生产计划安排问题

1、生产计划的安排问题一摘要 ： 本文建立了不允许从外地调用零件成品和允许从外地调用零件成品两种情况下的生 产能力的配置模型，以使公司的收益最大。利用 Lingo 的灵敏度分析了生产能力 或订单要求的变化对公司收益的影响。综合考虑收益和时效两个因素，对公司现有 的生产能力进行配置，是一个多目标规划问题，以“每种零件加工的单位时间效益 之和”为指标建立非线性规划模型，求出每种零件加工的单位时间效益之和最大时 的生产能力配置方案； 该优化模型适合于指导公司的生产能力配置， 从而推动企业 的发展，具有推广价值。关键字：生产能力的配置 灵敏度分析 多目标规划 零件加工的单位时间效益之和问题的提出某一中外合

2、资零件加工企业，加工生产四种零件供其他企业使用，每种零件的生产能力和成本如表（ 1）：零件 1零件 2零件 3零件 4生产能力（万 /件）1021138成本（元 /件）28231812最近公司承接了五笔加工订单，各订单签定的收费标准如表（ 2）：零件 1零件 2零件 3零件 4收费 （元 /件）订单 A110957254订单 B103886850订单 C100927260订单 D98867062订单 E105947865各订单对零件数量（万件）的要求如表（ 3）：订单 A订单 B订单 C订单 D订单 E零件 11333132零件 233436零件 33143346零件 411402总数量131

3、6121410试为该企业解决以下问题：（ 1） 建立数学模型，对公司的现有生产能力进行合理配置，使公司的收益达到最 大；（ 2） 对模型（1）中的某些因素进行灵敏度分析， 如当生产能力或订单要求等发生 变化时，对公司收益有何影响，提供数据供企业参考。（3） 如果可以按成本价的 3 倍从外地调用到一批零件成品，收费标准不变，能使 企业收益增加吗？需分别购进多少数量？（ 4） 若各零件完成的工时数分别为 6、 5、 4、3，公司需要综合考虑收益和时效， 再讨论（ 1）中的问题；三问题的分析：问题一：问题一的目标是收益最大， 且不考虑从外地调用零件成品， 我们要做 的决策是配置生产能力，决策受到的限

4、制有：每种零件的生产能力，生产成本，各 订单签定的收费，订单对每种零件数量的要求和订单对 4种零件总量的要求。 我们可 以根据条件建立线性规划模型，利用 Lingo 求出最优解。问题二：问题二的目标是分析生产能力或订单要求的变化对公司收益的影响。 在利用Lingo 求出最优解的条件下，可以进行灵敏度分析。问题三：问题三较之问题一， 公司在对每笔订单的配置零件中， 来源发生了变 化，从单一变为双来源：一是来自公司的加工零件，二是来自外地调用的成品零件问题四：问题四的目标是对公司的现有生产能力进行合理配置， 综合考虑收益 和时效，使收益最大。显然这是一个多目标规划问题。可以以“每种零件加工的单 位

5、时间效益之和”为指标建立非线性规划模型，求出每种零件加工的单位时间效益 之和最大时的生产能力配置方案；四模型的假设：1. 各订单对零件数量的要求没有变化，不受其他因素的影响。2. 各订单签订的收费标准没有变动，不受市场价格浮动影响。3. 该公司零件的生产能力和加工成本没有变动。4. 在问题三中，不考虑从外地调用成品零件的运输费。5. 在问题四中，假设加工设备不会出现故障。五模型的建立：5.1 变量常量的设定设 A,B,C,D,E 分别为订单 i 1,2,3,4,5; j 1,2,3,4常量aj企业对零件 j的生产能力cj零件 j的生产成本sij订单 i签订的第 j种零件的收费mij订单 i对第

6、 j种零件数量要求的下限nij订单 i对第 j种零件数量要求的上限qi订单 i对4种零件总数量要求的上限tj第j种零件完成的工时数k按成本价的 k倍从外地调用零件成品xij公司对第 i笔订单的零件 j的配置量变量Z公司承接五笔加工订单的收益yj从外地采购的零件 j 成品数Y每种零件加工的单位时间效益之和( 建立最少零件矩阵 M i j (m ), 最大零件矩阵 Ni j (nij ) 其中aj，xij，mij，nij，qi，yj的单位为万件，cj，sij的单位为元 / 件，Z的单位为万元 )5.2 模型的建立与求解5.2.1 问题一的求解5.2.11 目标函数的确立在所给题目及假设条件下，公司

