3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系

1、空间向量与立体几何立体几何中的向量方法(二) 空间向量与垂直关系【学习目标】1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有 关定理.ET问题导学知识点一向量法判断线线垂直思考 若直线li的方向向量为 阳=(1, 3, 2),直线12的方向向量为 四2=(1, 1, 1),那么 两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案11与12垂直，因为口咫=1- 3+2=0,所以因_L，又因，是两直线的方向向量， 所以11与12垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上

2、分别取两点 A、B与C、D,计算向量 苑与CD的坐标，若AB CD= 0,则两直线垂直，否则不垂直 .(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 设直线1的方向向量为a=(a1，a2, a3),直线m的方向向量为b= (b1，, b3),则1，m ? a b= 0? aj b1 + a2b2 + a3b3 = 0.知识点二向量法判断线面垂直思考 若直线1的方向向量为 因=2, 3, 1 平面”的法向量为 屹=6, 2, 3 则直线1 与平面a的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？2答案垂直，因为阳=2屹，所以画/四2,即直线的方

3、向向量与平面的法向量平行，所以直3线1与平面a垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线1的方向向量与平面 a的法向量共线？ 1，%(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直？直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线1的方向向量与平面 a内的两相交直线的方向向量垂直？ 1，a梳理 设直线1的方向向重a= (a1, b1,c1),平面a的法向量四=(a2 ,b2,c2),则1_La?a / i? a=kMk，R).知识点三向量法判断面面垂直思考 平面a,3的法向量分别为pi=(x，y1，zi),(j2=(X2,y2,Z2),用向量坐标法表示两平面a,3垂直的关系式是什么？答案XiX2+ y1y

4、2 + ZlZ2= 0.梳理 若平面a的法向量为 L ，bl, Ci),平面3的法向量为 k(a2, b2, c以 则a 3 ? |i-L ? .户 0? a1a2+ bb2+ Cicz= 0.21题型探究类型一 证明线线垂直例1已知正三棱柱 ABC AiBiCi的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC11上的点，且eye.求证:AB/MN.证明 设AB中点为。，作。1/AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 由已知得 A12，0, 0 ） B（，0, 0） Co,兴 0 i, N,兴 1 ；, B4，0, 1 . M为BC中点，

5、M 1, g。.,mN= -1,乎,1 j 漏尸（1，0, 1）， MN AB1=-4+0+i=0. AB1XMN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系 一写出点的坐标 一求直线的 方向向量一证明向量垂直 一得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AC = 3, BC = 4, AB=5, AA1=4,求证：ACXBCi.证明 二.直三棱柱 ABC AiBiCi底面三边长 AC=3, BC= 4, AB=5, .AC、BC、C1c 两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CCi所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则 C(0,

6、 0, 0), A(3, 0, 0), Ci(0, 0, 4), B(0, 4, 0), . aC = (3, 0, 0), BCi=(0, 4, 4), AC BCi=0.-.ACBCi.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱 ABCAiBiCi的所有棱长都为 2, D为CCi的中点.求证：ABi,平面AiBD .证明如图所示，取BC的中点O,连接AO.因为4ABC为正三角形，所以 AOXBC. 因为在正三棱柱 ABC AiBiCi中，平面 ABC，平面BCCiBi, 所以AO,平面BCCiBi.取B1C1的中点Oi,以。为原点，以OB, OOi, OA分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

7、 间直角坐标系，则 B(1 , 0, 0), D(-1, 1, 0), Ai(0, 2,悯,A(0, 0, J3)，Bi。，2, 0). 所以 ABi = (1, 2,一壁,BAi=(-1, 2,串),BD=(-2, 1, 0).因为 ABi BAi=1X(-1)+2X2+(-V3)X3=0.ABi bD= 1 X (2)+2X 1 + (W)X0= 0.所以 AbibAi, ABiXBD,即 ABiXBAi, ABiBD.又因为BAnBD=B,所以ABi,平面AiBD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示 (3)找出平面

8、内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行跟踪训练2 如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi中，AB=AD=1, AA1=2,点P为DD1的中点.求证：直线 PBJ平面PAC.证明如图建系，C(1, 0, 0), A(0, 1,0), P(0, 0, 1), Bi(i, 1, 2), PC=(1, 0, 1),PA=(0, 1, 1), PBi = (1, 1, 1), BiC=(0, 1, 2), BiA=(-1,

9、 0, -2).PBi PC=(1, 1, 1) (T, 0, 1)=0, 所以 pB1，pC,即 PB1XPC.， 又PB1 FA=(1, 1, 1) (0, 1, 1)=0, 所以pBPA,即PBPA.又 PAAPC=P,所以 PB1L平面 PAC. 类型三 证明面面垂直例 3 在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AAL平面 ABC, ABXBC, AB=BC=2, AA1BB1的中点，求证：平面 AEC1,平面AA1C1C.证明 由题意知直线 AB, BC, B1B两两垂直，以点B为原点，分别以 BA, BC,直线为x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(2, 0, 0)

