上海华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题解析版

1、2019 届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题.2an,n106.1,已知数列%的极限是A,如果数列0满足 4=106极限是（）A.3AB.2AC.A【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可.【详解】2an,解：数列an的极限是 A,如果数列bn满足bn=3an,那么数列bn的极限是：3A.故选：A.【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力.2,已知X,yWR,则、1或yA1”是“x+y2”的（A.充要条件 B.必要非充分条件 C.充分非必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】通过反例可知x1或丫：1”是、+丫:2”

2、的非充分条件；利用逆否命题为真可知若x+y2,则x1或 y1 为真，验证出X1或 y1是X+y2”的必要条件，从而可得结果.【详解】_33若 x=一,y=0,则x+y=二2”的非充分条件；22若x+y2,则x1或 yA1 的逆否命题为：若xW1且y1,则x+yW2；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则1或丫1是x+y2”的必要条件；则x：1或y1是x+y2”的必要非充分条件本题正确选项：Bn106【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3.九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖月需”则以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶

3、点为顶点的鳖月需”的个数为()A.12B.24C.48D.58【答案】B【解析】每个顶点对应 6 个鳖月需，所以 8 个顶点对应 48 个鳖月需.但每个鳖月需都重复一次，再除 2.【详解】解：当顶点为 A 时，三棱锥 A-EHG,A-EFG,A-DCG,A-DHG,A-BCG,A-BFG,为鳖月需.所以 8 个顶点为 84=48 个.但每个鳖月需都重复一次，再除 2.所以个数为 24 个.故选：B.【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题.4,函数y=f(x*xWR),m0,若存在实数mM,使得对所有xD,都有mMf(x)MM,则称y=f(xXxwD)宥界，设y=f1(xXxR)是增函数,y=

4、f2(xXxWR)是周期函数，且对所有xwR,fi(x)0,f2(x)0,已知h(x尸fi(x炉2(x)，下列命题中真命题是()A.若h(x)是周期函数，则f1(x)宥界”B.若h(x)是周期函数，则f2(x)宥界”C.若f(x)宥界”则h(x)不是周期函数D.若f2(x)宥界”则h(x)不是周期函数【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可【详解】解：设y=f2(x)的周期为T2,h(x)的周期为Tjf2(x)max=M2,f1(xax=Ml，若h(x)是周期函数，则hxn:尸fixnTif?xnT1):=fxf?x,y=f1(x)(xR)是增函数，即f1(x+nT1

5、)f1(x),f2(x+nTif2(x),若T2=Ti,则f2(x+nTi)f2(x+nTi),显然不成立，若T2Ti,给定S,则存在SwN+使得ff2(x+nT)广f2(x+nT2)1f2(x+nT|尸f2x+(n+s)T2I，f2(x)为周期函数，f2(x+nT2/f2_x+(n+s)T2又f1(xKxWR)是增函数，f2(x+nTi)的值越来越小，无法判定；对于 C,D 选项，h(x+nT2)=fi(x+nT2)f2(x+nT2)=fi(x+nT2)f2(x)若fi(x)有界”即h(x+nT2)Mif2(x)f2(x)为周期函数，h(x)也是周期函数，若f2(x)宥界”则mf2(x产M,

6、h(x+nT2尸fi(x+nT2)f2(x+nT2产f1(x+nT2)f2(x卢M2fl(x+nT2),又y=fi(xXxWR)是增函数，h(x)不是周期函数故选：D.【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题.二、填空题5.行列式19的值为.58【答案】-37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可.【详解】臼19,-解：=1X8-9X5=-37.58故答案为：-37【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题.6.设集合A=1,2,3,4,B=2,0,2,则人行8=.【答案】【解析】利用交集概念及运算即可得到结果.【

7、详解】.A=：1,2,3,4：,B-2,0,2A-B=故答案为：2)【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7,已知向量a=(1,5,7),b=(215)则2+日=.【答案】13I【解析】利用向量加法坐标公式可得a+b的坐标，进而求模即可.a=（5,7）,b=（2js）.ab=3,-412ab=91614413,故答案为：13【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题8 .如果复数z满足z22z+2=0,那么 z=.【答案】2【解析】设 2=2+,利用待定系数法建立方程组求出 a,b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可.【详解】解：设 z=a+bi,贝 U

