浙江省杭州市八校联盟2021-2022高一数学下学期期中联考试题(含解析)

1、重点中学试卷 可修改欢迎下载3（含浙江省杭州市八校联盟2021-2022高一数学下学期期中联考试解析）一、选择题（每小题5分，共40分）1 .设点。是正方形A8CD的中心，则下列结论错误的是（）A. Ad = OCB.BO/DBC.从与与丽共线D.Ad = Bd【答案】D【解析】【分析】由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案.【详解】解：如图，.无0与反方向相同，长度相等，正确:,/B,。，D三点在一条直线上，二防/丽，B正确;AB | CD,.福与前共线，C正确：.尤与M方向不同，.彳5工的，D错误.故选D.【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的

2、关 键.2,已知向量 = (1,1),B = (0,2),且+篇= (2,8),则 二()A. 5B. 一5C. 1D. 一 1【答案】D【解析】【分析】根据平而向量的坐标运算，得到方程组求出结果即可.【详解】解：.i = (l,l),B = (0,2), .42 + B = (Z；l+2).,/la + B = (2,8), ，(4几+2)二(2,8), .,/ = 2,4 = 3 /. A, - 4 = -1故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算.3 .在A43C中，角A3,C所对的边为c,若A = 60,2 = b + c,则AA8C一定是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角

3、形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】 【分析】由A = 60,2 = /，+ c,再根据余弦定理可得/=/尢，即可得出AA8C是等边三角形.【详解】解：在A43C中，丁 A = 60 ,2a=b + c/. (b + c)2 = b2 + 2bc + c2= 4/ 化简得： +c2-2 = 3/-2bc*.* If + c-a = 2bccos A：.3cf - 2bc = 2bc cos A = be：.a2 = be/. (b-c)2 =0 ,则/? = c:.a = b = c, A48C是等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理

4、是解此 类题目的关键.o 7T 9 7t . 7t 714 . sin-cos + sin cos = ()12121212A 1 + 20R 1-2 小I34444【答案】B【解析】【分析】根据三角函数中二倍角公式化简即可求得答案. 壬 hji v azj 2、孔 .冗 元1 . /r 1 231【严解】用车：sin-cos-i-sincos = -cos + sin =121212126 264故选B.【点睛】本题考查三角函数中二倍角公式的运用.熟练掌握二倍角公式是解题的关键.5 .在 AABC中，角4 6,。所对的边为a, b, c,若cosA=,且边c = 5,4 = M，则边仁()A

5、. 3 或 5B. 3C. 2 或 5D. 5【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理即可求出b的值. 44【详解】解：,cosA =,由余弦定理得10 =人+25-2岳5二, 55即28 + 15 = 0，解得6 = 3或6 = 5.故选A.【点睛】本题考查余弦定理的运用.熟练掌握余弦定理是解题的关键.6 .已知正六边形。明学常的边长为1,则。比。以/=1,2,3,4,5)的最大值是()3A. 1B. -C. V?D. 2【答案】B重点中学试卷 可修改欢迎下载【解析】 【分析】 依题意得，分别计算出当，= L2,3,4,5时观.丽的值，比较即可得出答案.【详解】解：如图，当i = L2,3,4

6、,5时，丽丽(，=1,234,5)的值相应是1，5,0,-5,故最3大值为，.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.7.当xe 0,g 时,函数 fW = sin 2x-25/3sinx sinU )的值域是A.-褥，褥C.-32D. -1,25【答案】C【解析】【分析】由题通过三角恒等变换得/(幻=2sin(2x f), O根据xe,不,求出2%-1一1,三, 乙JJ J即可得出.f(x)值域.【详解】解：由题意得，f(X)= sin 2x - 2-73 sin(- - a) cos(- - x) 44=sin2x-6sin(- 2x) = sin2x一逐cos2

7、x = 2sin(2x-). 23 re 兀 t ./ 兀 JT 271 1:Ix 。半时,e-,二当x = 0时，/0)取最小值为一退，所以值域为一6,2【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的定义域和值域.熟练掌握三角恒等变换是解题的 关键.8,对于集合%,七,.,可和常数询，定义:cos2 (a. -aj + cos2 (a. -,.) + +cos2 (an -an “人人 f1山 迎“人p = U卫二一鱼L一” 为集合,外,凡相对他的“余n弦方差”，则集合。，与二与(相对询的“余弦方差”为()A抠2D.与劭有关的一个值1 C.一4【答案】B【解析】【分析】* z 13、* / 1y/

