圆锥曲线题型及方法

1、 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案1黄冈立传教育导学案黄冈立传教育导学案 高二数学 导学案 学生：学生： 课题名称圆锥曲线复习圆锥曲线复习时间 2012 年 11 月 日第 课时课型复习课课时6主备人张思藤审核人教学目标：教学目标：掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧。将圆锥曲线知识系统化，形成问题规律化。教学重点：教学重点：椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质及应用等知识，主要考查概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题主要解题策略主要解题策略：运用第一定义，第二定义进行突破；构造含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；与直线有关的问

2、题经常通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理进行变形求解；充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识体现主要数学思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论，应用定义时是否符合要求等（一）考查概念（一）考查概念例例 1 1（2009，全国）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB ，则|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3w解析：解析：过点B作BMl于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN =1由

3、题意3FAFB ，故2|3BM 又由椭圆的第二定义，得2 22|233BF 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案2|2AF故选 A.归纳小结归纳小结：本题充分挖掘图形的几何性质，应用椭圆的第二定义解决问题例例 2 2 椭圆14922yx的焦点为1F，2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是 分析：分析：欲求点P横坐标0 x的取值范围，需要建立关于0 x的不等式，从不同的知识点切入就得到不同的解法解法解法 1 1：（两个定义相结合）由条件可知，3a ，2b ，所以 5c ，35ace根据椭圆的定义，12| 26PFPFa，于是两边平方得362212221PF

4、PFPFPF，又在21PFF中，由余弦定理得，222121212cos02PFPFFFPF PF，所以 2221PFPF22220F F，将代入上式得，128PFPF，设P的横坐标为0 x，由焦半径公式得00() ()8aexaex，所以 205989x，故03 53 555x解法解法 2 2：（与向量知识结合）因为21PFF为钝角，所以120PF PF 设00(,)P xy，由分析 1 可知，100(5,)PFxy ，200( 5,)PFxy ，所以 0000(5,).( 5,)xyxy052020yx， 又00(,)P xy在椭圆上，所以 2200194xy，、两式联立，消去0y，即得 0

5、3 53 555x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案3归纳小结归纳小结：本题考查椭圆的定义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决问题的能力例例 3 3（2009 全国卷理）已知直线20yk xk与抛物线2:8C yx相交于AB、两点，F为C的焦点，若| 2|FAFB，则 k（ ）A13 B23 C23 D2 23解析：解析：分析图形，利用三角形相似，再利用抛物线的定义将问题转化，求出直线上一点的坐标，求得k的值设抛物线2:8C yx的准线为:2l x .直线20yk xk恒过定点 P2,0如图过AB、分别作AMl于M，BNl于N.由| 2|FAFB，则| 2|

6、AMBN，点 B 为 AP 的中点连结OB，则1|2OBAF， | |OBBF.点B的横坐标为1，故点B的坐标为2 202 2(1,2 2)1 ( 2)3k ，故选D归纳小结归纳小结：充分研究图形，结合抛物线的定义解决问题是解析几何重要方法（二）基本量求解（二）基本量求解例例 4 4（2009，上海）已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PFPF 若21FPF的面积为 9，则b=_ 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案4解析：解析：依题意，有1212222122184PFPFaPFPFPFPFc，可得 4c2364a2，即a2c29，

7、故有b3归纳小结归纳小结：本题主要考查椭圆的定义、长轴、短轴、焦距之间的关系 属于基础知识、基本运算的考查例例 5 5 椭圆22221(0)xyabab的半焦距为c，若直线2yx与椭圆一个交点P的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（ ）A222. B.2 212 C.21 D.31分析：分析：求离心率关键是根据已知条件得到a、b、c的等量关系若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的解法解法 1 1：由题知点( ,2 )P cc，因为点P在椭圆22221xyab上，所以222241ccab，化简得2222224b ca ca b，又因为222bac，所以22222222

8、()4()ac ca caac，化简得422460ca ca，同除以4a得42610ee ，解得2232 2( 21)e ，因为01e，所以 21e ，故选 C解法解法 2 2：由题知点P在椭圆上且横坐标为c，纵坐标为正数，所以点P的坐标为2( ,)bca， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案5又因为点P在直线2yx上，所以22bca，即22bac，又因为222bac，所以2220caca，同除以2a得2210ee ，解得12e ，因为01e，所以21e ，故选 C解法解法 3 3：由题意可知点P坐标为( ,2 )cc，即2| 2PFc所以12PFF为等腰直角三角形，所以1| 2

9、2PFc由椭圆定义 12| 2PFPFa，即2 222cca，所以12121cea，故选 C归纳小结归纳小结：本题三种解法各有特点，解法 2、解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识例例 2 2(2009 山东理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A45 B5 C25 D5解析：解析：双曲线12222byax的一条渐近线为xaby ，由方程组21byxayx，消去 y，得210bxxa 有唯一解，所以=2( )40ba， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导