8、 由 z22z+2=0 得（a+bi）2-2（a+bi）+2=0,即 a2-b2-2a+2+（2ab-2b）i=0,则 a2b22a+2=0且 2ab2b=0，由 2ab2b=0 得 ab-b=0,即 b=0 或 a=1,若 b=0,由得 a2-2a+2=0 此时 a 无解，若 a=1 由得 b2=1,即 b=1 或 b=1,即 z=1+i 或 z=1-i,则|z|=2,故答案为：、,2【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键.9 .椭圆x2+2y2=1的焦距是.【答案】,2【解析】把椭圆 x2+2y2=1 转化为标准方程，然后求出其焦距.椭圆 x2+2y2

9、=1 的焦距是：板.故答案为：.工.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用.12掷一颗均匀的骰子，一共有 6 种可能，其中为质数为 2,3,5,根据概率公式即可求出，一3故所得点数为质数的概率是36-入1故答案为：一2用.11.若圆锥的侧面积与底面积之比为 2,则其母线与轴的夹角大小为【答案】30。【解析】 根据圆锥的底面积公式和侧面积公式， 结合已知可得到答案.解：设圆锥的底面半径为 R,母线长为 1,则:其底面积：S底面积=底2,1其侧面积：S侧面积=一 X2R1=TiRl,22解：把椭圆 x2+2y2=1 转化为：X2=1,a=1,b=10.掷一颗均匀的骰子

10、，所得点数为质数的概率是（结果用最简分数表示）.解：掷一颗均匀的骰子，一共有6 种可能，其中为质数为 2,3,5,本题考查概率的应用，是基础题. 解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运l=2R,进而解三角形得圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，l=2R,一、一，一，A-1故该圆锥的母线与底面所成的角。有 cos0=-,20=60,.该圆锥的轴与母线的夹角大小为 30。，故答案为：30.【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键.12 .从 5 名男教师和 4 名女教师选出 4 人参加组团式援疆”工作，且要求选出的 4 人中男女教师都有，则不同的选

11、取方法的种数为.【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从 5 名男教师和 4 名女教师选出 4 人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案.【详解】解：根据题意，从 5 名男教师和 4 名女教师选出 4 人，有 C/=126 种，其中只有男教师的选法有 C54=5种，只有女教师的选法有 044=1 种，则男女教师都有的选法有 126-5-1=120#；故答案为：120.【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题.13 .若两直线l1：y=kx+k+2,I2:y=2x+4的交点在第一象限，则正整数k=.【答案】1【解析】直

12、接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于【详解】解：两直线 11:y=kx+k+2,I2:y=2x+4,0,解不等式组即可.2-kx=,g2,kk：2,6k4yy=kxk2y-2x4“22解得-vkv2,3所以正整数 k=1.故答案为：1.【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题.)-n14 .若x3-1的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n的最小值是.Ix2J【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的哥指数等于 0,求出 r 的值，即可求得常数项.再根据常数项为正数，求得正整数 n 的最小值.【详解】n解：，x312i的二项式展开式的通项公式为 Tr+1=cn?

13、(-1)r?x3n3,令 3n-5rx=0,因为常数项为正数求得最小的 r=6,故常数项为 C：,为正数，则正整数 n 的最小值为 6,故答案为：6.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.2xa15 .已知 y=TT-(a,beR)既是奇函数，又是减函数，则a+b=.2xb【答案】-12Ta【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 f(-x)=-f(x),则有-2 一 a=-1x2b2xaT-,分析可得 a=-1,b=2 或 a=1,b=-2,将 a、b 的值代入函数的解析式，又两直线的交点在第一象限，则2-kk26k4,k22rb分析其单调

