吉林省长春市2020届高考数学二模试卷(文科)(解析版)

1、2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）、选择题（共12小题）1. 已知集合 A = x|x (x 2)W 0, B = - 1, 0, 1, 2, 3，贝U AA B =()A . - 1 , 0, 3 B . 0 , 1C. 0, 1, 2D . 0 , 2, 32. 若 z= 1+ (1 - a) i (a R), |z|= v?则 a=()A . 0 或 2B . 0C . 1 或 2D . 13. 下列与函数y= 1定义域和单调性都相同的函数是（）V?B. y= Iog2 (-) x1D. y= x 4A . y= 2 ?1C. y= Iog2从4. 已知等差数列an中，3a5

2、= 2a7，则此数列中一定为0的是（）A .a1B. a3C.a8D .a105. 若单位向量 厉？厉夹角为60°, ?= 2?-厉？则|?=()A .4B. 2C.V?D .16. 高中数学课程标准（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart ）,可用于对研究对象的多维分析）直观想象数据分析埶学I由毀甲 -乙A甲的

3、数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题P：存在实数xo,对任意实数x,使得sin （x+xo）=- sinx恒成立：q：?a> 0, f?+?（x ）= In?为奇函数，则下列命题是真命题的是（）?-?A . pA qB.（p）V（q） C. pA（ q）D.（p）A q&已知函数?（?= |?> ?_?(?+ ?, A，则函数y= f （x）- 3的零点个数是（?< ?C . 3D . 410 .若双曲线_1 = ?(?>? ? l>.，?> ?的一条渐近线被圆x

4、2 +y2- 4y= 0截得的弦长为2,9.已知a为锐角，?(?+3?+?笃)，则角 a=()且?=?(?-?A .B .-C .-D . 一12643则双曲线的离心率为（）A. V?3311. 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 ai= 2, ?+?= ? ?i(? ?釣，贝U Sn=()A . 2n+1B. n? 2nC. 3n 1D. 2n? 3n112. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 E, F, G分别为棱 A1D1, D1D, A1B1的中点，给 ? 出下列命题：ACEG;GC/ ED ;B1F丄平面BGC1；EF和BB 1成角为一.正4确命题的个数是()A .

5、 0B . 1C . 2D . 3二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.?+ ?> ?13. 若x, y满足约条条件?- ?< ?，则z= x+y的最大值为 .? ?< ?14. 曲线f (x)= 2sinx在？?= 3处的切线与直线 ax+y- 1 = 0垂直，则a=.15. 在半径为2的圆上有A , B两点，且 AB = 2,在该圆上任取一点 P,则使得 PAB为锐角三角形的概率为.16. 三棱锥A - BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心0,且BD = 2J?三棱锥A - BCD体积的最大值为 ;三棱锥A - BCD体积最大时，平面 ABC截球所得的截面圆的面

6、积为.三、 解答题：共70分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60分.17.已知在厶ABC的三个内角分别为2 1A, B, C, sinBsin A= v?osA, cosB= 3.3(I)求A的大小；(H)若 AC = 2，求 AB 长.18. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于 80分的参与者擅长冰上运动,

7、得到如图所示的频率分布直方图：(I)求m的值;(H)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2X 2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P ( K2> x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据:K2=?(?-?),n =a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?) / /19. 如图，在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，底面 ABC为等腰

8、直角三角形， AB丄BC, AAi =2AB = 4, M , N分别为CC1, BB1的中点，G为棱AA1上一点，若 A1B丄NG .(I)求证：A1B 丄 GM ;(H)求点Ai到平面MNG的距离.20已知椭圆 ? ?2+ ?= ?(?D?b?的左、右顶点分别为圆上异于A，B的点，且直线 PA和PB的斜率之积为-3.B，焦距为2,点P为椭(I)求C的方程;(H)设直线 AP与y轴的交点为 Q,过坐标原点 O作OM / AP交椭圆于点 M，试证明雳为定值，并求出该定值.21.已知函数?（?= 3?+ ?+ ? ?.(I)若 Xi 为 f (x)的极值点，且 f (xi)= f (X2)( X

