第十二章弯曲变形学习教案

1、会计学1第十二章弯曲第十二章弯曲(wnq)变形变形第一页，共82页。如果钻床如果钻床(zun chung)的的变形过大，变形过大，受工件受工件(gngjin)的反力作的反力作用；用；摇臂钻床简化摇臂钻床简化(jinhu)为刚架，为刚架，不能准确定位。不能准确定位。案例案例2：第1页/共82页第二页，共82页。车间车间(chjin)桁吊大梁的变形桁吊大梁的变形第2页/共82页第三页，共82页。车间桁吊大梁车间桁吊大梁(dling)的过大变形的过大变形会使梁上小车行走会使梁上小车行走(xngzu)困难，造成爬坡困难，造成爬坡现象；现象；还会引起较严重还会引起较严重(ynzhng)的振的振动；动；案

2、例案例3：第3页/共82页第四页，共82页。桥梁如果桥梁如果(rgu)产生过大变形产生过大变形楼板楼板(lubn)、床、床、双杠双杠(shunggng)横梁横梁等都必须把它们的变形等都必须把它们的变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。屋顶屋顶案例案例4：第4页/共82页第五页，共82页。、工程有时利用弯曲变形、工程有时利用弯曲变形(bin xng)达到某达到某种要求。种要求。汽车板簧应有较大汽车板簧应有较大(jio d)的弯曲的弯曲变形变形,才能才能(cinng)更好的起到缓和减振的作用；更好的起到缓和减振的作用；案例案例1：第5页/共82页第六页，共82页。安装安装(nzhung)在工程

3、机械驾驶室上方的在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大要求其在碰撞的过程中有较大(jio d)的的变形变形吸收吸收(xshu)落物或碰撞能量，落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全保证驾驶员的人身安全案例案例2：第6页/共82页第七页，共82页。案例案例(n l)3：当今当今(dngjn)时代汽车工业飞速发时代汽车工业飞速发展，展，道路道路(dol)越来越拥挤，越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？第7页/共82页第八页，共82页。案例案例(n l)4：蹦床蹦床(bn chun)要有大变形要有大变形(b

4、in xng)，才能积蓄能量，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析稳定性分析以及振动分析等方面。以及振动分析等方面。除了除了解决构件的刚度解决构件的刚度外，外，第8页/共82页第九页，共82页。二、弯曲二、弯曲(wnq)变形的物变形的物理量理量扭转(nizhun)： F FF F拉伸拉伸(l (l shn)shn)弯曲变形的物理量如何？弯曲变形的物理量如何？第9页/共82页第十页，共82页。1 1、挠曲线、挠曲线(qxin)(qxin)x2 2、挠度、挠度(nod)(nod)

5、向上向上(xingshng)(xingshng)为正为正3 3、转角、转角逆时针为正逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量挠度挠度 弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量转角转角+第10页/共82页第十一页，共82页。12.2 挠曲线(qxin)的微分方程2 2、挠曲线、挠曲线(qxin)(qxin)方方程：程：yxx1、建立、建立(jinl)坐标系坐标系Xoy平面平面就是梁的纵向对称面；就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内面内的一

6、条平面曲线；的一条平面曲线；该曲线方程为该曲线方程为 ：第11页/共82页第十二页，共82页。3 3、挠度、转角物理、挠度、转角物理(wl)(wl)意意义义yxx：挠度：挠度(nod)(nod)的物的物理意义：理意义：挠曲线挠曲线(qxin)在该点处的纵在该点处的纵坐标；坐标；：转角的物理意义：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：转角的正方向：从从x x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。轴正向向切

7、线旋转，逆时针转动为正。第12页/共82页第十三页，共82页。4 4、挠曲线、挠曲线(qxin)(qxin)微分微分方程方程中性(zhngxng)层处曲率: yx)(xfy 对于曲线(qxin) y=f(x) 在任一点处曲率 （瑞士科学家（瑞士科学家Jacobi.Jacobi.贝努利得到）贝努利得到） 正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的平面弯曲的挠曲线挠曲线所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)：从数学上讲从数学上讲是一条普通的平面曲线，是一条普通的平面曲线，从力学上讲从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。第13页/共82页第十四页，共82页。瑞士科学家Ja

8、cbi.贝努利得到(d do)梁的挠曲线微分方程；挠曲线挠曲线(qxin)(qxin)微微分方程分方程EIxM)(1232)(1)( 1xyxy由于没有由于没有(mi yu)采用曲率的采用曲率的简化式，简化式，且弹性模量且弹性模量E无定量结果，无定量结果，挠曲线微分方程挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，非线性的，第14页/共82页第十五页，共82页。5 5、挠曲线、挠曲线(qxin)(qxin)近似微分近似微分方程方程在小变形(bin xng)的条件