7、承接五笔加工订单的总收益为：45Z(sijcj )xijj1i1从而目标函数为：45Max Z = (sijj1i1cj )xij )5.2.12 约束条件的建立1）公司对各零件生产能力的约束：5xij ajj 1,2,3,4i12）各订单对 4种零件总数量（万件）的约束条件：4xij qii 1,2,3,4,5j13）各订单对每种零件数量（万件）的约束条件：mijxijn ij5.2.13 线性规划模型的建立最后建立的线性规划模型为：4Max Z = (j15(sij cj )xij ) i15xij i14ajxijj1qii其中 i 1,2,3,4,5; j 1,2,3,4mxijnij

8、5.2.14模型一的求解1331333114由题可知 M3430，N341300330204266把各具体数字带入模型中，利用上面建立的线性规划模型，通过 Lingo9.0 （程序 见附录1.1 ）可求得最优配置方案（ Lingo 输出结果见附录 1.2）如下表，并得出此时 的公司收益为 3284 万元：订单 A订单 B订单 C订单 D订单 E零件 113312零件 286430零件 331324零件 411204总数量1311126105.2.2 问题二的求解：灵敏度分析利用 Lingo 进行灵敏度分析，得到分析结果（见附录 2.1 ）。 由敏感性分析可知：在保持最优解不变的情况下 , 零件

9、 1 的生产能力在 7,9 ，零件 2的生产能力在 18,26，零件 3 的生产能力在 11,14，零件 4的生产能力在 6,8 内 变动是允许的。由紧约束知：零件 1每增加一万件，效益增加 75 万元；零件 2 每增加一万件，效益增加 65万元；零件 3 每增加一万件，效益增加 52万元；零件 4 每增加一万件，效益增加 44万元。5.3 问题三的模型的建立与求解 公司对第 i笔订单的零件 j的配置量 xij ，一部分来自公司的加工零件中，部分来自从外地采购 的成品中 ，在可以从外地调用一批零件成品的条件下， 公司承接五笔加工订单的总收益为：4 5 4Zj1i据此建立的线性规划模型为4 Ma

10、xZj15(xij )i14xij qi j1 mij xijij(sij cj )xij (k 1) cj yj1 j 154(sij cj)xij (k 1) cj yji 1 j 1yj a j其中 i 1,2,3,4,5; j 1,2,3,4nij利用上面建立的线性规划模型，通过 Lingo9.0 （程序见附录 3.1 ）可求得最优配 置方案（ Lingo输出结果见附录 3.2）如下表，并可以求出此时的公司收益为 3515 万元：订单 A订单 B订单 C订单 D订单 E其中各零件的 采购量零件 131131210零件 26341103零件 3313240零件 4112040总数量131

11、612141013由此我们可以看出， 若分别从外地调用零件 1成品10万件，零件 2成品3万件，可使公司收益增加5.4 问题四的模型的建立与求解 综合考虑收益和时效，对公司的现有生产能力进行合理配置（不允许从外地调用零 件成品），使公司的收益达到最大， 可建立模型， 使每种零件加工的单位时间效益之 和最大化； 建立的非线性规划模型为：5(sijc j )xijMaxYi1tj xijx ijaji14xijqij1mijxijn ij其中 i 1,2,3,4,5; j 1,2,3,4利用上面建立的非线性规划模型，通过 Lingo9.0 （程序见附录 4.1）可求得最优配 置（ Lingo 输出

12、结果见附录 4.2）方案如下表，并可以求出此时的公司收益为 3027万元：订单 A订单 B订单 C订单 D订单 E零件 113312零件 283630零件 331304零件 411004总数量13812410六模型的推广本文建立了不允许从外地调用零件成品和允许从外地调用零件成品两种情况下的生 产能力的配置模型。该优化模型适合于指导公司的生产能力配置，从而推动企业的 发展，具有推广价值。七参考文献1.数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊编 高等教育出版社2.百度文库 附录：1.1 程序 1：公司的现有生产能力配置(不允许从外地调用零件成品的情况下) max =110*x11+95*x12+7

13、2*x13+54*x14+103*x21+88*x22+68*x23+50*x24+100*x31+9 2*x32+72*x33+60*x34+98*x41+86*x42+70*x43+62*x44+105*x51+94*x52+78*x53+6 5*x54-28*(x11+x21+x31+x41+x51)-23*(x12+x22+x32+x42+x52)-18*(x13+x23+x33 +x43+x53)-12*(x14+x24+x34+x44+x54);x11+x21+x31+x41+x51<=10;x12+x22+x32+x42+x52<=21;x13+x23+x33+x43

