内容成果21导数概念

1、2.1 2.1 导数概念导数概念2.1.12.1.1导数的引入导数的引入 设一物体作变速直线运动，其运动方程为)(tSS ，其中是 t时间，是 S位移，求物体t 在时刻的瞬时速度。1 1. .变速直线运动的变速直线运动的瞬时速度瞬时速度（1）求物体在时间区间,ttt上所经过的路程 : )()(tSttSS，（2）求物体在时间区间,ttt上的平均速度: tSvttSttS)()(，（3）求物体在时刻t的速度: ttSttSvtvtt)()(limlim)(00。 设有L曲线：)(xfy，上在L取定P一点，另取一动Q点，作割线PQ。当动点Q沿曲线趋向于L定P点时，割线PQ的极限位置PT就称为曲线P

2、L在点处的切线。2.2.平面曲线的切线的斜率平面曲线的切线的斜率（1 1）切线的定义）切线的定义割线切线xy)(xfyLoPTQ（2 2）切线的斜率）切线的斜率 当PQ点点时，若割线PQ有极限位置PT， 这时0 x， 定点),(yxP，动点) ,(yyxxQ，则割线PQ的斜率为xxfxxfxytg)()(割线切线PTxyoxxxxyQ)(xfyxykxPQx0)(0limtanlimtan.)()(lim0 xxfxxfx 注意注意 若上述极限不存在，但为无穷大，此时割线PQ以垂直于轴 x的直线为极限位置，即曲线L在P点处具有垂直于轴 x的切线xx，这时也称曲线L在 P 点处的切线斜率为无穷大

3、。 2 2 .1.2.1.2 导数的定义导数的定义 以上两个问题虽然具体内容不同，但解决问题的数学思想方法数学思想方法、计算步骤计算步骤、表达这两个量的数学结构数学结构形式形式都一样，从数量关系上来讲都是研究函数的增量都是研究函数的增量与自变量的增量之比的极限问题与自变量的增量之比的极限问题，这时扬弃具体的内容和意义，把本质特征概括成数学问题，就可得导数的定义。1 1函数函数)(xf在点在点x的导数的导数定义定义 1 1 设)(xfy 在)(xN内有定义，)(xNxx， 如果极限 xyx0limxxfxxfx)()(lim0 存在，则称)(xf点在 x可导，并称此极限值为)(xf 点在 x的导

4、数，记作 )(xf ，或xxy， 或xxdxdy，即)(xf xyx0limxxfxxfx)()(lim0 xxxfxfxx)()(lim若极限不存在，则称函数xxf )( 在点处不可导。 注意注意：导数定义中极限变量的符号 , xx可以用任意别的字母符号来代替，例如：xtxftfhxfhxfxfxth)()(lim)()(lim)(0。定义定义 2 2 若极限xyx0lim存在，则称此极限为)( xf 在处点 x的左导数左导数，记为)(xf，即)(xfxyx0limxxfxxfx)()(lim0 xxxfxfxx)()(lim； 若极限xyx0lim存在，则称此极限为)( xf在处点 x的右

5、右导导数数，记为)(xf，即)(xfxyx0limxxfxxfx)()(lim0.)()(limxxxfxfxxAxfxfAxf)()()(2 2函数函数)(xf的导函数的导函数 如果函数)(xf在开区间) ,(ba内可导，且在点 a存在右导数，在点 b存在左导数，则称)(xf在闭区间 ,ba上可导。 如果函数)(xf在开区间) ,(ba内每一点都可导，则称)(xf在开区间) ,(ba内可导。xtxftfxxfxxfxfxtx)()(lim)()(lim)(0 显然导函数)(xf 的定义域是函数)(xf的定义域的子集。定义定义 3 3 若)(xf在I 区间(开或闭，有限或无限)上可导，则对Ix

6、，都唯一确定一个导数值)(xf ，因而)(xf 是定义在上的 I一个函数，称它为)(xf在上的 I导函数导函数。记为)(xf (y 或或dxdy)，即 导函数)(xf 与导数)(xf 的区别和联系区区别别：导函数)(xf 为一函数，)(xf 为一数值；联系联系：)(xf 就是导函数)(xf 在点xx的函数值。3.3.求导数举例求导数举例例 1求函数) ()(为常数CCxf的导数。解：0limlim)(00 xCCxyxfxx，即 0)(C .注意注意例 2求幂函数xxf)(, 0( x)R的导数。解：xxxxxyxfxx)(limlim)(00 xxxxxxxxxx00lim1)1 (lim.

7、1 x即 1)(xx)(R。 xxxx21)21()()(12121。例如：2211) 1()()1(xxxx；21)1(xxxx21)(例 3求xxfsin)(的导函数及它在0 x和2x处的导数。解：xxxxxyxfxxsin)sin(limlim)(00 xxxxx)2cos(2sin2lim0.cos)2cos(22lim0 xxxxxx即 .cos)(sinxx 1)0( f， 0)2( f。 类似可得 .sin)(cosxx例 4求函数) 1a , 0 ( logaxya的导数。解： xxxxxyyaaxxlog)(loglimlim00exxxxxxaxaxlog1lim)1 (l

8、og1lim00.ln1log1axexa即 axxaln1)(log ， xx1)(ln例 5求函数) 1a , 0 ( aayx的导数。解：xaaxyyxxxxx00limlimxaaxxx) 1(lim0.lnlnlim0aaxaxaxxx即 aaaxxln)( ，.)(xxee例 6设0 x, 0 0 x,1sin)(xxxfk，其中Nkk为常数且， 判定)(xf在点0 x处是否可导。解：xfxffx)0()0(lim)0(0 xxxkx1sin)(lim0, 1sin)(lim10 xxkx当1k时，)(xf在点0 x处不可导， 当1k时，)(xf在点0 x处可导，且0)0( f。例

