高等数学第9章5节

1、一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分95 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q 、z的变化范围为：0 r，0 q 2 ， zxyzOrzP(r, q )M(x

2、, y, z)x yq 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标 一、利用柱面坐标计算三重积分rr0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：xyzOq q 0zz0r0q 0z0 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q 、z的变化范围为：0 r，0 q 2 ， z 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标 直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素： dv rdrdqdz.,sin,coszzryrxqq柱面坐标系中的三重积分： f (x，y，z)dxdyd

3、z f (r cos q ，r sin q ，z) rdrdqdzxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq x2y242 解 闭区域可表示为：r 2z4，0r2，0q2于是zdxdydzdzzrdrdqq202042rzdzrdrdq20204)16(21drrrd2062618221rr 364zx2y2或 zr24xyzO 例例 1 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz，其中是由曲面 zx2y2与平面 z4 所围成的闭区域 例1 这样的三个数r、j 、q 叫做点M的球面坐标 设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应，其中r 为原点O 与点M 间的距

4、离，j为有向线段 与z 轴正向所夹的角，OMq 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段 的角OP这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r，0 j ，0q 2xyzOzPM(x, y, z)x yq rj二、利用球面坐标计算三重积分坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义：xyzOrq j 点的直角坐标与球面坐标的关系：.cos,sinsin,cossinjqjqjrzryrx球面坐标系中的体积元素： dvr2 sin j drdjdq f (x，y，z) dxdydzf(rsinj cosq ，rsinj sinq ，rcosj ) r2 sinj drdjdq 柱面坐标系中的三重积

5、分：xyzOzPM(x, y, z)x yq rj 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面 所围成的立体的体积 解 该立体所占区域可表示为：0r2a cos j ，0ja ，0q2于是所求立体的体积为Vdxdydz r2 sinj drdjdqajjjq200cos202sinadrrddajjj0cos202sin2adrrdajjj033sincos316daxyzOa2arj)cos1 (3443aa 例3 求均匀半球体的重心 解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a axyzOq jr显然，重心在z 轴上，故x y 0z dvdvzdvzdv dvadrrdd022020sinjqjdvzadrrrdd022020sincosjjqj42214a, 323a, 因此z83a重心为(0，0，83a重心为(0，0，83a) 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， 例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量则球体所占空间闭区域可用不等式x2y2z2a 2来表示其中 M334a为球体的质量I zdvyx )(22qj