结构力学静定结构的内力计算图文学习教案

1、会计学1结构力学静定结构力学静定(jn dn)结构的内力计算结构的内力计算图文图文第一页，共104页。 静定结构包括静定梁、刚架、拱、桁架(hngji)、组合结构和悬索等类型。 在任意荷载作用下，如果结构的未知力（支座反力和截面内力）仅用静力平衡条件即能完全(wnqun)确定，则该结构就是一个静定结构。静定结构是无多余约束的几何不变体系，未知力的个数恰好等于独立的静力平衡方程的个数，计算未知力时，不需要考虑位移方面的条件。 第1页/共104页第二页，共104页。一、截面上内力、符号一、截面上内力、符号(fho)的规定：的规定： 轴力轴力截面上应力沿杆轴切线方向的截面上应力沿杆轴切线方向的合力，

2、使杆产生伸长变形合力，使杆产生伸长变形(bin xng)为正为正，画轴力图要注明正负号；，画轴力图要注明正负号； 剪力剪力截面上应力沿杆轴法线方向的合截面上应力沿杆轴法线方向的合力力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势使杆微段有顺时针方向转动趋势(qsh)的为正，画剪力图要注明正负号；的为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩弯矩截面上应力对截面形心的力矩截面上应力对截面形心的力矩, , 通常通常不规定正负号。在水平杆件中，当弯矩不规定正负号。在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。弯矩图使杆件下部受拉时，弯矩为正。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。画在杆件受拉一侧，不注符号。FNFNFQFQM

3、M第2页/共104页第三页，共104页。（2）截面(jimin)内力 x=0： NC60=0 得NC=60 kN y=0： QC60+101.5 =0 得QC=45kNC=0： C601.5101.5(1.5/2)=0得C101.25 kNm（下侧受拉）解：(1)支座(zh zu)反力 A=0 得FBy=60kN () B=0 得FAy=60kN () Fx= 0 得FAx=60kN ( )第3页/共104页第四页，共104页。第4页/共104页第五页，共104页。三、荷载三、荷载(hzi)、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）q(x)d xFQ

4、FQ+d FQ MM+d Mq d xFQ FQ+F Q MM+ M d xFym0qyFQA FQB MAMB（1）微分关系）微分关系QFdxdMqdxdFQqdxMd22（2）增量关系）增量关系yQFF0mM （3）积分关系）积分关系由dFQ = qd x由d M = FQd xBAxxyQAQBdxqFFBAxxQABdxFMM第5页/共104页第六页，共104页。几种典型几种典型(dinxng)的弯矩图和剪力图的弯矩图和剪力图l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载、集中荷载(hzi)作用点作用点M图有一夹角，荷载图有一夹角

5、，荷载(hzi)向下夹角亦向向下夹角亦向下；下；FQ 图有一突变，荷载图有一突变，荷载(hzi)向下突变亦向向下突变亦向下。下。 2、集中力偶、集中力偶(l u)作用作用点点M图有一突变，力矩为顺图有一突变，力矩为顺时针向下突变；时针向下突变；FQ 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；FQ 图为斜直线，荷载向下直图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜线由左向右下斜第6页/共104页第七页，共104页。1.无荷载(hzi)区段 2.均布荷载(hzi)区段3.集中力作用(zuyng)处平行轴线斜直线 FQ=

6、0区段M图 平行于轴线FQ图 M图备注二次抛物线凸向即q指向FQ=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。内力图形状特征第7页/共104页第八页，共104页。四、四、 分段分段(fn dun)叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBFNAFyAFyBFNBMA

7、MAMBqMBMAMMMMMMBMAMAMBMMM0yAF0yBF第8页/共104页第九页，共104页。3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载）集中荷载(hzi)作用下作用下（2）集中）集中(jzhng)力力偶作用下偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂）悬臂(xunb)段分布荷载作用段分布荷载作用下下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图例：第9页/共104页第十页，共104页。分段分段(fn dun)叠加法作弯矩图叠加法作