9、1M X2)，求 2X1+X2 的值;(H)求证：当 m>0时，f (x)有唯一的零点.(二)选考题：共 10分，请考生在 22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第题计分.选修4-4 :坐标系与参数方程?= ?+ ?22已知曲线C1的参数方程为?= ?( a为参数)，曲线C2的参数方程为?= ?+ ?4 ?"t为参数)(I)求C1和C2的普通方程;(H)过坐标原点O作直线交曲线|?|C1于点M （ M异于O）,交曲线C2于点N ,求贏?|的I I最小值 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f (x)= |ax+1|+|x 1|.(I)若a= 2,解关于x的不等式f

10、 (x)v 9；a 的取值范围.(H)若当x> 0时，f (x )> 1恒成立，求实数参考答案一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,题目要求的1.已知集合 A = x|x (x 2)w 0, B = - 1, 0, 1, 2, 3，贝U An B =A . - 1 , 0, 3 B. 0 , 1C. 0 , 1, 2D.【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可.解：A = x|OW x w 2; A n B = 0 , 1, 2.故选：C.有一项是符合( )0 , 2, 32.若 z= 1+ (1 - a) i (a R), |z|= v?则 a

11、=()A . 0 或 2B . 0C . 1 或 2D .【分析】根据复数求模公式计算即可.解：因为 z= 1+ (1 - a) i ( aR),|z|= V?+(?- ?= v? (1 - a) 2= 1? a = 0 或 2;故选：A.3.下列与函数y=占定义域和单调性都相同的函数是()A y= 2?B . y= log2 (-) x21C. y= log2?D . y=x i【分析】可看出，？?=吉在定义域x|x> 0上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域x|x> 0上单调递增，而选项B, D的函数的定义域都不是x|x >0,从而得出选项 A,B, D都错误，只能选

12、C.解：?= J?在定义域x|x> 0上单调递减，？?= ?和=?在定义域x|x > 0上单调递增， ?= ?(2)?的定义域为 R, ?= ?在定义域x|x > 0上单调递减，?= ?的定义域 为x|x> 0.故选：C.4. 已知等差数列an中，3a5= 2a7，则此数列中一定为 0的是()A . aiB. a3C. a8D. ai0【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.解：等差数列an中，3a5= 2a7, 3 (ai+4d)= 2 (ai+6d),化为：ai = 0.则此数列中一定为 0的是ai.故选：A.5. 若单位向量?夹角为60°,乞=2亦丁方？

13、则|屛=()A . 4B . 2C . V?D . i【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可.解：由?= 2?- ?>>>> ?> >> ?得？?=(?- ?=4?初-4? ?+ ? =4X i - 4X ix i x cos60° +i = 3,所以 |?= v?故选：C.6. 高中数学课程标准(20i7版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（Rad

14、arChart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）直珈想象數据分析埶学抽毀甲 八乙A甲的数据分析素养高于乙B 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C乙的六大素养中逻辑推理最差D乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.解：对于A选项，甲的数据分析为 3分，乙的数据分析为 5分，即甲的数据分析素养低 于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为 3分，数学抽象素养为 3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项 B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数

15、学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整 体水平优于甲，故选项 D正确，故选：D 7. 命题p：存在实数 xo,对任意实数 x,使得sin (x+xo)=- sinx恒成立：q： ?a> 0, f?+?(x )= In一为奇函数，则下列命题是真命题的是()?-?A. pA qB.厂 p)V(q) C. pA(q)D .厂 p)A q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得?+?P为真命题，分析函数f (x) = In在a > 0?-?时的奇偶性，可得q为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案.解：根据题意，命题 p :

16、存在实数xo，对任意实数X，使得sin (x+xo)=- sinx恒成立,当Xo= n时，对任意实数 X，使得sin ( x+ n) =- sinx恒成立,故P为真命题；?+? ?+?命题 q: ?a>0, f (x) = In ,有>0,?-? ?-?解可得-av xv a,函数的定义域为(-a,a),关于原点对称，?+?有 f (- x)= In=?-?+? -In=?-?-f (x)故其为真命题；则p A q为真命题，(p)v(q )、P，即函数f (x)为奇函数,(q)、(p)A q为假命题;故选：A.&已知函数?(?= |?|?> ?_?(?- ?,?<

