自动控制试题九非线性

1、第九章 非线性控制系统一、填空选择题（每题2分）1非线性系统的稳定性与下列（ D ）因素有关。A 系统结构和参数 B初始条件C输入信号大小DA、B、C、2非线性系统自持振荡是与-有关。A系统结构和参数 B初始条件C输入信号大小DA、B、C、3非线性系统自持振荡中的振幅和频率是由- 系统本身的特性-决定的，4相平面法适用于-一、二-阶非线性系统，描述函数法适用于任意-阶非线性系统。5系统中有二个非线性元件串联，其描述函数分别为N1、N2，则合成的描述函数必是（ D ） AN1/N2 BN1*N2 CN1+N2 D需重新分析计算6系统的-1/N和G（jw）如图，在A和B处产生了自持振荡，分析其稳定

2、性，A点是-不稳定-的，B点是-稳定-的7非线性系统的相轨迹在相平面的上半部，其走向是从左-向右-方向运动，而在相平面的下半部则从右-向-左-运动。8相轨迹的对称性是指其曲线可能对称于-，-，或-坐标原点-；正交性是指与-x-轴正交。9已知非线性系统的微分方程是：，则奇点位置是-。10已知非线性系统的微分方程是：，则奇点性质是-。11极限环把相平面分为内外二部分，相轨迹-不能-（填能或不能）从环内穿越极限环进入环外，-不能-（填能或不能）从环外穿越极限环进入环内。12已知非线性系统的微分方程是：，则奇点性质是（ A ）。A、稳定节点 B、稳定焦点 C、鞍点 D、中心点1 D2 A3 系统本身的

3、特性4 一、二，任意5 D6 不稳定，稳定7 左，右，右，左8 X， 坐标原点，x9 坐标原点10稳定节点11不能12A二、综合计算题a1.（12分）二阶阻尼系统： ，试用等倾斜线法绘制系统相轨迹。解：由 得到等倾斜线方程： 。如 ，则 。 3在相平面上作出这些等倾线，并在这些等倾线上作出对应相轨迹的斜率 的短线段，光滑连接短线段即得到相轨迹。 9a2.（12分）已知， ， ，试用 法作出其相轨迹。解：取 ，则 在初始点， ： ， ，作圆弧 。 3然后确定相轨迹上的点A2，以该点坐标为新起点，计算新的圆弧A2A3的圆心和半径：A2（0.98,-0,2）： ， ，依此可作出相轨迹。有时为提高作图

4、精度， 的中间位置作为新起点，然后按本法画出相轨迹。 9b1.（12分）非线性系统： ，求系统奇点，作相轨迹图并分析系统运动的性质解：（1）求奇点。由：求得相轨迹的奇点分别为：（0，0）和（2，0）。 2（2）在奇点（0，0）处泰勒级数展开： 。二个根为-0.25+j1039,-0.25-j1.39,故此奇点为稳定焦点。 2 （3）分析在奇点 处泰勒级数展开，令 ，由 ， ，二个根为1.19,-1.69,因此 奇点为鞍点。 2 当初始条件为（2.2,0.5）时，系统的相轨迹如图。 4初始条件不同，相轨迹或趋于原点，或趋于无穷远，系统分别为稳定或不稳定，即系统的稳定性与其初始条件有关。 2b2.

5、（12分有一非线性控制系统如图所示，令 。讨论下面情况下的 相轨迹：当输入信号为阶跃信号 ，系统的初始状态为零；解：首先根据控制系统框图，设法得到各分区的线性方程。由得到： 将 代入方程，有： 2式中 、 为饱和非线性的输出。根据饱和非线性的输入输出特性，可将相平面分为：正饱和、负饱和以及线性区域，如图1。 2 图1当输入信号 时， ，则各区域上的线性方程： 3当输入信号为阶跃信号 ，系统的初始状态为零；在正、负饱和区域根轨迹是 相线根轨迹，而在线性区，由于参数均大于0，奇点可能是稳定焦点或稳定节点，位于相平面的原点，系统的初始状态 ，因此可粗略画出其相轨迹如图2。5图2输入为阶跃信

6、号的相轨迹b3.(12分) 具有饱和非线性的控制系统如图所示，已知饱和非线性特性的描述函数为试求。(1) K=15时系统的自由运动状态。若有自持振荡产生，求其频率和振幅（其中振幅只要求列出表达式即可）。(2) 欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，K的临界稳定值是多少。题1非线性系统的结构图解：饱和非线性特性的描述函数已知，其中k=2，s=1，于是起点X=1时，-1/N(x)=-0.5。当X¥时，-1/N(X)= -¥，因此-1/N(X)曲线位于-0.5 -¥这段负实轴上。 题1系统的G(jw)和-1/N(X)曲线系统线性部分的频率特性为： 2令ImG(jw)=0即1

