第十八章动能定理学习教案

1、会计学1第十八章动能定理第十八章动能定理(dn nn dn l)第一页，共36页。二、质点系的动能二、质点系的动能(dngnng) 2k21iivmE将各质点(zhdin)的动能相加1.平动刚体(gngt)的动能222k212121CiCiimvmvvmE222222k21)(212121ziiiiiiJrmrmvmE2.定轴转动刚体的动能第1页/共36页第二页，共36页。ODABCvAvCvB解解: 杆杆OA和和DB定轴转动，杆定轴转动，杆AB平动平动(pngdng)Ek = EkOA + EkDB+ EkABvC = vA = vB= l 第2页/共36页第三页，共36页。22KK6131

2、21mlmlEEDBOA2k2121mlmvECAB22k21612mlmlE265mlODABCvAvCvB第3页/共36页第四页，共36页。第二节第二节 功的概念功的概念(ginin)(ginin)和计算和计算 一、常力的功一、常力的功cosFsW 在国际(guj)单位制中，功的单位为J（焦耳）。功是标量(bioling)，可为正、负或零。功的量纲为dim W = M L T2L = M L2 T2第4页/共36页第五页，共36页。二、变力的功二、变力的功sFsFWdd)cos(ddrFF，sFdsFWssMMMMdd)cos(212121rFF，)ddd(d2121zFyFxFWzyxM

3、MMMrF第5页/共36页第六页，共36页。三、常见三、常见(chn jin)力的功力的功1重力重力(zhngl)的功的功（2）质点系mghzzmgWCC)(21（1）质点(zhdin)mghzzmgzmgzFWzzzzz)(d)(d212121第6页/共36页第七页，共36页。2弹性力的功弹性力的功 F= -k(r-ro) rorF ddWrrrrrrrrd2dd)d( MFrr0r2r1orrrd)d(21)d(21d2rrrrrrrkrrrkrrkWooood)(d)(d)(ddrrrrrF)(2)()(d)(2221202211221krrrrkrrrkWorro第7页/共36页第八页

4、，共36页。3定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)上力的功上力的功力偶的功力偶的功dddrFsFWd)(FzMd)(21FzMW式中，Mz可为力偶矩矢在轴上的投影(tuyng) 第8页/共36页第九页，共36页。7、内力、内力(nil)的功的功W = F1dr1 + F2dr2Or2r1r12F2F1讨论(toln):1)对于刚体F1 dr120 ； W=0。2)对于(duy)一般质点系，dr120。内力不作功.内力作功. = F1 (dr1-dr2)= F1 dr12第9页/共36页第十页，共36页。8、约束、约束(yush)反力的功反力的功.理想约束理想约束(yush)dr=0FdrW1=

5、 -W2W=0当满足(mnz)约束(yush)反力作功之和为零的约束(yush)，称之为理想约束(yush)。除动滑动摩擦约束约束外，静力学中介绍的约束均为理想约束。第10页/共36页第十一页，共36页。A例例18-2 一刚度系数为一刚度系数为k的弹簧的弹簧(tnhung)，放在倾角为，放在倾角为的斜面上。弹簧的斜面上。弹簧(tnhung)的的重物A上所有力(yul)的功的总和。摩擦力不计。上端(shn dun)固定，下端与质量为m的物块A相连，图示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，试计算作用于解：解：作出重物A的受力图；WFFN重物W和弹力F作功sin1mgsW 平衡

6、时 0sinkmgFkmgo/sin)2(2)(222122sskkWooso12212ksWWW第11页/共36页第十二页，共36页。2Mab例例18-3 在半径为r的卷筒上，作用一力偶，其中为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动斜面上的重物B。设重当卷筒转过两圈时，试求作用于系统中所有力(yul)的功的总和。物B的质量为m，它与斜面之间的滑动摩擦(hu dn m c)系数为f 。绳索质量不计。 解：分别解：分别(fnbi)求得各功：求得各功：第12页/共36页第十三页，共36页。422108()d8()3Wabab3cos30432Wmgfrmgfr 212388()2 (13)3WWWW