10、, 4(2, 0, 1),:1, E 为BB1所在C(0, 2,10), G(0, 2, 1), E(0, 0, 2),故AA1=(0, 0, 1), Ac=(-2, 2,0), AC1 = (2, 2, 1), Ae=(-2, 0, J设平面AA1C1C的法向量为n 1=(x, y, z),In 1 AA1= 0：一n AC = 0,z= 0, 2x + 2y= 0.令 x= 1,得 y= 1,故 n 1 = (1, 1, 0).设平面AEC1的法向量为 n2=(a, b, c),n2 AC1 = 02a + 2b+c= 0,即 12a + 2c= 0.令 c= 4,得 a= 1b= 1,故

11、 n2=(1, 1, 4).因为 n 1n2= 1 x 1+ 1X (1)+0X4=0, 所以n 11 n2.所以平面 AECL平面AA1C1C.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练 3 在四面体 ABCD中，AB，平面 BCD, BC = CD, / BCD =90, E、F分别是 AC、AD的中点，求证：平面 BEF，平面 ABC.证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 A(0, 0, a),则易得C23a,乎a, ) D(0, V3a, 0), E43a,*a, 2

12、), F(,3a,卞，以c故AB = (0, 0, a), BC = Jj23a,坐a, 0 .设平面ABC的法向量为 n 1 = (x1, y1，z1)，/ ADB = 30,B(0, 0, 0),ni AB = 0,mi BC = 0,azi = 0,即*取xi = 1,xi + yi = 0,ni=(i, i, 0)为平面ABC的一个法向量 设n2=(X2, y2, Z2)为平面BEF的一个法向量,同理可得血=。，i,啊n i n2=(i, - i, 0) (i, i, -73) = 0,平面BEF，平面 ABC.31当堂训练i.下列命题中，正确命题的个数为 ()若n1，n2分别是平面a

13、, 3的法向量，则ni / n2? a/ 3;若ni, n2分别是平面 % 3的法向量，则 “上仅ni n2=0;若n是平面a的法向量，a与平面a平行，则na=0;若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A.1B.2C.3D.4答案 C正确.解析 中平面% 3可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知2.已知两直线的方向向量为a, b,则下列选项中能使两直线垂直的为()A.a=(1, 0, 0), b=(-3, 0, 0)B.a=(0, i, 0), b=(i, 0, 1)C.a=(0, i, i), b=(0, 1, 1)D.a=(1, 0, 0), b=(-1, 0, 0)答案

14、B解析 因为 a=(0, 1, 0), b= (1, 0, 1),所以 a b= 0x 1 +1 x 0+0x 1 = 0,所以 ab,故 选B.3.若直线l的方向向量为 a=(1, 0, 2),平面”的法向量为 严(一2, 0, 4),则()A.l / oB.U oC.l? oD.l 与 a斜交答案 B解析.-all l! 84.平面a的一个法向量为 m=(1, 2, 0),平面3的一个法向量为 n=(2, 1, 0),则平面 a 与平面3的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直 C.垂直D.不能确定答案 C解析. (1, 2, 0) (2, 1, 0)=0, ，两法向量垂直，从而两平面垂直

15、5.已知平面 a与平面3垂直，若平面a与平面3的法向量分别为科=(1,0,5),k(t,5,1),则t的值为.答案 5解析 :平面a与平面3垂直，平面a的法向量 科与平面3的法向量y垂直，心k 0,即(一1)Xt+0X5+5X1 = 0,解得 t=5.规律与方法空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直证明两直线所成的角为 90.(2)若直线与平囿垂直，则此直线与平囿内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l, m, n和平囿a(1)若 l,m, Un, m? a, n? a, m与 n 相交，则l，a(2)若 l / m, m a,则 l a(1)证明直线的方向向量分别与平面内

16、两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向 量是平行向量向向垂直对于直线l, m和平囿% 3若 l, a, l? 3,则 a 3证明两个平面的法向量互相垂直(2)若 l，a, m 3, l，m ,则 a 3(3)若干回a与3相交所成的二面角为直角，则 a_L 340分钟课时作业一、选择题1.设直线li, 12的方向向量分别为 a=(2, 2, 1), b= (3, 2, m),若I1H2,则m等于()A. 2B.2C.6D.10答案 D解析因为a b,故a b=0,即一2X3 + 2X(2)+m=0,解得 m=10.2.若平面 % 3的法向量分别为 a=(-1, 2, 4