17、; ? A ，则函数y= f (x)- 3的零点个数是(A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】画出f ( x)的图象，结合图象求出y= f (x)与y= 3的交点个数，即可判断结论.|? ?>> ?解：因为函数？?(?= 丨？，？-,-?(? ?, ?< ? y 且 x< 0 时 f (x=- 2x (x+2) =- 2 (x+1) 2+2 ；所以f (X)的图象如图,由图可得：y= f (x)与y= 3只有两个交点;即函数y=f (x)- 3的零点个数是2；故选：B.?999999+93)，则角“=?A .12?B.-699 C _499D .39999【分

18、析】由题意可得 999999(93)= 999999+g)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论.解：由条件已知a为锐角,?(?)+ "Q"/?且3? = ?(?广),可得999999(?).' 33少 少 少 少 少 ?99?+?),3 将各个选项中的值代入检验，只有99a= 满足,故选：C.10. 若双曲线-.-=99(9>99999999> 99的一条渐近线被圆x2+y2- 4y= 0截得的弦长为2,则双曲线的离心率为(32?V ?心V?即寸V?| 士 2?|B. V?【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x2 + y2

19、-4y=0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d= V ? ?= V?再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值.解：圆x2+y2- 4y= 0化为标准方程为：x2+ (y - 2) 2= 4,圆心为(0, 2)，半径r = 2,渐近线被圆x2+y2- 4y= 0截得的弦长为2,圆心到渐近线距离 d= V ? ?= V?又渐近线方程为bx ± ay= 0,离心率e= ?=导故选：D.11. 已知数列an的前n项和为Sn,且ai= 2, ?+?= 肓？?仟？ ?力，贝U Sn=()A . 2n-1+1B. n? 2nC. 3n- 1D. 2n? 3n -1【分析】根据an+1 = Sn+

20、1 - Sn,化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出Sn .解：法一：排除法：a2= 6, a3= 16,验证知 B对.?+?= 72?2?4?),？?+?= 等？?，化简得:?+1?+1数列鬥是以2为首项,2为公比的等比数列,型？?,?= ?.故选：B.12. 在正方体 ABCD - AiBiCiDi中，点 E, F, G分别为棱 A1D1, DiD, A1B1的中点，给- ?出下列命题：ACi丄EG;GC/ ED ;BiF丄平面BGCi;EF和BB i成角为一.正 4确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3【分析】如图对于，连接AiC, B1D1，可得EG / D

21、1B1，又CAi丄平面EFG，即可判断出正误.对于，取BiCi的中点M,连接CM , EM,可得四边形 CDEM为平行四边形，进而判断出正误； 由于BiF与BiCi不垂直，BiCi / BC,可得BiF与BC不垂直，即可判断出正误.? 由于DiD / BiB , EF和DDi所角为一.即可判断出正误.4解：如图对于，连接AiC, B1D1，则EG / D1B1,而CAi丄平面EFG，所以ACi丄EG;故正确；对于，取BiCi的中点M,连接CM , EM，可得四边形 CDEM为平行四边形，二CM/ ED，因此GC / ED不正确； 由于BiF与BiCi不垂直，BiCi / BC,. BiF与BC

22、不垂直，因此 BiF丄平面 BGCi不成立.? / DiD / BiB, EF和DDi所角为一.二EF和BBi成角为一.正确.44正确命题的个数是 2.故选：C.5二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.?+ ?> ?13. 若x, y满足约条条件?- ?< ?，则z= x+y的最大值为 4.? ?< ?【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.?+ ?> ?解：由x, y满足约条条件?- ?< ?作出可行域如图：?-? ?< ?化目标函数 z= x+y为y= x+z,由图可知，当直线 y= x+z过A时，z取得