8、3v 9根据题意可得，cos+(- - cos+ sin 0)- + (- - cos- - sin)- 利用诱导公p=三式和两角和与差的正弦公式对其化简；将sin2o + cos2a=l代入化简后得到的结果，即可求出答案.详解因为 COS (0 0)+ COS ( Uq ) + cos (%)- P=3, /I 有.遍/ 1 有.cos- aQ +(一 cosg + sin g)” + (一 cosg sin/厂一 一 1 3故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式以及诱导公式，难点在于对表达式做合理变形后 能够使用三角函数公式对其化简.对于此类题目，应熟记三角函数的各个公式，不要混淆

9、.二、填空题(每小题4分，共28分)9 .已知“ =(2,-2)石=(x,2),若Z = 6，则工=.【答案】5【解析】【分析】根据Z不=6，利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案.【详解】解：= (2,-2)石=(%,2):.a-b = 2x-4又 ah = 62x 4 = 6解得x = 5【点睛】本题考查平而向量的坐标表示.已知平面向量的数量积求参数.10 .若cosa =3,a - -,0 I, yiijsin| 6Z- U.52 )3 J【答案】一土毡10【解析】【分析】求出角的正弦函数，然后利用两角和的正弦函数公式求解即可.4【详解】解：由条件得sina =二，a n si=乃-)

10、3无210【点睛】本题考查两角差的正弦函数，同角三角函数的基本关系的应用.11.已知A(2,5),巩1。,一3),点尸在直线A3上，且中=一：而，则点尸的坐标是重点中学试卷 可修改欢迎下载【答案】(1,3) 【解析】【分析】由题意可知，A,8,P三点共线，且有刀=-：而，设出点P的坐标，利用向量相等的条件 建立方程求出点P的坐标【详解】解：设尸(X,y).4(-2,5)1(10,3),点P 在直线 AB上/. PA = (-2-x,5-y)， PB = (10-x,-3- y)PA = -PB,x = )=3【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向 量

11、的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P的坐标.12.有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75 ,在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30 ,则坡底要延伸 m.【答案】1072【解析】【分析】画出图形，利用正弦定理即可求出.【详解】解：如图， A43C中，设BC = xz,由正弦定理可知x _ 10sin 45。- sin 30。【点睛】本题考查了三角函数的简单运用，解答本题的关键是找到边角关系，列出等式求得 即可.13 .若tanotanA是方程/+6x+2 = 的两个实数根则翳焉【答案】-12【解析】 【分析】cos(a - B) 式将画着根据韦达定理求出

12、tana + tan/? = -6,tanakm = 2,利用三角函数和与差的正弦和余弦公展开，分子分母同时除于cosacos/,代入即可得出答案.【详解】解：由韦达定理得tan a + tan /7 = -6, tan a tan /7 = 2cos(cr-/7) _ cos a cos /3 + sina sin p _ 1 + tan a tan p _ 1 + 2 _ 1sin(a + P) sin a cos p + cos a sin p tan a + tan J3 -62【点睛】本题考查了韦达定理，三角函数两角和与差 正弦、余弦公式.14 .在 AABC中，ZA = 60,4s

13、in B = 5sin C,5 = 20x/3 ,则其周长为.【答案】18 + 2/【解析】【分析】因为4sin8 = 5sinC,由正弦定理可得44c = 543,所以可设4c = 5x,A3 = 4x ,根据而 积公式可求出大，继而求出AC和AB,利用余弦定理求出BC,从而求出周长.-# -重点中学试卷 可修改欢迎下载【详解】v4sinB = 5sinC由正弦定理得4AC = 5A5.设 AC = 5x, AB = 4x则S = L-4x-5xsin60 =20虚，解得x = 2, 2二. AC = 10,A8 = 8.由余弦定理得BC2 = AB2 + AC2-2AB- BCcosZAB

14、C = 272?故此三角形的周长为18 + 2应【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，解题的关键是由面积求出AB和AC.15.已知点M是AABC所在平而内的一点，若满足6AA/-A月一241 = 6，且8c = SmbM，则实数的值是.【答案】3【解析】【分析】点M是AABC所在平面内的一点，若满足6布7-不豆一2/ = 6，根据向量的概念，运算求 3解得：丽= 2%，再根据与5*皿的关系，求出上亚与%8M之 乙比，得出九.【详解】解：记2丽=丽丽-丽+ 2丽-2k=6一 _, c3 c，BN = 2NC，%18c = o Ssbn , 乙乂 S*BW = S&BN 乙 - S$BC = 3s