9、下，挠曲线(qxin)是一条光滑平坦的曲线(qxin)，较小，转角转角故得挠曲线近似微分方程：故得挠曲线近似微分方程：zEIxMxx)()(1)(232 第15页/共82页第十六页，共82页。符号符号(fho)规定：规定：MM挠曲线(qxin)近似微分方程挠曲线挠曲线(qxin)为凹为凹曲线曲线(qxin)挠曲线为凸曲线y 弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xxMM线弹性、小变形线弹性、小变形;y轴向上，轴向上，x轴向右；轴向右；第16页/共82页第十七页，共82页。挠曲线的近似(jn s)微分方程积分积分(jfn)(jfn)一次：一次：转角(zhunjio)方程积分二次：积分二次：挠曲线方

10、程C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。12.3 用积分法求弯曲变形第17页/共82页第十八页，共82页。悬臂梁：悬臂梁：x梁的边界条件L第18页/共82页第十九页，共82页。简支梁：xL:0 x梁的边界条件00第19页/共82页第二十页，共82页。连续性条件(tiojin)：CPABaLx:0 x0:Lx 0边界条件边界条件光滑光滑(gung hu)连续性条件连续性条件连续性连续性光滑性光滑性第20页/共82页第二十一页，共82页。:ax连续性条件(tiojin)：ABLaCMx特别强调特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度在中间铰两侧转角不同，但挠度(

11、nod)却是唯一的。却是唯一的。连续连续(linx)不光滑不光滑第21页/共82页第二十二页，共82页。例例1 1：写出梁的边界条件：写出梁的边界条件(tiojin)(tiojin)、连续性条件、连续性条件(tiojin)(tiojin)：xkCPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx 边界条件边界条件光滑光滑(gung hu)连续性条件连续性条件:ax 第22页/共82页第二十三页，共82页。例例2 2：写出梁的边界条件：写出梁的边界条件(tiojin)(tiojin)、连续性条件、连续性条件(tiojin)(tiojin)：hEACPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx 边界

12、条件边界条件光滑光滑(gung hu)连连续性条件续性条件:ax 第23页/共82页第二十四页，共82页。（1 1）凡弯矩方程分段）凡弯矩方程分段(fn dun)(fn dun)处，应作为分段处，应作为分段(fn dun)(fn dun)点；点；（2 2）凡截面）凡截面(jimin)(jimin)有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM第24页/共82页第二十五页，共82页。（4）凡分段(fn dun)点处应列出连续条件；:ax0根据梁的变形的连续性，对

13、同一截面只可能有唯一确根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度定的挠度(nod)和转角；和转角；ABLaCM0 右右左左CC在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件边界条件连续性条件连续性条件第25页/共82页第二十六页，共82页。例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。xx取参考取参考(cnko)坐标系坐标系1、列写弯矩方程(fngchng)2、代入挠曲线(qxin)近似微分方程中 zEIxM)(积分一次：积分一次：积分二次：积分二次：转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程AqBL第26页/共82页第二十七页，共

14、82页。3、确定(qudng)常数C、D.边界条件：边界条件：:Lx0CqxEIEI361DCxqxEI4241AqBL0第27页/共82页第二十八页，共82页。AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI4、计算(j sun)A截面的挠度和转角A截面截面(jimin)处处第28页/共82页第二十九页，共82页。CFABaLx例例2 一简支梁受力如图一简支梁受力如图所示。试求所示。试求 和和 。1、求支座、求支座(zh zu)反力反力ByFAyF2、分段(fn dun)列出梁的弯矩方程b)(LxaBC段段)0 (axAC段段xx第29页/共82页第三十页，共8

15、2页。3、代入各自的挠曲线(qxin)近似微分方程中),()(2axFxLFbxM4、各自(gz)积分第30页/共82页第三十一页，共82页。5、确定积分(jfn)常数边界条件：边界条件：0 x连续连续(linx)条件：条件：FaLx11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI第31页/共82页第三十二页，共82页。)(LxaBC段段)0 (axAC段段7、求转角(zhunjio)0 xLx6、挠曲线(qxin)方程第32页/共82页第三十三页，共82页。8、求、求 。max0dxd由由求得求得 的位置值的位置值x。max第33页/共82页第三十四页，共82页。)(1