10、方案6所以2ba，2221 ( )5cabbeaaa，故选 D（三）最值问题（三）最值问题例例 6 6 已知抛物线24yx，过点(4,0)P的直线与抛物线相交于1122(,), (,)A x yB xy两点，则2212yy的最小值是 解析：解析：由于过点(4,0)P且与抛物线24yx相交的直线不能是x轴，故可设这条直线为4()xmymR，与抛物线方程联立，消去x，得24160ymy，所以，1212416yymy y ，进而2122122212)(yyyyyy3232162m，当且仅当0m ，即直线与x轴垂直时，221232yy 归纳小结归纳小结：本题并没有落入“设直线的斜率为k、将2212yy

11、转化为k的函数，这个函数的最小值”的俗套而是类比直线方程的斜截式，将这条直线设为4()xmymR，如此处理，既不丢解又简捷明快例例 8 8（2006 江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则|PMPN的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9解析：解析：双曲线的两个焦点1( 5,0)F 与2(5,0)F恰好是两圆的圆心，欲使|PMPN的值最大，当且仅当|PM最大且|PN最小，由平面几何性质知，点M在线段1PF的延长线上，点N是线段2PF与圆的交点时所求的值最大. 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案7此时12| (2

12、)(1)PMPNPFPF9321PFPF因此选 D（四）突出几何性质的考查（四）突出几何性质的考查例例 6 6 如图，已知圆O方程为10022 yx，点A的坐标为），（06，M为圆O上任意一点，线段AM的垂直平分线交OM于点P，则点P的轨迹方程为（ ）A2212516xy B22(3)12516xy C2212516xy D22(3)12516xy解析：解析：由于POPA POPM 106，所以，点P的轨迹是以OA、为焦点、以10 为长轴长的椭圆因此选 B归纳总结：归纳总结：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感定义法是解析几何中求动点轨

13、迹及其方程的重要方法之一例例 7 7 已知椭圆22132xy的左右焦点分别为1F、2F，过1F的直线交椭圆于B、D两点，过2F的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P.（1）设P点的坐标为00(,)xy，证明：2200132xy； 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案8（2）求四边形ABCD的面积的最小值分析分析: :因为ACBD于点P，又1F、2F是两个定点，所以，点P在以线段12FF为直径的圆上，即P点的坐标为00(,)xy满足22001xy，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式220032xy的取值范围的问题了方法显然不唯一由条件知ABCD是对角线互相垂直的四边形，那么

14、，这样的四边形的面积怎样计算呢？由平面几何易知，1| |2ABCDSACBD这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然|AC，|BD的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了解：解：（1）方法 1：椭圆的半焦距321c ，由ACBD知点P在以线段12FF为直径的圆上，故22001xy，所以，222200001132222xyxy方法 2：由方法 1 知，22001xy，即22001yx ，所以 222220000011113232262xyxxx（2） （）当BD的斜率k存在且0k 时，BD的方程为(1)yk x，代入椭圆方程22132xy，并化简得 2222(32)6360kxk xk显

15、然0 设11()B xy，22()D xy，则 2122632kxxk ，21223632kx xk.222221212221224 3(1)()()(1) ()432kBDxxyykxxx xk； 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案9又由于直线AC与BD过同一点P，且相互垂直，同理可得，222214 314 3(1)12332kkACkk四边形ABCD的面积为111| | |222ABCADCSSSACBPACDPBDAC222224(1)(32)(23)kkk22222(1)9625(32)(23)2kkk当21k 时，上式取等号（）当BD的斜率0k 或斜率不存在时，四边形AB

16、CD的面积4S 综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625归纳小结归纳小结：第一问实际上是证明点P在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论，或者，由点P满足的关系，消去变量0y，得到关于0 x的函数，求其取值范围即可；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现（5）轨迹问题轨迹问题直接法直接法：直接利用条件建立之间的关系；, x y( , )0F x y 如如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：3x或）；212(4)(34)yxx 24 (03)yxx待定系数

17、法待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0），端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，)0(m以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：） ；22yx定义法定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如如(1)(1)由动点 P 向圆作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点221xyP 的轨迹方程为（答：）；224xy（2 2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线的距离小于 1，则点 M

18、 的轨迹方程是05xl：_ （答：）；216yx(3)(3) 一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的122 yx012822xyx轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在( , )P x y00(,)Q xy00(,)Q xy某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；, x y00,xy00,xy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案10如如动点 P 是抛物线上任一点，定点为,点 M 分所成的比为 2，则 M122xy) 1, 0( APA的轨迹方程为_（答：）；3162 xy参数法参数法：当动点坐标之

