新课标人教A版选修2-1辅导资料—直线和椭圆的位置关系(含答案)

1、新课标人教A版选修2-1辅导资料一直线和椭圆的位置关系(含答案)直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1 .直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 判定方法一一代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方 程解的情况： >0,方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； =0,方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； < 0,方程无解，则直线与椭圆相离. .直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线y=kx+b交椭圆于Pi（x,y“，P2（X2,y2）,则 PP2I = J(x1 X2 2 +(y1 y2 2 = Ji +k2 1 -X2I = Ji + k2 J

2、(x1 +x2 j4x1x2或 P1P2 = y1 - y2k|1 十一2(k # 0).2b2a说明：过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短CD k3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。2 2 2y b + + 2 - 2 2 2-2 为一 ax2- a可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其中的解题方法就是常说的“设而不求，整体代入”-1用两式相减，即可将问题转化为斜率与中点关系来解决（点差法） 。二14.研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，

3、用一元二次方程的判别式，根 与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解 决间题.三、基础自测2x1.椭圆42+匕=1的右焦点到直线 3y = <3x的距离是城口曲园古胤恿生林为门内)，时支统汽区的能离A. - B. 3C. 1 D. . 322222 .直线y=kxk+ 1与椭圆2+=1的位置关系是(A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定直线方程可化为岭-1),恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，故选A一2X 23 .直线x - y - m =0与椭圆 + y =1只有一个公共点，则m =9m3±24 .已知斜率为1的

4、直线过椭圆 +y2 =1的右焦点交椭圆与4A、B两点，则弦AB的长为四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题221.已知椭圆4x +y =1及直线y=x+m. 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围; 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程.由 I 浦去山番理得 5VIF), 420-16，,产上十加门岫 GG,珅20 !(5心口，解符一专4n专,由, 骞装表;/)匚34-r二嬴33互m口当如=0叶J取号及大擅为理迎，此时岂比的方狂为7HH22x y2、已知直线l: y= 2x+m,椭圆C： +=1 ,试问：当 m取何值时，直线l与椭圆C,42(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公

5、共点；(3)没有公共点?解:y= 2x+ m, 由x2 y21一+工=1,42'得 9x2 + 8mx+ 2m2 4= 0.其 A= (8m)24 X 9X (2m24) = 8m2+ 144.(1)由A>0,得一342<m<342,此时直线与椭圆 C有两个不同的公共点;(2)由A= 0,得m=筌42,此时直线与椭圆 C有且只有一个公共点；由k0,得m< 3/或m>3>/2,此时直线与椭圆 C没有公共点.综上所述，当3/2<m<3y2时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点；当 m=匕V2时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；当m<

6、342或m>342时，直线l与椭圆C没有公共点.5 / 12题型二：弦长问题3. (2011天津)已知椭圆 与+与=1 (a)b A0)的离心率e=-.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的a b2面积为4.(I)求椭圆的方程；(n)设直线l与椭圆相交于不同的两点 A,B .已知点A的坐标为(-a,0).若AB解方程组=£ =更得3d再由得". m-xlax2t = 4,则选=2,a 22"上、得/工所以椭圆的方程匚十=1.孙=2.4(H)由5)得4-2,0 I设点B的坐标为，%.由题意直线工的斜率存在，设直线工的斜率为上 则敢上的方程为尸以+ 2 % ry =上，

7、工+ 2、于是A 3两点的坐标满足方程组工一+ y =1, I 411+4/i/+16/x+i 18/-4 i = 0 1因为jc =由方程组梢去了并整理得-2是方程的一个根，则由韦达定理有161-4 gr-pI 2Sir3 J.-3-刍=下诃,所以* = w 从而vWSur.阿卜1+ 41 ,府卜平,得4庠寺整理得32止4_9d一 23 = 0, 廿-1“ 3如M3 1 = 0,所以上一土L所以直线f的倾斜角为三或2 x 4、已知椭圆F+ ab2-= 1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=W，直线l交椭圆于M，N两点.(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长.