14、性可得 a、b 的值，相加即可得答案.2,a则有f(-x)=-f(x),则有2巴21b变形可得：a=-1,b=2或a=1,b=-2;,2x-111，一一“人 r 一一当a=-1,b=2时，f（x）=241=-一，为增函数，不符合题意；2222-1,2x111当a=1,b=-2时，f（x）=+,为减函数，符合题思；2-222x-1故a=1,b=-2,贝（Ja+b=1；故答案为：-1【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题.16.已知坐标平面上的曲线r和直线i,若1与r有且仅有一个公共点P,且除P之外的所有点都在1的同侧，称1为的一条基线”，

15、则下列曲线中：（Dy=arcsinx；丫:我：丫二;y=x1,没有基线”的是（写出所有符合要求x1x的曲线编号）.【答案】【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果.【详解】3T作出y=arcsinx的图象，显然y=,适合题意；2_1II/*IIIL-1-1A12345【详解】解：根据题意,2xa广尸有”R）是奇函数,a,21xb作出y=3.X的图象，显然不存在基线;一，1，一，一，函数y=一为偶函数，在X=0处取到最大值1,X1所以y=1适合题意；，一一1作出y=x-的图象，显然不存在基线;X综上可知：不存在基线故答案为：本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思

16、想以及计算能力.三、解答题17 .如图，正三棱柱ABC-A1B1C1底面三角形的周长为 6,侧棱长AA1长为 3.(1)求正三棱柱ABC-ABG的体积;(2)求异面直线AC与 AB 所成角的大小.【答案】(1)由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解;本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角,【解析】(1)(2)以 C 为坐标原点，以过 C 且垂直于 AB 的直线为x 轴，以过 C 且平行于AB 的直线为 y 轴，以 CCi所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.解：(1);正三棱柱 ABC-AiBiCi底面三角形的周长为则 AB 边上的

17、高为 J3,-1-S|_ABC=-M2M33=332又侧棱长 AAi长为 3,则正三棱柱 ABC-AiBiCi的体积V=SABC，AA=2j3;(2)以 C 为坐标原点，以过 C 且垂直于 AB 的直线为 x 轴，以过 C 且平行于AB 的直以 CCi所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(百1,0),B(6i,0),Ai(V3,-1,2),AB=(0,2,0yCAi=(-1,2),CAABcosCA,AB=CAAB2x2724异面直线 AiC 与 AB 所成角的大小为4考查运算求解【点能力，考查数形结合思想，是中档题.218 .已知函数f(x)=sinxcosxsinx

18、.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设AABC为锐角三角形，角 A 的对边长J2；角 B 的对边长若f(A)=0,求AABC【答案】(1)兀(2)3+百4【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论.(2)根据 f(A)=0,求得 A 的值，再利用正弦定理求得 B,可得 C 的值，利用 4ABC，一_,1一的面积为一 Fb?sinC,计算求得结果.22二故它的最小正周期为=71.2若 f(A)=-2sin(2A+)=0,24223二一二sin(2A+-)=,.-2A+=,.A=一.JiB=一,C=3故ABC 的面积为1?ab?sinC=1?72?J3?返士

19、Y6=3+3本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应解:(1)函数 f(x)_._21_1-cos2x、,2.=sinxcosx-sinx=sin2x=sinJI2x+一4(2).ABC 为锐角三角形，角A 的对边长 J2,角 B 的对边长 J3,兀一 AB=12sinC=sin再由正弦定理可得5二用，属于中档题.19.某地自 2014 年至 2019 年每年年初统计所得的人口数量如下表所示年份201420152016201720182019人数/千人208221352203227623392385(1)根据表中的数据计算 2014 年至 2018 年每年该

20、地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势;450(2)研究人员用函数P(t)=2000+-n-6554t一拟合该地的人口数量，其中t的单4.4878e1位是年，2014 年初对应时刻t=0,P(t)的单位是干人，设P(t)的反函数为T(X),求T(2400)的值(精确到 0.1)，并解释其实际意义.【答案】(1)见解析，(2)T(2400)=5.5,见解析.【解析】(1)根据表中的数据可得从 2014 年到 2019 人后增加的数量，逐年增多，从 2017 后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的,(2)根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.解：(1)2014 年至