23、最大值,99由?=?= ?解得 A（2, 2）时，目标函数有最大值为z= 4.故答案为：4.14. 曲线f (x)= 2sinx在？?= 3处的切线与直线 ax+y- 1 = 0垂直，则a=1【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值.解：T f'( x)= 2cosx,?3人 3，t切线与直线 ax+y - 1 = 0垂直，所以-a=- 1. a = 1.故答案为：1.15在半径为2的圆上有A , B两点，且 AB = 2,在该圆上任取一点 P,则使得 PAB为1锐角三角形的概率为 _丄_._6 【分析】先找到等于 90°的分界点，进而求得结论.解：由/ A

24、BQ = 90°,/ BAP = 90°,延长BO到P, AO到Q ；当点P位于劣弧PQ之间时， ABP为锐角三角形,因为 AO = OB = AB ；所以：/ AOB =/ POQ = 60°所以其概率为:p=36t°A - BCD体积的最大值为.2 V2;三棱锥A - BCD体积最大时，平面ABC截球所得的316.三棱锥A - BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心0,且BD = 2V?三棱锥截面圆的面积为4?3 【分析】由于 BD过球心，所以可得/ BAD = Z BCD = 90°, A0丄面BCD，所以当BC=CD时体积最大，这

25、时三角形 ABC为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积.解：当BD过球心，所以/ BAD =Z BCD = 90°,所以 A0 丄面 BCD , Va-bcd = 1 ?2 ?当 BC = CD 时体积最大,因为 BD = 2V? 0A= v?所以 BC = CD = 2,所以最大体积为:1 1?一 ?3 '22 V23三棱锥A- BCD体积最大时，三角形ABC 中，AB = AC = V ?+ ?= 2= BC ,设三角形ABC的外接圆半径为r，则22r=壽，所以尸省，所以外接圆的面积为S= n2=4?T，故答案分别为：整34?三、解答题：共70分，解答应写出文字说

26、明、 证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 6017. 已知在厶ABC的三个内角分别为 A , B, C, sinBsin2A= J?osA, cosB= 3-3(1) 求A的大小；(n)若 AC = 2，求 AB 长.【分析】(1)由已知结合同角平方关系可求cosA，进而可求A ;(2) 由已知结合和差角公式可求sinC,然后结合正弦定理可求.解：(1)v ?,?空,3 2sin2A = 3cosA，即 2 (1 - cos2A )= 3cosA ,解得 ?-?=?(2 )T ?=?+?)= ?羽?P?1 + -

27、 ?22 =忌2 迁23236由正弦定理得? ?=?-?=?6 +?418. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于 80分的参与者擅长冰上运动, 得到如图所示的频率分布直方图：(I)求m的值;(n)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P ( K2>

28、 x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据:K2=?(?-?),n =a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?) / /【分析】(I)由小矩形面积之和为1即可求出m;(n)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公 式求出K2并与6.635比较，从而得出答案.解：(I)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m+0.030+0.005 )x 10= 1,解得 m= 0.025；(n)擅长不擅长合计男性203050合计3070100

29、?尹=（?+?）?+；?-；爲?+=?）100 : 5需豐加762 V 6.635故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.19如图，在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，底面ABC为等腰直角三角形， AB丄BC, AAi =2AB = 4, M , N分别为CC1, BB1的中点，G为棱AA1上一点，若 A1B丄NG (I)求证：A1B 丄 GM ;(H)求点A1到平面MNG的距离.【分析】(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(n)设A1B与GN交于点E，易得A1B丄平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E ,由解三角形的知识求得所求距离.解：

30、(1)证明：AB丄BC, BC丄BB1,可得CB丄平面ABB 1A1,M , N分别为CC1, BB1的中点，可得 MN / BC ,可得MN丄平面 ABB1A1,又A1B丄NG ,由三垂线定理可得 A1B丄GM ;(n)设 A1B与GN交于点E，由(I)可得 A1B丄平面MNG ,在厶 BNE 中，AA1= 2AB = 4, tan / EBN = 1，则 cos/ EBN = -y,2 v5可得?字塔,BAi = 2v?贝U ?*?=6适5可知Ai到平面 MNG的距离为 AiE =6込520已知椭圆?|+ ? = ?(?>?> ?的左、右顶点分别为A，B，焦距为2,点P为椭圆上