8、(2)如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,解：(1)由已知得b = 4,且c=N5,即c2=!a 5 a 5求直线l方程的一般式.a2b=1,解得 a2=20.a 522，椭圆方程为 2+1= 1. 则4x2+5y2=80与y= x- 4联立.消去 y,彳导 9x240x= 0, . Xi = 0, X2 = T. .所求弦长 |MN|= V 9a(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(xo, y°),由三角形重心的性质知= (2, -4) =2(X0-2, y°).故得 xo = 3, y0=2,即得 Q 的坐标为(3, 2).2222X1V1.

9、X2 V2.设 M(Xi, y), N(X2, y2),则 xi + X2=6, y + y2=4,且20 + 抬=1，20 + 16=1.2.又 B(0,4),以上两式相减'得 n)+'尸)=0.,kMN=g=vy4X 一 A5 -4 5-故直线MN的方程为y+2=6(x3),即6x 5y28=0.5x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题 (2)的求解中，常因忽略直线 l与x轴重合的特殊形式而失分.5、已知椭圆的

10、中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于 P和Q,且OPLOQ, |PQ|=q0 ,求椭圆方程2【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx2+ny2=l(m>0, n>0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx2+ny2=i(m>0, n>0),设P(xi, yi), Q(x2,玲,'y = x +1由22 中消去y并依x聚项整理得:1mx + ny =1(m+n) - x2+2nx+(n-1)=0 , A =4n2-4(m+n) (n-1)>0 ,即m+n-

11、mn>0, OPOQ 等价于 x1x2+y1y2=0,将 y1=xI+1, y2=x2+1 代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0 ,2(n F -2 1=0= m n =2 m n m n又1PQ|= ,(x1一xz)2(% -y2)2= .(x1一xz)2(x11)-d 1)2=.2(x1 -x2)2 = 2 (x x?)2 -4x1x2gJGl)2_4&1V <m +n Jm + n J 2 联立并解之得:1m =一23 n =23m =一或21n =L 2经检验这两组解都满足A >0 ,故所求椭圆方程为 x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后归纳】中心

12、在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx2+ny2=1 (m>0, n>0), m与n的大小关系，决定了焦点位置题型三：中点弦问题22. 1x V6. (2014江西)过点M (1,1)作斜率为一的直线与椭圆C： -2+上7=1(aAbA0)相交于A,B,若M是2a b新课标人教A版选修2-1辅导资料一直线和椭圆的位置关系（含答案）线段AB的中点，则椭圆 C的离心率为解：.1-1。 if（一一丐）（二十10 （七一内）（+4）27. （2013新课标）已知椭圆 E：+2a b22=1（ab 0）的右焦点为F （3,0）,过点F的直线交椭圆于 A, B9 / 12两点.若A

13、B的中点坐标为（1,1），则E的方程为22A. 45 3622x y ,B. =136 2722x y ,工=127 1822x y , =1 189解：设 A(xi,y。B(X2,y2),贝U Xi +x2=2,y1 + y2 = - 2,，-、2X1 -X222逛_12, 2 一1a bb2(x1 +X2) _b2J,T 一'2，乂a (y1 ¥2) aD 一得,0 1 1kAB = ；=二，3 -1 2(Xi X2)(Xi -%) (yiy2)(yi - 回b22a122一,又 9= c = a2b2.22b ,解得b =9,222 一一、一x y .一、a =18,，

14、椭圆万程为 一+匚=1,故选D.1898.在椭圆X2+4y2=16中，求过点M（2,1）且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.法一;设注沔属点的，加）尸式符,北人则毋:心厂4 货+加=2jrf 4"4-16 弱16 第一舟（的十画”心一即+4乃十p- X） 再折吠八上丸舟联曰上*断贺一义 ）二3V .TI滔招,二* E T .所燃所家立战林为工+47 f * I 34-0由,J,：仔丁一0口小1丁+4必=16飙益1 = /'+4乂 恒""=?国方法二：当直统骅卑不再在舒.河不可能为苏中点,所以 可设或理才粗为了=出一2） + 1,代入概方程海会、 得口冬4