16、xy代入代入 得：得：2Lba若若 则：则：max第34页/共82页第三十五页，共82页。12.4 用叠加法求弯曲(wnq)变形 一、叠加原理(yunl)在小变形(bin xng)，是线性的； 材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下，的情况下，)()(xMxEI 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程弯矩)(xM与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，对应于几种不同的载荷，是线性的；是线性的；弯矩可以叠加，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置计算弯矩时，使用变形前的位置第35页/共82页第三十六页，共82页。qFMMxM)(设弯矩

17、 qF挠曲挠曲线线分别满足各自分别满足各自(gz)的近似微分方程的近似微分方程将两个将两个(lin )微分方微分方程叠加程叠加M分别分别(fnbi)计算出每一载荷单独引起的变形，计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形叠加原理。叠加原理。总的近似微分方程：总的近似微分方程：证明证明第36页/共82页第三十七页，共82页。 二、叠加原理的限制(xinzh)条件叠加原理叠加原理(yunl)仅适用于线性仅适用于线性函数，函数，要求挠度、转角是载荷要求挠度、转角是载荷(zi h)的线性函数。的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线

18、性关系、弯矩与载荷成线性关系;梁发生梁发生小变形小变形，忽略忽略各载荷引起梁的各载荷引起梁的水平位移水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律； (2)、曲率1与弯矩成线性关系与弯矩成线性关系; 1(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;第37页/共82页第三十八页，共82页。几种几种(j zhn)载荷共同作用下某截面的挠度和转角，载荷共同作用下某截面的挠度和转角，等于每种载荷单独作用下引起等于每种载荷单独作用下引起(ynq)的同一截面的同一截面挠度、转角的向量和。挠度、转角的向量和。第38页/共82页第三十九页，共82页。例1 ：q、l、 EI，求：yC ,B 载荷(zi

19、h)叠加法（查表法）第39页/共82页第四十页，共82页。C , B1、载荷、载荷(zi h)分分解解qlql2q第40页/共82页第四十一页，共82页。qlql2qB1C1B3B2C2C32查表：单独载荷查表：单独载荷(zi h)作用下作用下第41页/共82页第四十二页，共82页。3、变形、变形(bin xng)叠加叠加第42页/共82页第四十三页，共82页。例2 抗弯刚度(n d)EI为常量，用叠加法确定C和yC ?L/2L/2qCBA第43页/共82页第四十四页，共82页。qL/2L/2qCBAqq第44页/共82页第四十五页，共82页。qqC1C1B2C2B2C2EIlq8)2(422

20、lB第45页/共82页第四十六页，共82页。wEIql84EIlq8)2(422lB第46页/共82页第四十七页，共82页。 1将梁的挠曲线将梁的挠曲线(qxin)分成几段分成几段;2首先分别计算各段梁的变形首先分别计算各段梁的变形(bin xng)在需求位移处引在需求位移处引起的位移（挠度和转角）起的位移（挠度和转角）;3然后计算然后计算(j sun)其总和（代数和或矢量和），即得需求其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。除所研究的梁段发生变形外

21、，其余各段梁均视为刚体。第47页/共82页第四十八页，共82页。例例3 3 ：ABalFC1）考虑AB段变形引起的截面(jimin)的挠度(BC段看作段看作(kn zu)刚体刚体)外力向研究的段上简化外力向研究的段上简化ABalCFFaF F：作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。FaFa：使使ABAB梁产生变形。梁产生变形。第48页/共82页第四十九页，共82页。B1CABalCFFaFa引起梁的变形引起梁的变形(bin xng)形状为形状为段上凸；段上凸；第49页/共82页第五十页，共82页。2）考虑(kol)BC段变形引起C截面的挠度a2Cw21CCCABalFCAB段看作

22、段看作(kn zu)刚体刚体FBCC截面截面(jimin)的总的总挠度挠度第50页/共82页第五十一页，共82页。讨论讨论(to(toln)ln)第51页/共82页第五十二页，共82页。多余约束多余约束 凡是多余维持凡是多余维持(wich)平衡所必须的约束平衡所必须的约束多余反力多余反力 与多余约束与多余约束(yush)相应的支反力或支反力偶矩相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 支反力（力偶支反力（力偶(l u)）数有效平衡方程数）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数4-3=1 度度 静不定静不定5-3 = 2 度度 静不定静不定12.5 简单静不定梁简单静不定梁第52页

23、/共82页第五十三页，共82页。选选 Fby 为为多余多余(duy)力力变形变形(bin xng)协调条件协调条件物理物理(wl)方程方程补充方程补充方程平衡方程平衡方程一度静不定一度静不定例例综合考虑三方面综合考虑三方面求梁的支反力求梁的支反力第53页/共82页第五十四页，共82页。 判断(pndun)梁的静不定度 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静 定 梁 所 谓 相 当(xingdng)系统 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充(bchng)方程 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力相当系统相