31、异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为迟(I)求C的方程;(H)设直线 AP与y轴的交点为Q,过坐标原点O作OM / AP交椭圆于点 M，试证明 为定值，并求出该定值.1?2【分析】(1)由直线PA和PB的斜率之积为-3可得_ ?= - 3，又c = 1，再结合a24?4=b2+c2从而求出椭圆C的方程；(2)设直线AP的方程为：y= k (x+2)，则直线OM的方程为y= kx，分别于椭圆方程联立，求出点P，点M的坐标，代入化简得竺咛?=咤畤竺！=?2|?§?|2|?$+2|?|0+2|=?|?勿2解:(1)已知点P在椭圆上，设P（ xo, yo），即有 ¥+

32、65;=? ? 傀又？治治尸 訥？治=?-?2 =?3? = - 4，且 2c= 2,可得椭圆的方程为?+ = ?43(2)设直线AP的方程为：y= k (x+2)，则直线 OM的方程为y = kx,2，联立直线AP与椭圆的方程可得：(3+4k2) x2+i6k2x+16k2- 12= 0,由 Xa=- 2,可得？? =26-8?23+4?2联立直线OM与椭圆的方程可得:3+4k2) x2- 12= 0,即即 ? =26-8? 23+4?、|?|?|?|所以=1?21?6?1?知?|?+2|?|0+2|?如2? .即嗚护为定值，且定值为2.21.已知函数?(?= ?+ ?+ ?卞?.3(I)若

33、 Xi 为 f ( x)的极值点，且 f (X1)= f ( X2)( X1M X2)，求 2x1+X2 的值;(n)求证：当 m>0时，f (x)有唯一的零点.【分析】(1)由题可知 f (x1)= f (X2)，且 f '(X1)= 0,又 f' (x)= x2+2x+m，即得3 ?-3 ?",化简并分解因式可得.?+ ?*?+ ? = ?(2)令?(?= 1?+ ?+ ?卞?= ?可得 1?+ ?= -?(? + ?,令?(?=首？?+? h' (x)= x2+2x，利用单调性可得:1 ?+ ?= -?(? + ?有且只有一个交点，即1?(?= 1

34、?+ ?+ ?卞？?有唯一的零点.解：(1)由题可知 f (X1)= f (x2)，且 f'( X1)= 0,又 f' (x)= x2+2x+m,即得3 ?+ ?尸+ ?+ ?= 1 ?+ ?孑+ ?+ ? ?+ ?+ ? = ?化简并分解因式可得(2X1+X2+3 ) ( X1- X2)= 0.2X什X2=- 3.( 6')? = ?(? + ?) f(2 )证明：令?(?=丄？?+ ?+ ? ?= ?则丄?+3 3 ''令?（?= 1?+ ? h' （x）= x2+2x,可知 h （x）在（ s, 2）和（0, +）上单3调递增，在-2, 0

35、上单调递减，又?（-?） = 4，h （0） = 0; m （x+1 ）为过点（-1, 0）的直线，又 m > 0,则-mv 0, 31i因此孑?+ ?= -?（? + ?有且只有一个交点，即？?（?=?+ ?+ ?卞？?有唯一的零点.（二）选考题：共 10分，请考生在 22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第题计分.选修4-4 :坐标系与参数方程?= ?+ ?22.已知曲线Ci的参数方程为?= ?（ a为参数），曲线 C2的参数方程为?= ?+ ?3? 4 （t为参数）?= ?4（I）求Ci和C2的普通方程;（n）过坐标原点o作直线交曲线l?lCi于点M （ M异于O）,交曲线C2于点N ,求|?|的最小值.?=【分析】（I）由?=?+ ?（&为参数），消去参数a可得Ci的参数方程；化?= ?=?+ ? ?=4为"?