15、工、金-（16 -觇丘+-l&i-12=0LJL熊卜4好洪人占-1次此小+我+3口*由 j| -!-我1眼一部故所求点线方寂为工一方一4=也9 .已知椭圆1X2y2=1和椭圆外一点（0,2 ），过这点任意引直线与椭圆交于A,B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程.设.4（修,立）出（方,加）.弦从日的中点P的坐标为（工，济，'A、8两点都在桶圃上，；,十£+/ = 1,£3+y=1,两式相减，将 ；（原+型）（工1抬）+ 6+黄）（贽-*）=0.，上（工1 jcz ） -rSjrCyt 一小） =0,又£加=口，曰=2, 一 X10 .椭圆+a2 y

16、b2414=1(a,b A0)的两个焦点F1、F2,点 P在椭圆C 上，且PF1_LF1F2,PF1=,PF2= 一33（I ）求椭圆C的方程;（H）若直线l过圆X2 +y2 +4x -2y =0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线i的方程。解：（I）因为点P在椭圆C上，所以2a = PF1+PF2 =6, a=3.在RkPFF2中，怛怎| =历二匹广=2.j5故椭圆的半焦距c=J5,22从而b2=a2- c2=4,所以椭圆C的方程为 二十匕=1.94（II）法一：设A, B的坐标分别为（X1,y1）、（X2,y2）.由圆的方程为（x+2） 2+（y-1）2=5,圆心M （

17、 2, 1） 从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2） x2+（36k2+18k）x+36k2+36k- 27=0.一 2 一一，、，, ,_X1 x218k 9k 八8因为 A, B 关于点 M 对称.所以 =-2 = 2.解得 k =,24 9k29所以直线l的方程为y=8（x+2）+1, 9即8x-9y+25=0.（经检验，符合题意）法二：已知圆的方程为（x+2） 2+（y1）2=5,所以圆心M的坐标为（2, 1） 设A, B的坐标分别为（X1,y1），（X2,y2）.由题意X1rX2目22工+匕=194，22生+” = 1,94由得便-国+2+以-丫

18、?）7?：。.区因为A、B关于点M对称，所以Xi+ x2=- 4, yi+y2=2,代入得12Xi -X2所以直线l的方程为y-1= 8 （x+2）,即8x9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）9x2 y2 （,-、2 二11. （15年新课标2又科）已知椭圆 C :+2r=1（a>b>0）的离心率为，点（2,J2 ）在C上.a b2（I）求C的方程;（II）直线l不经过原点 O,且不平行于坐标轴，1与C有两个交点 A,B,线段AB中点为M,证明：直线 OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.试题分析：写I4:*,求得由此可得C的方程.把直线方程与桶圆方程联立得（Ik +

19、lk + 4MH+25* - 8 =。1所以工讨-2kb27?+1b7F+1试题解析;解： 由题意有电土二正.之+2=1.解得人=&/=4.所以懒圆r的方程为工+匕=1一 a 2优旷8* 4*（H）设直线1:p = kr+6（AH。1二0）-4（苞* ）4”）,Af （如：加）肥丁 =履+方代入% +匕=1 8* 4*得 flit3 + 1） V +4血+ 2d: -8 = 0,if故X =主*=二n=卬+b=-4.于是直线的斜率无,了二出=上一即W 2 盆一+1 "丛 2 上+1»% 1k& -兀=：所以直线CZM的斜率与直线;的斜率乘积为定值2法二：点差

20、法22x y17.（15年安徽理科）设椭圆E的万程为=+22=1（a Ab A0 ）,点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0）, a b10点B的坐标为（0,b ）,点M在线段AB上，满足BM =2 MA ,直线OM的斜率为（I）求E的离心率e;（II ）设点C的坐标为（0, b ）, N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为:，求E 的方程.解:由题设东性知点廿的也何为卜八乂小哈从榭春嗡，a y.（】1）由题设条件和（1）的计律结果可得,直纽AS的川丽口十二L点外的坐标为事*却* h22I煨二设点、关于直线的的对称点的坐标为M 1*则樱段部的中点r的*%为小A+ JK 7y*i,