15、M，从而有九=3.【点睛】本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解.三、解答题（5小题，共52分）9重点中学试卷可修改欢迎下载16.已知。, B 均为锐角,且sin（/r-a） = 3,sin（a-夕）二一、山10(1)求 sin2a +7的值:-13-(2)求cos/7的值.【答案】(1)-(2)史口 2550【解析】【分析】3(1)由题意可得，sin(/r-。)= sin a = 利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出sin 2a + 即可2(2)利用 cos p = cosa - (a - 4)=cos a cos(a 一 4)+ sin a sin(6z - 力)，即可求出

16、 cos J3 的 值.3【详解】解：(1) V sin( - a) = sin a =-/. sin(2a + -) = - cos 2a = 2 sin二 a -1 = 一 一225(2) cos p = cosa - (a - /7) = cos a cos(c - ) + sin a sin(a - J3)4 310 3 / 回、90=+ -)=5 1051050【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换,正确运用公式是解题的关键.17 .已知两个非零向量1其不共线，如果A = 2e； +冤，比= 4e； + l闲面=西_瓯,（1）求证：A, & 三点共线；若同=同=1,且I

17、而l=g,求向量的夹角.【答案】（1）见解析（2）-2【解析】【分析】（1）要证明A, B, D三点共线，只需证明沏,而共线.根据向量加法的三角形法则求出而， 利用向量共线定理可证.（2）根据而=|而F得出12=0,从而得出向量e；,e；的夹角.【详解】（1） AD = AB + BC + CD = 8e + 12e = 4AB,.而，南 共线，即4民。三点共线.宿=（2录 + 3,）2 =4不+12彳+9不=13+121 = 13， 0 /2T62=0，故有向量6,4的夹角为丁.【点睛】本题考查了向量的加法法则、向量共线定理.18 .在ABC中，角月，B,。所对的边为 a, b, e, p

18、= (a + c,h),q = (b-a,c-a),若，/力, （1）求角。的大小；（2）若（3右一3）cosC = c2,求一!一+-的值. tan A tan B【答案】（I） C = y （2） 3-y/3【解析】【分析】（1）利用万/推出a, b,。的关系，利用余弦定理求出C的大小即可.1A3(2)由正弦定理可得（36 3）sinAsin8 =（5）2,得出疝念加8 =瓦瓦万 将白+高化简得白卡高sinCsin Asin B进而求出答案.【详解】解：（1） .万/川，则（ + c）（c - a）伏-4） = 0,c 一厅=-ab.由余弦定理得cosC = !，故有C = f. 23（2

19、） / （3/3-3）r/Z?cosC =c2,i /q（3/3 - 3） sin A sin B -=（，即 22旦sinAsinB = j上+ , = * + *=血。=_2 = 3-技2（35/3-3） tan A tan 8 sin A sin 8 sin Asin B 32（3 必 3）【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.19.已知ABC的面积为S,且而不e = 4S，/ 、（1）当之=1时，求tan 4 + f的值；4；（2）当 = 笆，边BC 长为2时，求ZkABC的周长的最大值. 3【答案】（1）-3（2）周长的最大值为6【解析】【分析】设AA3C的

20、角A,B.C所对应的边分别为,根据向量和数量积和面积公式得出22cosA = Asin A 从而得出 tanA = .（1）当之=1时，tanA = 2,利用两角和的正切公式展开，代入tan4 = 2即可得出答案.（2）当4 = BC=2时，利用正弦定理可将AA3C的周长转化为 3L = 2 + 2/?sinB + 2/?sinC = 4sin（B + -） + 2,进而得出当B =三时，周长取最大值为6. 63【详解】设AA8C的角A.8,C所对应的边分别为a*,c,由题意得从3。5/1 = %4反$也4,2即 2cos4 = /lsinA ,解得 tanA = .2/、，-r 一 一4、

21、tanA + 1（1）当 zl = l 时，tanA = 2,则有均11（4 + 7）= -3.4 1-tan A重点中学试卷 可修改欢迎下载lc n a24O./Q_ 乃2 R = (2)当人 = *时，tanA = JJ，A = -.由正弦定理得 sinA .乃“，所33s,ny以A43C的周长为a427rL = 2 + 27? sin B + 2/?sinC = 2 +sinB + sin( B) 5/3733= 2 + sin6 + 3(孚cos8 + ；sin8) = 26sin8 + 2cos8 + 2 = 4sin(8 + W)+ 2,所以当8 =工时，周长取最大值为6.3【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面枳、周长的求解和三角函数知识的运用.20.设函数 f(x) = asinx+bcosx,。力为常数,(1)当工=三时，/(X)取最大值2,求此函数在区间 三/上的最小值:4,当