9、 7设0 x,sin0 x,)(2axbexfx，问ba ,为何值时，)(xf 在0 x处可导？ 解：)(xf在0 x处可导)0()0(ff，0)0()(lim)0(0 xfxffxxbbexx)1 (lim20, 21lim20 xexx0)0()(lim)0( 0 xfxffx要使,)1 (sinlim0存在xbaxx. 1 , 010)1 (sinlim 0bbbaxx必须续上续上,sinlim)0(0axaxfx由 , 2)0( , )0()0(fff得, 2a2a，1b时，)(xf在0 x处可导。注：注：左右导数是研究函数在一点，特别是分段函左右导数是研究函数在一点，特别是分段函 数

10、在分段点可导与否的有效工具数在分段点可导与否的有效工具。例 8 （1）若xxf在)(处可导，证明： )()()(lim0 xfxxxfxfx； （2）求极限xxxfxxfx)()2(lim0。分析分析：由定义xxfxxfxfx)()(lim)(0， 本题可通过变形化为标准式而获证。hx令证明证明： （1）xxxfxfx)()(lim0 xxfxxfx)()(lim0).()()(lim0 xfhxfhxfh（2）xxxfxxfx)()2(lim0 xxxfxfxfxxfx)()()()2(lim0 xxfxxfx2)()2(lim20 xxxfxfx)()(lim0).(3)()(2xfxfx

11、f例 9已知函数)(xf在) ,(有定义，在0 x处 可导，且kf)0(，又对任意) ,( ,21xx有 ) x()() (2121fxfxxf，证明)(xf在) ,(内 可导，且)()(xkfxf。 （教材 P46 第 9 题）分分析析：要证明)()(xkfxf，即要证明)0()()(fxfxf，而xfxffx)0()0(lim)0(0，故先要求)0(f。xxfxfxfxxfxxfxfxx)()()(lim)()(lim)(00 xfxfxfxxfxfxx)0()()(lim 1)()(lim00故证明证明：)0()()0()(fxfxfxf，1)0(f。).()0()()0()0(lim)

12、(0 xkffxfxfxfxfx4 4导数的物理意义导数的物理意义（1）设物体作变速直线运动，其位移方程为)(tSS ， 则路程)(tS对时间的导数 t就是速度速度，即 )()(tvtS。（2）设非恒定电流从 0t到这段时间通过导线横截面 的电量为)(tqq，则电量)(tq对时间的导数 t就是 电流强度电流强度，即 )( )(titq。（3）设物体绕一轴作旋转时的角度为)(t，则角度 )(t对时间的导数 t就是角速度角速度，即 )()(tt。2 2.1.2.1.2 导数的几何意义导数的几何意义1导导数数的的几几何何意意义义 曲线)(xfy在点) ,(yxP处的切线的斜率就是函数)(xf在点x处

13、的导数)(xf ，即tgxf)(，其中是切线的倾斜角。2 2曲线曲线)(xfy在点在点) ,(yxP处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程（1）切线方程切线方程：)(xxxfyy；（2）法线方程法线方程：)()(1xxxfyy（若0)(xf） ；（3）若)(xf，则切线方程为xx.例 10.求曲线xy sin在点)22 ,4(处的切线方程和法线方程。 解： , cosxy , 224xy切线的斜率为221k,法线斜率为22k, 切线方程切线方程为)4(2222xy，即04244yx； 法线方程法线方程为)4(222xy，即02224yx。例 11讨论下列函数在点0 x处的连续性和可导性

14、及相应的曲线在点)0 , 0(处切线的存在性。（1）32xy； 0)(limlim3200 xyxx，函数在点0 x连续。但3032001lim)(limlimxxxxyxxx，函数32xy在点0 x点不可导。xyo32xy曲线32xy在点)0 , 0(处有垂直于轴 x的切线：0 x。（2）xy.解： 0 0 xxy，0limlim00 xyxx，函数在点0 x连续。1limlimlim000 xxxxxyxxx，1limlimlim000 xxxxxyxxx，0 xlimxy不存在，即函数在点0 x不可导。 从几何上看，当Q动点沿曲线的右半支趋于原点)0 , 0(时，割线的极限位置是射线xy

15、，当Q动点沿曲线的左半支趋于原点)0 , 0(时，割线的极限位置是射线xy，于是在)0 , 0(处割线没有确定的极限位置，故曲线在原点不存在切线。xyoxyxy 定定理理：如果函数xxf )(在点可导，则函数xxf )(在点 处连续。2.1.4 2.1.4 连续与可导的关系连续与可导的关系证明证明：xxfy )(在点可导， )(lim0 xfxyx存在，)(limlim00 xxyyxx, 00)(limlim00 xfxxyxxxxf )(在点处连续。可导可导连续连续注意注意 : :连续是可导的必要条件但不是充分条件。连续是可导的必要条件但不是充分条件。解：可导必连续，).2()02()02(fff,lim)02(22eefxx, 2)(lim)02(2babaxfx.22eba由)(xf在点2x处可导，得)2()2(ff，在点2x处可导。例 12确定常数ba ,，使函数2 ,2 , )(xbaxxexfx)(xf在点2x处连续，有2ea ，从而2eb 。22