21、 、,+ i =.l n-$5h&。弋.又点丁在在纨仙上，且人.从而7 就汨Gh3.H / JF1 V所以T添曲桶MIE的方程为募新课标人教A版选修2-1辅导资料一直线和椭圆的位置关系(含答案)11 / 122218、已知椭圆C:+匕=1,试确定 m的取值范围，使得对于直线l: y=4x + m,椭圆C上有不同的43两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB_Ll ; (2)弦AB的中点M在l上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(x1 , y1), B(x2 , y2)两点关于直线l对称，

22、直线AB与l 交于M (xo, yo)点.1l的斜率kl =4, .设直线 AB的方程为y = x + n 4y = - x + n,由方程组J y 4,消去y得22=1L 43228nx1 x24n112n13x -8nx +16n -48 =0。，x1 +x2 =.于是 x0 =,y0 = x0 +n =,132134134n 12n4n13即点M的坐标为(,).丁点M在直线y =4x + m上，n =4父”+ m .解得n = - m .13 13134将式代入式得13x2+26mx+169m248 = 0. A, B 是椭圆上的两点， 4 = (26m)24>d3(169m2 4

23、8) >0 .解得生儿 <m<23. 1313法3)设A(x1，yj , B(x2 , y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线 AB与l的交点M的坐标为(x° , y°).2222.A, B在椭圆上，±+里=1, +且=1. 4343两式相减得 3(x1 +x2)(x1 x2) +4(y1 + y2)( y1 y2) = 0 ,即 3 2x0(x1 -x2) +4 2y0(y1 _y2)=0 . /. -y1-y2 = _x0 (% # x2) .x一x24y。3xn一又直线 AB-L l ,kAB kl = -1，辿 4 = 1 ,即 y0 =3

24、x0 。4y°又M点在直线l上，y0 =4x0+m。由，得 M点的坐标为(-m , -3m).()2 (-3 )22 132 13.A, B为椭圆上的两点， M点在椭圆的内部，(-+( 3m) <1 .解得一3<m<3 .431313说明：涉及椭圆上两点 A, B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不 等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方 程的判别式A。，建立参数方程.22(2)利用弦AB的中点M (x0, y0)在椭圆内部，满足 凶-十里 <1 ,将x0, y0利用

25、参数表示，建立参数不 a b等式.新课标人教A版选修2-1辅导资料一直线和椭圆的位置关系（含答案）13 / 12四、能力提升2x1.直线y = kx +1与椭圆一52+ 2_=1总有公共点，则 m的取值范围是 m(A) m>l(B) m > 1 或 0V mv l(C) 0vmv5或 mwl）国n ；直跳产此r+1慢过必口点弄5和，射而魂. 若?<m,则虚有云*& 二M fj?Z5.（D） m > 1 且 m w 52.若椭圆362.L9=1的弦被点（4,2）平分，则此弦所在直线的斜率为（(A)2(B)-21(C)3(D)3.已知椭圆=1 ，2(A) -34(B)34.若直线+ t与椭圆(A) 24 5(B)55.过椭圆左焦点则椭圆的离心率为2x 26.椭圆yy2距离的最小值是台法二I让拄所在直民才也为¥ 2=内汇找人小看=1/。仇丸工十号=%乃+出1弧 fl I l£f>z2 + 4l6t-32JtIJr-CUr &-1t-20-0.F是其右焦点，过F作椭圆的弦AB ,设 AF11.BF = n ,则一+的值彳m 山A 11 #4现妹.*）柞ABL轴,珈胴=产余刊±+：一字才法二皿F产用，设4工口.心B（加*啊|4F|-承1打|一埼2-当卜 1+-2.