7、abmgrf摩擦力FS的功 所有力(yul)的功的总和 力偶(l u)M的功重力(zhngl)W的功 W2 = - mg4r sin30= - mg2rWFS第13页/共36页第十四页，共36页。第三节第三节 动能定理动能定理(dn(dn nn nn dn dn l) l)一、质点一、质点(zhdin)的动能定理的动能定理 FvtmddddddmtvrFrddmv vFrWmv d)21d(2质点(zhdin)动能定理的积分形式sFEMMKvvdd2121WEE1k2k积分 质点动能定理的微分形式第14页/共36页第十五页，共36页。例例18-4 质量为质量为m的物体，自高处自由的物体，自高处

8、自由(zyu)落下，落到下面有弹簧落下，落到下面有弹簧支持的板上。设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚度(n d)系数刚度系数(xsh)为k。求弹簧的最大压缩量。解解 （1）以物体为研究对象，作功的力有重力和弹力。（2）运动分析。物体在始、末位置，速度为零，动能为零。（3）选用动能定理求弹簧的最大压缩量。第15页/共36页第十六页，共36页。由动能定理(dn nn dn l)121k2kWEE)(maxhmg2/ )0(2maxk重力(zhngl)作功弹簧(tnhung)力作功2maxmax0()2kmg h22max12mgm gkmghkk解得 第16页/共36页第十七页，共36页。二、

9、质点系的动能定理二、质点系的动能定理(dn nn dn l)质点系内任一质点，质量为mi，速度(sd)为vi，作用在该质点上的力为Fi ，iiWEddk i=1，2，3，nniiiniWE1k1ddiiWEddkiWEddk求和(qi h) 交换求微分和求和次序，质点系动能定理的积分形式：质点系动能定理的微分形式：iWEE1k2k第17页/共36页第十八页，共36页。3、动能定理为标量式，可求一个未知数，通常(tngchng)先求速度，1、动能定理(dn nn dn l)涉及v、F、S，已知足够量，可求其余。2、在Wi中，一般(ybn)含内力的功，但不含理想约束力的功。再求导，求加速度。注意：

10、注意：第18页/共36页第十九页，共36页。例例11-6 链条长链条长l质量质量(zhling)为为m,展开放在光滑的桌面上。开始时链条展开放在光滑的桌面上。开始时链条静止，并有长度为a 的一段下垂(xi chu)。求链条离开桌面时的速度。解：解： 1 1、取系统为研究、取系统为研究(ynji)(ynji)对对象；象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：链条上各点速度大小相同；W1W2第19页/共36页第二十页，共36页。lalmgallmagmv2)()(2122带入质点系动能定理(dn nn dn l)解得：)(22allgv121k2kWEE01kE22k21mvE下垂

11、(xi chu)段重力作功为)(1allmagW桌面(zhumin)段重力作功为lalmgW2)(22W1W2第20页/共36页第二十一页，共36页。IIIg例例11-8 在绞车的主动在绞车的主动(zhdng)上作用一恒力偶上作用一恒力偶M以提升重物，已知以提升重物，已知轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止(jngzh)，求当重物重物(zhn w)的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等21/i转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。上升的距离为h时的速度v及加速度a。 解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：重

12、物平动；轴I、轴II绕定轴转动；第21页/共36页第二十二页，共36页。01kE22222112k22121vmJJE221,Rvi2222212k)(21RvmRJiJEhmMWg112Rihi/21RhmgRMiW)(12系统初始(ch sh)静止，动能重物升高h时系统(xtng)的动能力的功IIIg121k2kWEE第22页/共36页第二十三页，共36页。RhRmMiRvmRJiJ)g(0)(212222212221)g(2mRJiJRhRmMivRvmgRMiRvamRJiJ)()(222212221)(mRJiJRmgRMia带入质点系动能定理(dn nn dn l)对时间(shji