21、2019 年每年该地人口的增长数量为 2385-2082=303 千人,3135-2082=53,2203-2135=68,2276-2203=73,2339-2276=63,2385-2339=46,由上述数据可得从 2014 年到 2019 年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势,一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势,(2)由旧尸2000十4.4878送送6554P(t)的反函数为 T(x),4.4878e4.4878e0.6554t+1=45040018，两边取对数可得 ln4.4878-0.6554t=-ln8,2400=2000+4504.4878e0.6554t必8781n8收90

22、240.6554T(2400)=5.5.:5.5,0.6554其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到 2400 千人.【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题20,设常数m之应，在平面直角坐标系xOy中,已知点F（0,无），直线l:y=m，曲线r：x=Jy2_1（0MyMm）,l与y轴交于点 A 与交于点B,P,Q分别是曲线与线段 AB 上的动点.用m表示点 B 到点 F 的距离；（2）若APFQ=。且FA+FP=FQ,求m的值；设m=2j2,且存在点 P、Q,使得&FP

23、Q是等边三角形，求AFPQ的边长.【答案】（1）|BF=72m-1（2）m=&+1（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形 AFPQ 为正方形，转化为边长相等，即可得到 m 的解；（3）设出 P,Q 坐标利用|PF|=|FQ|求出 t,即可求出两点坐标，进而求出边长.【详解】jy=m解：（1）由口,可得 B（Jm2_1,m）,x=.y-1又 F（0,五）,|BF|=Jm211（m-拘2=J2m2-2&m+1=V2m-1,CQTLTTV（2）由APFQ=0且FA+FP=FQ,则四边形 AFPQ 为正方形，F（0,衣）,A（0,m）,P（1,五）,|AF|=m_.

24、_2,|FP|=1,即m=*：21y=22l(3)由 4,可彳导B(用，x=.y2-12匹），设点Q(t,2 应)，则IFQI=VF72,(ow),设 P(xo,yo),则|PF|=T2y01,.FPQ 是等边三角形,|PF|=|FQ|,即拒y0-1=衣+2，即yo=_j=-,、2考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质,考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.21.已知nN*和3n+1个实数XEX?X3n书,若有穷数列aj由数列XJ的项重新排列而成，且下列条件同时成立：3n个数ak一ak由，ak-an#昼a2n4f*|(1kak_an+akak由都成立，则

25、称2卜为人的一个友数列”【点|FQ|=7-2=3（2）已知fak是通项公式为Xk=k（1MkM3n+1）的数列1xj的一个友数列a=X3n+,求a3n书（用n表示）;”，且设 n 之 2,求所有使得通项公式为ak=qk（1k3n+1）的数列ak不能成为任何数列xk的发数列”的正实数 q 的个数（用n表示）.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）对ai分类讨论即可得到结果；（2）由条件知：3n 个数两两不同，又maxaj=maxxJ=3n+114：3n11士却1,maxtaj=maxx1=1,差值最大为 3n,分类讨论即可得到结果；1工91.Qn（3）根据友数列”的定义，分析

26、即可得到结果.【详解】解：（1）若a1#1,则a2,a3,a4中存在两个1,不妨设ai,aj（2Eij4）,则有a1ai=a1aj与矛盾,故有阚=1,则1a2|1-a3|1a4,一a?_1；：a-1；：8_1,a21,a32,a43即好数列4e2e3。=1,1,2,3；max冶:=max&=11i3n1i3n，差值最大为 3n,而令 k 取 1 时，由a1=3n+1,3n+1a23n+1an七3n+1a2n七,若a2nH2#1,则3n+1a2n也3n,而k#1时，ak_烝+ak_akHn4takaken由故只可能为某个j且j#1使aj-aj341=3n,贝Uaj-aj知十|maxQjenRcSn,矛盾，必有k=1则有3n+1-a2n七=3n,即a2nt=1,其次，若a1一an2-二3n1,（2）由条件知：3n 个数两两不同，又max2=max以.=3n