8、弯矩图的方法的方法 根据上述分析，作弯矩图的大致步骤归纳为：（1）通常先求出支座反力。（2）分段。将外力的不连续点作为分段点（集中力和集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点等），用截面法求出分段点处（控制截面）的弯矩值。（3）叠加法作图。将每两个相邻控制截面的弯矩值连直线，当控制截面间有荷载时，还应叠加这一段按简支梁求得的弯矩图；当相邻控制截面间没有荷载时，弯矩图为直线。 静定结构内力计算过程中需注意的几点问题：（1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画在杆件任一边，需要标注正负号。（2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长度应成比例。（3）截面法

9、求内力所列平衡方程(fngchng)正负与内力正负是完全不同的两套符号系统，不可混淆。第10页/共104页第十一页，共104页。第11页/共104页第十二页，共104页。（3）作剪力图。AB、BC、DE、EF段上无荷载作用，则剪力值应为常数，FQ图为水平线；CD段上有均布荷载作用，FQ图应为斜直线；E处的集中力偶对剪力没有影响。根据剪力图的规律(gul)，从A端开始，自左至右可作出整个结构的FQ图。第12页/共104页第十三页，共104页。多跨梁第13页/共104页第十四页，共104页。一、静定一、静定(jn dn)多跨梁的几何组成特性多跨梁的几何组成特性 静定多跨梁常用于桥梁结构。从几何组成

10、特点静定多跨梁常用于桥梁结构。从几何组成特点(tdin)看，它的组成可以分为基本部分和看，它的组成可以分为基本部分和附属部分。附属部分。二、分析静定二、分析静定(jn dn)多跨梁的一般步骤多跨梁的一般步骤 对如图所示的静定多跨梁，应先从附属部分对如图所示的静定多跨梁，应先从附属部分CE开始分析开始分析：将支座：将支座C 的支反力求出的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向加在基本部的反力反向加在基本部分分AC 的的C 端作为荷载端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩再进行基本部分的内力

11、分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。CA E（a）（b）EACACE（c） 如图所示梁，其中如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与基础组成一个几何不变部部分不依赖于其它部分，独立地与基础组成一个几何不变部分，称它为分，称它为基本部分基本部分；而；而CE部分就需要依靠基本部分部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性才能保证它的几何不变性，相对于，相对于AC 部分来说就称它为部分来说就称它为附属部分附属部分。第14页/共104页第十五页，共104页。解:(1)将沿杆长方向(fngxing)

12、的自重荷载q1换算成沿水平方向(fngxing)的荷载 ,1q则斜梁上沿水平方向(fngxing)的总荷载为 12q=qq第15页/共104页第十六页，共104页。（2）计算(j sun)支座反力，得 。,AxAyByqlqlF=0,F=F=22（3）用截面(jimin)法计算任一截面(jimin)C的内力。220220 xqxxqlMxqlxqxMMCCC，得，由sin2sin0sin2sin0qlqxFqlqxFFNCNCx，得，由coscos20cos2cos0qxqlFqlqxFFQCQCy，得，由（4）根据上面(shng min)的内力方程，可作出相应的内力图。第16页/共104页第

13、十七页，共104页。 该斜梁的弯矩图是一条二次抛物线，剪力图(lt)和轴力图(lt)是斜直线。 将斜梁的内力图和同跨度同荷载的水平梁相比较（为加以区分，水平梁的内力数据加上标），在相同的截面(jimin)上，有以下关系成立：，)()(0 xMxM，cos)()(0 xFxFQQsin)()(0 xFxFQN第17页/共104页第十八页，共104页。（2）根据(gnj)各杆的受力图，可作出该多跨梁的内力图。第18页/共104页第十九页，共104页。第19页/共104页第二十页，共104页。第20页/共104页第二十一页，共104页。第21页/共104页第二十二页，共104页。 刚架是由梁和柱以刚

14、性结点相连组成的，其优点是将梁柱刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理匀合理(hl)(hl)，便于形成大空间。，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e) 下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋）是多层多跨房屋(fngw)，图（，图（c）是具有部分铰结点的刚架。）是具有部分铰结点的刚架。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；）结

15、构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：第22页/共104页第二十三页，共104页。1 1、悬臂、悬臂(xunb)(xunb)刚架刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架4、主从、主从(zhcng)刚架刚架常见的静定常见的静定(jn dn)刚架类型刚架类型第23页/共104页第二十四页，共104页。 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面面(jimin)(jimin)的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和

