高数常微分方程-二阶常系数微分方程

1、1)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、常系数线性齐次方程一、常系数线性齐次方程2-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy3有两个不相等的实根

2、有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为02 qprr4有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为

3、02 qprr5有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为02 qprr6定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xe

4、xCCy 例例1 17.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2801)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(111011109注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都

5、对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 221110特征根为特征根为, 154321irrirrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 311)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,

6、cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()( . 1xPexfmx 二二 非齐次情形非齐次情形12设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 13是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(

7、, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy 14特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,15.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr

8、特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 116型型sin)(cos)()( xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 设设,)(1ximkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式217,)

9、()(xiexPqyypy 设设,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根 iik注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.18.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos

10、2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 219.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 320)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2

11、sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiAe 21.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程

12、通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 422三、小结可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.23思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 24思考题解答思考题解答设设 的特解为的

13、特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 25一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2

14、, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .练练 习习 题题26三、三、 含源含源在在CLR,串联电路中串联电路中, ,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充电充电容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,欧欧1000 R, ,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电电压压 . .四、四、 设设)(x 函数函数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .27练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4