznpnrzprzz321431818)(-zzzzH例：num = 18;den = 18 3 -4 -1;r,p,k = residuez(num,den); r = 0.3600 0.2400 0.4000 p = 0.5000 -0.3333 -0.3333 2111)3333. 01 (4 . 03333. 0124. 05 . 0136. 0)(-zzzzH复根时部分分式展开201100cos21sin)()sin(-zzznun)()1(s

10、in(0nun2222)/(11)(-azazzzF例：2111)(-zzF)1(2sin(1nunnf)2cos(nunanfn2010cos21sin-zz2111211121)1)(21 (1)(-zzCBzzAzzzzFA=4/3, B=-2/3, C= -1/3;2121)3/2cos(211-zzzz)3/2sin(3)1(32sin()3/2sin(3)32sin(2)2(34nunnnfn-留数法。，求例：)1 (1)(21nfazazzF-dzazzjnfcn-211)1 (21dzazzjcn-21)(211-n0nf2-n2 , 1,1-mmn令dzazzjnfcm-2)

11、(1210211)(1)!1(1-zmmazdzdm)1(-mma 1) 1(-nuann例：用Z变换计算卷积 fn=2nu-n hn=un计算 yn = fn hnfn=n+2nu-n-1)11)(2111 ()(11-zzzY21 z)1)(21 (2111-zzz1112212-zzyn=2un+2n+1u-n-1Ch7.6 LTI系统的变换域分析(Transform Analysis of LTI systems)解：hn满足的差分方程为 126 15-nnhnhnh对方程两边同时做Z变换211651)(-zzzzH11311211-zz)3()2(nunhnn-1、系统函数、系统函数

12、(transfer function)：H(z)=Zhn例：已知一 LTI 系统满足的差分方程为0,126 15-nnfnynyny求：H(z)和 hn定理： 离散LTI系统稳定的充要条件是-)(nhn由H(z)判断系统的稳定性：H(z)的收敛域包含单位园则系统稳定。因果系统的极点全在单位园内则该系统稳定。例：已知一离散 LTI 系统的系统函数为 )5 . 11)(5 . 01 (1)(11-zzzH试判断该系统的稳定性。解：1)|z| 0.5 系统不稳定，非因果系统。2) 0.5 |z| 1.5 系统稳定， 非因果系统3) |z| 1.5 系统不稳定， 因果系统2、离散系统的稳定性、离散系统

13、的稳定性例： 一离散系统如图所示，求(a)H(z) (b)系统稳定时k的范围 z-1)(nx)(ny3k-4k-)(ng)()()3/()(1zXzGkzzG-)()4/()()(1zGzkzGzY-11)3/(1)4/(1)(-zkzkzH系统稳定3k7.8 单边单边Z变换变换(the unilateral z-transform )1、单边Z变换：nnznfzF-)(02、 利用z变换分析系统响应(Solving system response)时域差分方程 y(n) (z变换) (z反变换) 解代数方程z域代数方程 Y(z)解：2111 . 07 . 0127)(-zzzzHr,p,k=

14、residuez(1 1 -1,2 3 1)r = -1.0000 2.5000p = -1.0000 -0.5000k = -1115 . 015 . 2111)(-zzzH)5 . 0(5 . 2) 1(1nununnhnn-1)单位脉冲响应例 已知一LTI系统满足的差分方程为求hn,yzin, yzsn。（z域） ,2022,26 1012721 . 0 17 . 0nunfyynnnfnfnynyny-2）求系统响应) 1()(2)(7) 1()2()(1 . 0) 1()(7 . 0)(1121-xzXzzXzyyzYzyzYzzY2112111 . 07 . 01)2(1 . 0)

15、 1()1 . 07 . 0()(1 . 07 . 0127)(-zzyyzzXzzzzY0)5 . 0(12)2 . 0(1005 .12)5 . 0(5)2 . 0(5 . 0nynynynnynnyzizsnnzinnzs-111115 . 01122 . 011015 .125 . 0152 . 015 . 0zzzzz 1)( 11-yzYznyz2 1)(212-yzyzYznyz写出系统函数，并判断系统是否稳定例: 一LTI离散系统初始条件为y-1=8, y-2=2, 当输入xn=(0.5)nun 时，输出响应为yn=4(0.5)nun-n(0.5)nun- (-0.5)nun)5 . 0()5 . 0)(1()5 . 0(5nununnunynnn-解：12115 . 011)5 . 01 (15 . 015)(-zzzzY)5 . 01 ()5 . 01 (5 . 15 . 031