19、间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑( , )P x y将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。, x y如（如（1 1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点，使，求点的轨迹。（答：）；P| |OPMNP22|xya y（2 2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_（答：),(11yxP122 yx),(1111yxyxQ）；2121(|)2yxx例例 7 已知点100(,)P xy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接

20、2F A并延长交y轴于2P求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程分析：分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段1P2P的中点，可利用相关点法解：解：由已知得208(3 ,0), (,)3FbAb y，则直线2F A的方程为：03(3 )yyxbb 令0 x 得09yy，即20(0,9)Py设P xy（，），则0000 2952xxyyyy，即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb，即P的轨迹E的方程为22221225xybb()xR归纳小结归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（六）求参数范围问题（六）求参数范围问题例例 8

21、 8（2008，福建）椭圆22221xyab(0)ab的一个焦点是(1,0)F，O为坐标 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案11原点（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F的直线 l 交椭圆于A、B两点若直线 l 绕点F任意转动，恒有222OAOBAB，求a的取值范围分析：分析：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转化为代数等式，解之即得3b，继而由椭圆参数之间的关系便可求出a；对于第（2）问，容易知道，当三点,A O B不共线时，222OAOBABcos0AOB 0OA OB 12120 x xy y（设1122(

22、 ,), (,)A x yB xy）由此可得关于 , a b的不等式，再由221ba消去b，就得到关于a的不等式，解之即可解：解：(1)设,M N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以32OFMN，3 2123b，解得3b2214,ab 因此，椭圆方程为22143xy (2) 设1122( ,), (,)A x yB xy()当直线AB与x重合时，2222222,4(1)OAOBaABaa，因此，恒有222OAOBAB()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为1()xmymR ，代入22221xyab ，整理得 22222222()20ab myb myba b，所以 2122

23、222b myyab m ，22212222ba by yab m因为恒有 222OAOBAB，所以AOB恒为钝角即 11221212( ,) (,)0OA OBx yxyx xy y 恒成立2121212121212(1)(1)(1)() 1x xy ymymyy ymy ym yy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案12222222222222(1)()21mba bb mab mab m22222222220m a bba baab m又2220ab m，所以 22222220m a bba ba对mR恒成立，即 2222222m a baba b对mR恒成立，当mR时，22

24、2m a b 最小值为 0，所以22220aba b， 2224(1)ab ab，因为0,0ab，221aba，即210aa ，解得152a或152a(舍去)，即152a，综合（i）(ii)，a的取值范围为15(,)2 归纳小结归纳小结：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式交汇问题，是对多个知识点的综合考查本题的亮点在第 2 问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的充分必要条件当三点,A O B不共线时，222OAOBABcos0AOB 12120 x xy y为了得到1212x xy y，需要将过点F的直线l与椭圆的方程联立，通过消元，得到一个一元二次方程，

25、再利用韦达定理整体变形，得到1212x xy y用m表示解析式，应用不等式性质使问题获得解决如果选择“点斜式”的方法给出直线l的方程，则需要按直线l与x轴是否垂直分类讨论例例 7 过抛物线2:xyC上两点M，N的直线l交y轴于点0,Pb（1）若0OM ON （O 为坐标原点） ，求实数b的取值范围；（2）若2b，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q证明：点Q必在一条定直线上运动分析：分析：结合向量知识及抛物线的知识建立关于b的关系式求b的取值范围；（2）问结合导数的知识求切线的方程，求交点Q满足的关系解：解：（1）设点M，N坐标分别为211( ,)x x，22212(,)()x xxx，则211

26、( ,)OMx x ， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案13222(,)ONx x由题意可设直线l方程为bkxy.由2yxykxb，消去y得，20 xkxb，则2121240kbxxkxxb 因为0OM ON ，所以222121xxxxONOM02bb，解得01b所以实数b的取值范围为 1 , 0（2）当2b时，由（1）知, 2,2121bxxkxx因为函数2xy 的导数为xy2，抛物线在211( ,)M x x，222(,)N x x两点处切线的斜率分别为12Mkx，22Nkx，所以抛物线在点M，N处的切线方程分别为21112 ()yxx xx和22222()yxx xx，由2

27、1111222222 (),()2()yxx xxxxyxx xx ，解得交点Q的坐标( , )x y满足1212,2,xxxyxx即,22,kxy 所以点Q在定直线2y 上运动归纳小结归纳小结：（2）中结论的一般化是：过点(0, )b的直线与抛物线22xpy相交于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线的交点为Q，则点Q的轨迹是yb （去掉在抛物线内部的部分） 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案14例例 8 8 给定抛物线2:4C yx，F是C的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点，记O为坐标原点（）求OA OB 的值；（）设AFFB ，当三角形OAB的面积2, 5S 时，求的取值范围分析：分析：结合向量知识和解析几何知识，设坐标，列出关系式求的取值范围（1）解解：设11( ,)A x