13、n)求导， IIIg第23页/共36页第二十四页，共36页。第六节第六节 综合综合(zngh)(zngh)问题问题eitF Fdd peiCmFaeiiCimFa一、动力学普遍一、动力学普遍(pbin)定理比较定理比较1、动量定理；质心运动(yndng)定理 矢量式；内力不出现；涉及到速度、时间和外力三种量；常用于求约束反力；动量、质心运动守恒用于求运动量。第24页/共36页第二十五页，共36页。zd()deziLMt F于求含单个绕定轴转动刚体(gngt)的物体系统的运动量，动量矩守恒2、对固定(gdng)轴的动量矩定理代数式；内力不出现；涉及(shj)到速度、时间和外力三种量；常用用于求运

14、动量。 刚体绕定轴转动微分方程用于求单个绕定轴转动刚体的动)(ezZMJF力学问题。第25页/共36页第二十六页，共36页。3、动能定理(dn nn dn l) iWEE1k2k涉及到速度(sd)、时间和路程三种量，标量式，内力作功一般不为零。常用于求速度(sd)量，通过求导求加速度(sd)量。二、综合应用题题型二、综合应用题题型1、用两个以上的定理求解一个问题2、综合运用静力学、运动学、动力学知识解题3、一题多解常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。第26页/共36页第二十七页，共36页。例例185 物块物块A质量为质量为

15、m1，沿楔状物，沿楔状物D的斜面下降的斜面下降(xijing)，同时借绕过，同时借绕过水平成 角，滑轮和绳的质量及一切摩擦均略去不计。求楔状物定滑轮C的绳使质量为m2的物体B上升(shngshng)，如图所示。斜面与D作用于地面凸出部分(b fen)E的水平压力。解：解：（一）用动能定理求加速度量1.取整个系统为研究对象， 作功的力为A、B的重力 2.运动分析 物块A、B作平动； iWEE1k2k212k1121()(sin)2vmmEgs mm第27页/共36页第二十八页，共36页。212k1121()(sin)2v mmEgs mm等式(dngsh)两边同时对时间求一阶导数 1212()(

16、sin)va mmgv mm1212(sin)g mmamm第28页/共36页第二十九页，共36页。（二）用质心运动(yndng)定理求力由质心运动(yndng)定理，iiimaF1cosxmFa12112(sin)cosxg mmFmmm将矢量(shling)式向x轴投影：解得： 第29页/共36页第三十页，共36页。OA解：解： 1 1、取杆为研究、取杆为研究(ynji)(ynji)对象；对象；2、作受力图(lt)；3、运动分析：杆OA绕定轴转动，FOxFOyyOAC xW4、选择解题所用定理。第30页/共36页第三十一页，共36页。OAC xyacnacsin20212lWJOlgsin

17、3cos23lg121k2kWEE1.用动能定理(dn nn dn l)求角速度2.用定轴转动微分方程(wi fn fn chn)求角加速度cos2OlJW第31页/共36页第三十二页，共36页。cosWFagWOxcsinWFagWOycn解得:cos25. 0WFoxsin5 .2WFoy（2）用质心运动(yndng)定理求力。WFOxOAC xyacnacFOycos432glacsin2322glacn第32页/共36页第三十三页，共36页。小小 结结 一、动能一、动能(dngnng)(dngnng)的计算的计算 1.质点(zhdin)的动能2k21mvE 2.质点系的动能(dngnng)2k21iivmE(1)平动刚体的动能2k21CmvE 2k21zJE (2)定轴转动刚体的动能(3)平面运动刚体的动能 222k212121PccJJmvE第33页/共36页第三十四页，共36页。二、常见二、常见(chn jin)力的功力的功1重力重力(zhngl)的功的功（2）质点系mghzzmgWCC)(21（1）质点(zhdin)mghzzmgW)(212弹性力的功弹性力的功)(2222112kW3定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功力偶的功力偶的功d