7、-0.02w2=0，得G(jw)曲线与负实轴交点的频率为： 2代ReG(jw)，可求得G(jw)曲线与负实轴的交点为： 2(1) 将K=15代入上式，得ReG(jw)= -1。图中绘出了K=15时的G(jw)曲线与-1/N(A)曲线，两曲线交于（-1，j0）点。显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即： 求得与交点对应的振幅X=2.5。因此当K=15时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和频率为X=2.5，w=7.07rad/s。 3（2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于G(s)极点均在左半s平面，故根据奈氏判据知，应使G(jw)曲线不包围-1/N(A)曲线，即故

8、K的临界稳定值为： 3b4.（12） 非线性系统如图所示。1、把系统的结构图变换成典型结构，即单位反馈形式。2、试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。已知非线性特性是滞环继电特性：M=1，h=0.2,题2非线性系统的结构图 解：由图可知，系统的结构图不是描述函数应用时的典型结构，因此首先变换成典型结构。由于在用描述函数分析稳定性和自振荡时，不考虑r(t)的作用，故设r(t)=0。再根据结构图中信号间的相互关系，故图变换成下图a,b的典型结构。 3（a） （b）题2解结构图变换由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M=1，h=0.2,故画出-1/N(X)曲线与G(jw)曲

9、线如图所示，-1/N(A)曲线是一条虚部为-jph/4M=-j0.157的直线。 2 题2系统的G(jw)和-1/N(X)曲线显然两曲线的交点处决定了一个稳定的自振荡。令，试探法解下列方程：0.0157w(1+w2)=1得 w 4（rad/s） 2 将w=4代入ReG(jw)： 2令 ReG(jw) = Re-1/N(A)-0.588 = -得 X=0.775故自振荡的振幅X=0.775，频率w =4rad/s。 3b5（12分）一非线性系统中含滞环非线性，其线性环节的频率特性如图。试分析此非线性系统的运动规律。题3图线性部分极坐标 题3 图线性与非线性相交解：（1）写出此非线性特性的描述函数

10、为：对应的负倒描述函数为：写成实部和虚部形式： 3随着A从1的增大，负倒描述函数的实部 的值从0变化到负无穷，其虚部 为 不变。因此可将 画在 平面上，如上图.（2）分析交点处振荡的性质。从图中可看出， 与 共有三个交点 和 。设它们对应的频率： 、 和 ，且 ，对应的幅值分别为： 、 和 ，且 。根据对自持振荡的讨论及其负倒描述函数的走向，可知 、 是稳定的自持振荡， 是不稳定的振荡。当初始幅值 时，产生频率为 、幅值为 的自持振荡；当初始幅值 时，产生频率为 、幅值为 的自持振荡。比较 、 处的自持振荡发现， 处振幅大，频率低； 处振幅小，频率高。 9c.(14分) 已知非线性系统如图所示

11、，图中非线性环节的描述函数为 试求：(1) 该非线性系统稳定、不稳定以及产生自持振荡时，线性部分的K值范围。 (2) 判断自持振荡的稳定性，并计算稳定自持振荡的频率和振幅解：（1）此非线性环节描述函数的负倒特性为：起点X=0时，-1/N(x)= -1/3。当X¥时，-1/N(X)= -1，因此-1/N(X)曲线位于-1/3 -1这段负实轴上。 系统线性部分的频率特性为： 2令ImG(jw)=0即1-w2=0，得G(jw)曲线与负实轴交点的频率为： 2代ReG(jw)，可求得G(jw)曲线与负实轴的交点为： 2（a）当-k/2<-1,即k>2时，G(jw)包围-1/N(x)

12、，非线性系统不稳定；（b）当-1-k/2-1/3， 即 2/3k2时，G(jw)与-1/N(x)相交，非线性系统会产生周期运动（自持振荡）；（c）当-k/2>-1/3 ，即k<2/3 时，G(jw)不包围-1/N(x)，非线性系统稳定； 4（2）当2/3k2时，G(jw)与-1/N(x)相交，非线性系统会产生周期运动（自持振荡），且曲线由不稳定区域进入稳定区域，所以其振荡是稳定的。 此时，根据交点处的幅值相等，即： 所以自持振荡的频率是，振幅 4c1. （16分）一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如图，试用描述函数法确定当K=时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产生自持振荡时

13、的临界增益K。解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。当|e|<1，e1=0,u =0当e>1,e1=2,u =k(e1-1)=1当e<-1,e1=-2,u =k(e1-(-1)= -1因此等效的非线性环节特性如图，是一带死区的继电器，对应的负倒描述函数：将负倒描述函数 和线性部分的频率特性绘制在极坐标平面上，如图，存在交点 A1和 A2，容易分析A2点的自持振荡是稳定的，A1点的则不稳定。 6下面计算交点处的频率和幅值。线性部分的频率特性：显然当=1时，与负实轴相交于-K。当时，在交点处，计算得： 即在 A2处的稳定振荡幅值为，频率为1，而在 A1点幅值为的振荡实际上是

14、不存在的。 6'下面研究产生自持振荡的临界增益。在时，令得到：，根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K： 4c2. （12分） 典型阶线性系统如图所示，试用相平法求系统的阶跃响应和斜坡响应。典型二阶系统的结构图解 由于是用相平法求r(t)作用下的系统的响应，故相平面取为e平面，由结构图可写出系统的微分方程为：因e=r-c，有 21阶跃响应此时r(t)=R×1(t)，则当t>0时，有r(t)=R ，。代入上式，得阶跃输入下系统的误差方程： 2由此绘制相轨迹曲线，奇点为（0，0）。设系统的初始状态为c(0)=0，(0)=0，则误差的初始条件为e(0)=R，(0)=