16、刚架的内力图。二、刚架支座二、刚架支座(zh zu)反力的计算反力的计算 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立在支座反力的计算过程中，应尽可能建立(jinl)(jinl)独立方独立方程，避免解联立方程组。程，避免解联立方程组。由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的。由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的。 刚架内力图的符号规定与梁相同，弯矩图画在杆件的受拉边刚架内力图的符号规定与梁相同，弯矩图画在杆件的受拉边，不需要标注正负号，剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但，不需要标注正负号，剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但需要标注正负号。为了保证结果的准确性，可对内力图进行校核

17、需要标注正负号。为了保证结果的准确性，可对内力图进行校核，通常可取结点或某一部分杆件，验算其是否满足平衡条件。，通常可取结点或某一部分杆件，验算其是否满足平衡条件。第24页/共104页第二十五页，共104页。如图（如图（a a）三铰刚架，具有四个支座）三铰刚架，具有四个支座(zh zu)(zh zu)反力，可以利反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点用三个整体平衡条件和中间铰结点C C 处弯矩等于零的局部平衡条处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座(zh zu)(zh zu)反力。反力。FXAMB00AMl /2l /2qA

18、BCf(a)qfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXBlqfFffqlFyAyA2022lqfFffqlFyByB20220 xFqfFFFqfFxBxAxBxA0第25页/共104页第二十六页，共104页。FXAqfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXBfl /2C(c)FYBFXBBFXCFYC0CM于是(ysh)O对对O点取矩即得：点取矩即得： 0OMqfFFxBxA02lFfFyBxB4qfFxB43qfFxA0232fqffFxA43qfFxA第26页/共104页第二十七页，共104页。l /2l /2qABCfOABDCqOO注意注意(zh y)：三铰刚架结构中，支

19、座反力的计算是内力计算的关键三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键。通常情况下，支座反力是两两耦联的，需要通过解联通常情况下，支座反力是两两耦联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以支座反力的静力平衡方程，可以(ky)大大降低计算大大降低计算反力的复杂程度和难度。反力的复杂程度和难度。第27页/共104页第二十八页，共104页。FXCFXCFYCFXDFYBFYAFXAQCABqFYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c) 如右图如右图(a)是一个多是一个多跨刚架，具有跨刚架，具有(jy

20、u)四四个支座反力，根据几何个支座反力，根据几何组成分析：以右是基组成分析：以右是基本部分、以左是附属部本部分、以左是附属部分，分析顺序应从附属分，分析顺序应从附属部分到基本部分。部分到基本部分。第28页/共104页第二十九页，共104页。 刚架内力图刚架内力图(lt)基本作法是把刚架拆成杆件，先求各杆的杆端基本作法是把刚架拆成杆件，先求各杆的杆端内力内力(求杆端内力的基本方法是截面法求杆端内力的基本方法是截面法)，然后利用杆端内力分，然后利用杆端内力分别作各杆的内力图别作各杆的内力图(lt)，各杆内力图，各杆内力图(lt)合在一起就是刚架的内力图合在一起就是刚架的内力图(lt)。画画M图时，

21、将弯矩图形画在杆件受拉边，连以直线，再叠加杆图时，将弯矩图形画在杆件受拉边，连以直线，再叠加杆上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。FQ，FN 图要标明，号；各竖标大致成比例。图要标明，号；各竖标大致成比例。求杆端内力时应注意在同一结点处有不同的杆端截面，同时求杆端内力时应注意在同一结点处有不同的杆端截面，同时要注意结点的平衡条件。要注意结点的平衡条件。三、刚架的内力分析三、刚架的内力分析(fnx)及内力图的绘制及内力图的绘制第29页/共104页第三十页，共104页。 例例1. 试计算试计算(j sun)图图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、所示简支刚架的支座反力