14、+x53<=13;x14+x24+x34+x44+x54<=8;x11>=1;x11<=3;x12>=3;x13>=3;x14>=1;x11+x12+x13+x14<=13;x21>=3;x22>=3;x23>=1;x23<=4;x24>=1;x21+x22+x23+x24<=16;x31=3;x32>=4;x33>=3;x34<=4;x34>=0;x31+x32+x33+x34<=12;x41>=1;x41<=3;x42>=3;x43<=3;x43>

15、=0;x44=0;x41+x42+x43+x44<=14;x51>=2;x52<=6;x52>=0;x53>=4;x53<=6;x54>=2;x51+x52+x53+x54<=10;1.2 程序 1输出结果：LINGO 求解结果：Global optimal solution found.Objective value: 3284.000 Total solver iterations: 11Reduced Cost0.0000000.000000Variable ValueX11 1.000000X128.000000X13 3.0000000

16、.0000000.0000000.000000X14 1.000000X21 3.000000X22 6.0000000.000000X23 1.0000000.0000000.0000000.000000X24 1.000000X31 3.000000X32 4.0000000.000000X33 3.0000000.000000X34 2.0000000.0000000.0000000.000000X41 1.000000X42 3.000000X43 2.0000000.000000X44 0.0000000.0000000.0000003.000000X51 2.000000X52 0

17、.000000X53 4.0000000.000000X54 4.0000000.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3284.000 1.0000002 0.000000 75.000003 0.00000065.000004 0.00000052.000005 0.00000044.000006 0.000000 0.0000007 2.0000000.0000008 5.0000000.0000009 0.000000-5.00000010 0.000000-9.00000011 0.0000007.00000012 0.0000000.0000

18、0013 3.0000000.00000014 0.000000 -2.00000015 3.000000 0.000000160.000000-6.000000175.0000000.000000180.000000-7.000000190.0000000.000000200.000000-2.000000212.0000000.000000222.0000000.000000230.0000004.000000240.000000-5.000000252.0000000.000000260.000000-2.000000271.0000000.000000282.0000000.00000

19、0290.0000006.000000308.0000000.000000310.000000-7.000000326.0000000.000000330.0000000.000000340.000000-1.000000352.0000000.000000362.0000000.00000037 0.000000 9.0000002.1 问题二中灵敏度分析结果：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesriableCurrentCoefficientAllowableIncreaseAllowable

20、DecreaseX1182.00000INFINITY0.0X1272.000000.05.000000X1354.000005.000000INFINITYX1442.000009.000000INFINITYX2175.000000.0INFINITYX2265.000001.0000000.0X2350.000002.000000INFINITYX2438.000006.000000INFINITYX3269.000006.0000001.000000X3354.000002.000000INFINITYX3448.000001.0000006.000000X4170.000005.00

21、0000INFINITYX4263.000002.000000INFINITYX4352.00000INFINITY1.000000X5177.000007.000000INFINITYX5271.000003.000000INFINITYX5360.000001.000000INFINITYX5453.00000INFINITY1.000000Righthand Side RangesRowCurrentRHSAllowableIncreaseAllowableDecrease27.0000002.0000000.0321.000005.0000003.000000413.000001.00

22、00002.00000058.0000000.02.00000061.0000000.0INFINITY73.000000INFINITY2.00000083.0000005.000000INFINITY93.0000002.0000001.000000101.0000002.0000000.01113.000003.0000005.000000123.0000000.02.000000133.0000003.000000INFINITY141.0000002.0000001.000000154.000000INFINITY3.000000161.0000002.0000000.01716.0

23、0000INFINITY5.000000194.0000000.0INFINITY203.0000000.01.000000214.000000INFINITY2.000000220.02.000000INFINITY239.0000003.0000000.0241.0000000.01.000000253.000000INFINITY2.000000263.0000003.0000003.000000273.000000INFINITY1.000000280.02.000000INFINITY3014.00000INFINITY8.000000312.0000000.02.000000326

24、.000000INFINITY6.000000330.00.0 INFINITY344.0000000.01.000000356.000000INFINITY2.000000362.0000002.000000INFINITY3710.000002.0000000.03.1 程序 2：允许调用成品零件后的生产能力配置max =110*x11+95*x12+72*x13+54*x14+103*x21+88*x22+68*x23+50*x24+100*x31+9 2*x32+72*x33+60*x34+98*x41+86*x42+70*x43+62*x44+105*x51+94*x52+78*x5