15、0。若参数T、K使系统具有一对负实部的共轭复数极点（欠阻尼），则其相轨迹如下图 (a)所示。若具有两个负实数极点（过阻尼），则其相轨迹如下图 (b)，分析相平面图即可了解系统响应的性质。例如稳态误差为零，当R=1时，超调量如图所示等。3（a）欠阻尼 （b）过阻尼图 阶跃输入时的相平面图2斜坡响应设输入信号为r(t)=vt，t >0时， ，代入系统的误差方程，得斜坡输入下的误差方程为它可以写成作变量置换e¢=e-v/K则误差e¢的方程为 3与阶跃输入的误差方程相同。所以，只须把阶跃输入时的相平面图右移v/K即可得出。由此可知此时相轨迹的奇点为（v/K，0）。下图 (a)

16、、(b)分别对于欠阻尼和过阻尼情况，给出了系统在初始状态c(0)=0，(0)=0下斜坡响应的相平面图。由于(0)=(0) -(0)=v，故相轨迹的起点为（0，v）。显然由相平面图可知系统稳态误差是v/K。 2（a）欠阻尼 （b）过阻尼图 斜坡输入时的相平面图 应当特别指出，由于在非线性系统中，其非线性特性往往可以分段加以线性化，而在每一个分段中，系统都可以用线性微分方程描述，因此线性系统在相平面分析是非线性系统相平面分析的基础。（a） 结构图 （b） 非线性特性题6图 继电控制系统c3. （12分） 继电控制系统如下图所示，试利用相平面法分析系统的单位阶跃响应。解 由结构图知，系统的微分方程为

17、：因为，所以上式又可写成 2根据已知的非线性特性，当>0时，有： 1当时，有： 1因为 r(t)=1(t)，当t>0时，有 1对于>0，e>e1 和<0，e>e0 时，其相平面图渐近线为。 1 对于>0，e<-e0 和<0，e<-e1 时，该区相轨迹渐近线为。 1对于>0，e1>e>-e0和<0，e0>e>-e1时，则有或： 1在相平面上，则相应为斜率为-1/T 的平行的直线。将以上各区域的相平面图拼接后，可得系统的以为坐标轴的总的相平面图。 令T=1、K=4、e0=0.1、e1=0.2和M=0.2

18、，则该继电控制系统在单位阶跃输入下的相轨迹曲线如下图所示。由于假定系统在开始时处于静止状态，所以相轨迹的起点为e(0)=1，(0)=0。 3图 系统的相轨迹曲线由图可见，在稳态时，存在一个极限环。因此系统的输出将持续振荡。自振荡的振荡与e0和e1值有关，e1和（e1- e0）越大（即死区越大、滞环越宽），振幅也越大。此外，K、T和M的增大，也将使系统的振荡加剧，因为交界线的换接点p1、p2、p3 ¼与横轴的距离也增大了。 1c4. （12分） 采用非线性校正的控制系统如图所示，试利用相平面法分析，在原来的线性系统的基础上，采用非线性校正，可以显著改善系统的动态响应品质。（a） 非线性

19、校正的控制系统结构图 （b） 非线性特性题7图 采用非线性校正的控制系统解 由图（b）知，非线性特性为因此，相平面被分为二个区域，开关线分别为e=e0和e=-e0。系统方程为 2在线性区内，½e½<e0，系统误差方程为：在线性区内，½e½>e0，系统误差方程为： 2其中，增益K和k应这样选择：一方面，为了在½e½>e0时获得快速性，在线性区中应选择较大的K值，使系统阻尼较小，对应于稳定焦点，具体地应先选K>1/(4T)。另一方面，为了防止超调量过大，在½e½<e0时，在线性区中应适当选

20、择k使系统处于临界阻尼，对应于稳定节点，具体地应选k使k<1/(4T)。 2设输入r(t)为阶跃函数，当t>0时，有，可得区内系统的误差方程为：此时的相平面图如下图1（a）所示，平衡点位于（0，0）是稳定焦点。在区内系统的误差方程为： ，相平面图如下图1（b）所示，平衡点位于（0，0），是稳定节点。 3把图1（a）、（b）的相轨迹分别画到相平面图的各区域中，就得到系统状态的运动轨迹，如图2所示。当阶跃输入的幅度较小时，相轨迹曲线是图中A A1 0 ，（a） II区 （b） I区题7图1 I区和II区的相轨迹题7图2 单位阶跃输入时的相轨迹曲线阶跃响应是单调的，没有超调，且响应速度较快，若阶跃幅度较大，则相应的运动轨迹是B0B1B2B30。显然响应是振荡性的，但超调量和振荡次数比线性增益（图中虚线所示）的情况减小很多。 3由此例可以看出，在线性系统中，增益的选择要兼顾调