17、), b=(x, 1, 2),并且a1 3,则x的值为()11A.10B. 10C.2D.-2答案 B解析因为a_L &则它们的法向量也互相垂直，所以 ab= (-1, 2, 4) (x, 1, 2) = 0,解得x=- 10.3 .已知点 A(0, 1, 0), B(-1, 0, 1), C(2, 1, 1), P(x, 0, z),若 PAL平面 ABC,则点P的坐标为()A.(1, 0, -2) B.(1 , 0, 2) C.(-1, 0, 2) D.(2, 0, - 1)答案 C解析由题意知 AB=(-1, 1, 1), AC=(2, 0, 1), AP=(x, -1, z),又 FA

18、,平面 ABC,所以有 ABaP = (1, 1, 1) (x, 1, z)=0,得一x+ 1-z= 0,一一一，I_小AC AP=(2, 0, 1)(x, 1, z) = 0,得2x + z = 0,联立得x= 1, z= 2,故点P的坐标为(一1, 0, 2).4 .在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线 CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(0, 1, 0), B(1, 1, 0),11 .C(1, 0, 0), D(0, 0, 0), Ai(0, 1, 1), Ci(1, 0,

19、1), E(21 ce= 2, 2, 1 ) aC=(1, t, 0), BD = (-1, 1, 0), A 1D = (0, 1, 1), A 1A=(0, 0, 1),- CE EBD = (-1)X (-2) + (-1)X1+0X1=0,CEXBD.5.若平面% 3垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A.n1(1, 2, 1),皿=(3, 1, 1)B.n 1=(1, 1, 2), n2=(-2, 1, 1)C.n 1=(1, 1, 1), n2=(T, 2, 1)D.n 1=(1, 2, 1),立=(0, 2, 2)答案 A解析 1X ( 3)+2X 1 + 1X 1 =

20、 0,1- n 1 n2 = 0,故选 A.6 .两平面 a, 3的法向量分别为 i= (3, 1, z), v = ( 2, y, 1),若a_L 3,则y+z的值 是()A.-3B.6C.-6D.-12答案 B解析 a_L ? i v = 0? - 6+ y+z=0,即 y+z= 6.二、填空题7 .在三棱锥 SABC 中，/ SAB=/SAC=/ACB=90, AC = 2, BC = Vi3, SB= V29,则异 面直线SC与BC是否垂直.(填“是”或“否”)答案是解析 如图，以A为原点，AB, AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由 AC=2, BC = 713, SB=率,

21、得 B(0,取,0), S(0, 0,4由因为 SC CB=0,所以 SCI BC.8 .已知点P是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，如果 AB= (2, 1, 4), AD=(4, 2, 0), aP = (T, 2, - 1).对于结论： APXAB;APLAD;AP是平面 ABCD的法向量； aP/bD.其中正确的是 .(填序号)答案 解析 .APab=(1, 2, 1)(2, 1, -4) = - 1X2 +2X(-1)+(-1)X(-4)=0, APXAB,即正确；AP aD = (1, 2, -1) (4, 2, 0)=(1)X4+2X2+(1)X0=0, .1.API AD,

22、即正确； 又 ABA AD = A,.APL平面 ABCD,即AP是平面ABCD的一个法向量，即 正确；AP是平面ABCD的法向量，.1.;apBd,即不正确.9.在空间直角坐标系 Oxyz中，已知点 P(2cosx+1, 2cos2x+2, 0)和点Q(cosx, 1, 3),其 中xC0, nt需直线OP与直线OQ垂直，则x的值为.答案72 3解析由题意得OPOQ,cosx (2cosx+ 1) (2cos2x+ 2)= 0.1- 2cos2x cosx= 0, .cosx= 0 或 cosx=2.又 xC0, ntTT 、. 兀.x=2或 x= 10.在 ABC 中，A(1, -2, -

23、1), B(0, -3, 1), C(2, -2, 1).若向量 n 与平面 ABC 垂直, 且|川=寸21,则n的坐标为.答案(一2, 4, 1)或(2, 4, - 1)解析 据题意，得 Ab=(- 1, 1, 2), AC=(1, 0, 2).设 n= (x, y, z),.n与平面ABC垂直,n AB= 0,- -、n AC = 0,y=4z, 可得ly=-2x.-x-y+2z=0,即x+ 2z= 0,|n|=WT, 1- tJx2 + y2 + z2 =421,解得 y= 4 或 y= - 4.当 y=4 时，x= 2, z=1;当 y=4 时，x= 2, z=1.三、解答题11 .如

24、图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAL平面 ABCD,AB = 4, BC=3, AD=5, Z DAB = Z ABC= 90, E是CD的中点.证明:CD,平面 PAE.证明如图，以A为坐标原点,AB, AD, AP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 3, 0), D(0, 5, 0), E(2,4, 0), P(0, 0, h).易知 CD=( 4, 2, 0), Al=(2, 4, 0), AP=(0, 0, h).因为 CD AE=8+8 + 0=0, CD AP=0,所以 CD AE, CDXAP,而AP, AE是平面PAE内的两条相交直线