24、当系统 通过相当系统计算内力、位移与应力等通过相当系统计算内力、位移与应力等 求解依据求解依据综合考虑三方面综合考虑三方面求解关键求解关键确定多余支反力确定多余支反力分析方法与步骤分析方法与步骤相当系统相当系统第54页/共82页第五十五页，共82页。例例 求支反力求支反力0 解：解：1. 问题问题(wnt)分析分析水平水平(shupng)反反力忽略不计，力忽略不计，2多多余未知力余未知力2. 解静不定解静不定(bdng)第55页/共82页第五十六页，共82页。弯曲(wnq)变形的刚度条件：许用挠度许用挠度(nod)， 许用转角许用转角工程中，工程中， 常用梁的计算常用梁的计算(j sun)(j

25、 sun)跨度跨度l l 的若干分之一表示。的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：12.6 梁的刚度校核梁的刚度校核第56页/共82页第五十七页，共82页。1、求自由端的(dund)挠度与转角PqL第57页/共82页第五十八页，共82页。P2P1qLL2、求自由端的挠度(nod)与转角第58页/共82页第五十九页，共82页。3、求简支梁中点的挠度(nod)qL/2C第59页/共82页第六十页，共82页。4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端

26、的(dund)挠度。PI1 L1I2 L2ABC第60页/共82页第六十一页，共82页。12.7 12.7 提高提高(t go)(t go)梁强度和刚度的梁强度和刚度的措施措施一、改善结构(jigu)、减少弯矩、合理安排支座、合理安排支座(zh zu)；、合理安排受力；、合理安排受力；、集中力分散；、集中力分散；、 一般与跨度有关，、增加约束：3l成正比，成正比，与与故可减小跨度；故可减小跨度；第61页/共82页第六十二页，共82页。尾顶针、跟刀架或尾顶针、跟刀架或加装中间加装中间(zhngjin)支架；支架；较长的传动轴采用较长的传动轴采用(ciyng)三支撑；三支撑；桥梁增加桥梁增加(zn

27、gji)桥墩。桥墩。增加约束：采用超静定结构采用超静定结构第62页/共82页第六十三页，共82页。采用采用(ciyng)(ciyng)超超静定结构静定结构第63页/共82页第六十四页，共82页。改变改变(gibin)支支座形式座形式FF第64页/共82页第六十五页，共82页。改变改变(gibin)(gibin)载荷类型载荷类型q=F/LF第65页/共82页第六十六页，共82页。二、选择(xunz)合理的截面形状A几乎几乎(jh)不变，大部分分布在远离中性轴处，不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢工字形、槽钢(co n)等；等；起重机大梁常采起重机大梁常采工字形或箱形截面工字形或箱形截面

28、；第66页/共82页第六十七页，共82页。起重机大梁起重机大梁(dling)常采工字形或箱形截常采工字形或箱形截面；面；第67页/共82页第六十八页，共82页。四、不宜(by)采用高强度钢;三、加强三、加强(jiqing)肋肋盒盖、集装箱；盒盖、集装箱；各种各种( zhn)钢材大致钢材大致相同。相同。第68页/共82页第六十九页，共82页。1、y=M(x)/EI在在 条件下成立？条件下成立？A：小变形；：小变形； B：材料服从虎克定律：材料服从虎克定律(dngl)；C：挠曲线在：挠曲线在XOY面内；面内； D：同时满足：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲、等直梁在弯曲(wnq)变形时，挠曲线

29、曲率在变形时，挠曲线曲率在最大最大 处一定最大。处一定最大。A：挠度：挠度 B：转角；：转角； C：弯矩；：弯矩；第69页/共82页第七十页，共82页。3、在简支梁中、在简支梁中 ，对于减少，对于减少(jinsho)弯曲变形效果最弯曲变形效果最明显。明显。A：减小集中力：减小集中力P；B：增加梁的跨度；：增加梁的跨度；C：采用优质钢；：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩：提高截面的惯性矩L /2P第70页/共82页第七十一页，共82页。4、板条弯成、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性圆，设梁始终处于线弹性(tnxng)范围范围内：内：=My/IZ,y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？哪一个会得到正确的计算结果？A：正确、正确；：正确、正确；B：正确、错误；：正确、错误；C：错误、正确；：错误、正确；D：错误、错误；：错误、错误；第71页/共82页第七十二页，共82页。5、使梁变形(bin xng)后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R第72页/共82页第七十三页，共82页。6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗、圆轴采