25、3+6 5*x54-28*(x11+x21+x31+x41+x51)-23*(x12+x22+x32+x42+x52)-18*(x13+x23+x33 +x43+x53)-12*(x14+x24+x34+x44+x54)-2*28*y1-2*23*y2-2*18*y3-2*12*y4; x11+x21+x31+x41+x51-y1<=10;x12+x22+x32+x42+x52-y2<=21;x13+x23+x33+x43+x53-y3<=13;x14+x24+x34+x44+x54-y4<=8;x11>=1;x11<=3;x12>=3;x13>

26、=3;x14>=1;x11+x12+x13+x14<=13;x21>=3;x22>=3;x23>=1;x23<=4;x24>=1;x21+x22+x23+x24<=16;x31=3;x32>=4;x33>=3;x34<=4;x34>=0;x31+x32+x33+x34<=12;x41>=1;x41<=3;x42>=3;x43<=3;x43>=0;x44=0;x41+x42+x43+x44<=14;x51>=2;x52<=6;x52>=0;x53>=4;x53

27、<=6;x54>=2;x51+x52+x53+x54<=10;3.2程序 2 在 Lingo 中的输出结果Global optimal solution found.Objective value: 3515.000 Total solver iterations: 12VariableValue Reduced CostX11 3.000000X12 6.0000000.0000000.000000X13 3.0000000.000000X14 1.0000000.000000X21 11.00000X22 3.0000000.0000000.000000X23 1.000

28、0000.000000X24 1.0000000.000000X31 3.000000X32 4.0000000.0000000.000000X33 3.0000000.000000X34 2.0000000.000000X41 1.000000X42 11.000000.0000000.000000X43 2.0000000.000000X44 0.0000000.000000X51 2.000000X52 0.0000000.0000004.000000X53 4.0000000.000000X54 4.0000000.000000Y1 10.00000 0.000000Y2 3.0000

29、00 0.000000Y3Y41.0000000.000000Dual Price1.00000056.0000046.0000035.0000024.000000.0000000.0000000.000000-7.000000-8.000000Slack or SurplusRow1 3515.0002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 2.0000007 0.0000008 3.0000009 0.00000010 0.00000011 0.00000026.0000012 8.0000000.00000013 0.000000 0.00000

30、014 0.000000 -4.00000015 3.0000000.00000016 0.000000-5.00000017 0.000000 19.0000018 0.000000 -8.00000019 0.000000-1.00000020 0.000000-5.00000021 2.000000 0.00000022 2.000000 0.00000023 0.000000 24.0000024 0.000000-3.00000025 2.0000000.00000026 8.000000 0.00000027 1.000000 0.00000028 2.0000000.000000

31、29 0.0000009.00000030 0.000000 17.0000031 0.000000 -8.00000032 6.0000000.00000033 0.0000000.00000034 0.000000 -4.00000035 2.000000 0.00000036 2.0000000.00000037 0.00000029.000004.1 程序 3：综合收益和时效下的公司收益max =(82*x11+75*x21+72*x31+70*x41+77*x51)/(6*(x11+x21+x31+x41+x51)+(72* x12+65*x22+69*x32+63*x42+71*x

32、52)/(5*(x12+x22+x32+x42+x52)+(54*x13+50*x 23+54*x33+52*x43+60*x53)/(4*(x13+x23+x33+x43+x53)+(42*x14+38*x24+48*x3 4+50*x44+53*x54)/(3*(x14+x24+x34+x44+x54);x11+x21+x31+x41+x51<=10;x12+x22+x32+x42+x52<=21;x13+x23+x33+x43+x53<=13;x14+x24+x34+x44+x54<=8;x11>=1;x11<=3;x12>=3;x13>=

33、3;x14>=1;x11+x12+x13+x14<=13;x21>=3;x22>=3;x23>=1;x23<=4;x24>=1;x21+x22+x23+x24<=16;x31=3;x32>=4;x33>=3;x34<=4;x34>=0;x31+x32+x33+x34<=12;x41>=1;x41<=3;x42>=3;x43<=3;x43>=0;x44=0;x41+x42+x43+x44<=14;x51>=2;x52<=6;x52>=0;x53>=4;x53<=6;x54>=2;x51+x52+x53+x54<=10;4.2程序 3 在 Lingo 中的输出结果Local optimal solution found.Objective value: 56.36677 Total solver iterations: 8Reduced Cost0.0000000.000000Variable ValueX11 1.000