22、，并绘制、FQ和和FN图。图。(1)支座支座(zh zu)反力反力20 kN/mAB4m160 kNm(c)解解。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。40160AB(d)M图图00804200QBAQBAxFFFkNFFFNBANBAy200200mkNMMMBABAB160048024200kNFkNFkNFyByAxA602080(a)2m2m4mABCD40 kN20 kN/m80 xAF20yAF60yBF20 kN/mAB4m2080BAM(b)NBAFQBAF第30页/共104页第三十一页，共104页。2m2mBD40kN160kNm16040BD40160A

23、B160D40M图图 (kNm）M图图2m2m4mABCD40kN20kN/m6020802m2m40kNBD60BDMNBDFQBDF00NBDxFFkNFFQBDy200mkNMMBDD160020 kN/mAB4m2080BAMNBAFQBAF802060FQ图（图（kN)第31页/共104页第三十二页，共104页。200B40160AB160D40M 图图 (kNm）NBAFNBDF20FN图（图（kN)802060FQ图（图（kN)第32页/共104页第三十三页，共104页。例2 试绘制(huzh)下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm2m2m4m10kN20kN10kN10kNA

24、BCDE10kN10kN40kNmADBE10kN20kN40kNmD204020DCME4040ECMDCE20kNm40kNm402040M图（kNm）第33页/共104页第三十四页，共104页。例例3: 作图示三铰刚架内力图作图示三铰刚架内力图(lt)。1.385kN4.5kN1.5kN1.385kN解：解：(1) 求支座求支座(zh zu)反力反力考虑整体考虑整体(zhngt)平衡平衡:由由BEC部分平衡：部分平衡：0BM12(1 6) 90yAF064.51.5( )yyBFFkN0CM6.51.5 60 xBF1.5kN1.385kNBFyCFxC4.5mFyBECFxB6m2m0

25、1.385()xxAFFkN考虑整体平衡考虑整体平衡:4.5m6m6mABDEC2m1kN/mFyAFxAFyBFxB4.5( )yAFkN1.385()xBFkN第34页/共104页第三十五页，共104页。(2) 作作M 图图斜杆斜杆(xi n)DC中点弯矩为：中点弯矩为：21 66.23821.385. ()MkN m中下拉1kN/m1.3856.23M 图图(kN.m)6m6mABDEC4.5m2m(3) 作作F Q 图图 斜杆斜杆(xi n)可用力矩方程求剪力，竖可用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。杆、水平杆用投影方程求剪力。对于对于(duy)DC杆：杆：0CM 0DM

26、1(1 6 3 6.23)4024.233.8340QDCFkN 1( 1 6 36.23)4011.771.8640QCDFkN FQDC6.23FQCD40D6mC1 kN/m1.385kN1.5kN4.5kN1.385kN1.385 4.56.23MkN mDA6.23第35页/共104页第三十六页，共104页。1.385kN1.5kN4.5kN1.385kN3.83QDCFkN1.86QCDFkN FQCE6.23FQEC40E6mC对于对于(duy)EC杆：杆：竖杆竖杆AD、BE的剪力用投影的剪力用投影(tuyng)方程很容易求得方程很容易求得。0EM 6.230.985400.98

27、5QCEQECFkNFkN 剪力图剪力图(lt)见右下图：见右下图：0.991.391.393.831.86FQ 图图 (kN)ABDEC(4) 作作FN 图图各杆均用投影方程求轴力。各杆均用投影方程求轴力。结点结点D：1310FNDCsD1.3854.513(4.5sin1.385cos )(4.51.385)10108.655102.737(NDCFkN 压)0SF 第36页/共104页第三十七页，共104页。1.791.5结点结点(ji din)E：(1.5sin1.385cos)13(1.51.385)10105.655101.788(NECFkN 压)0SF 1.788(NCEFkN

28、 压)FNEC1.3851.5sE13101.5kN1.385kN4.5FN 图图 (kN)ABDEC4.5kN1.385kN杆杆DC：(1.5sin1.385cos )13(1.51.385)10102.655100.839()NCDFkN 压轴力图轴力图(lt)见下见下图：图：1.385FNCD4.5sDC1 kN/mFQCD2.737(NDCFkN 压)2.740.84第37页/共104页第三十八页，共104页。例例4 试作图示两层刚架的试作图示两层刚架的M图。图。解：组成解：组成(z chn)次序次序-先固定下部，再先固定下部，再固定上部固定上部（1）先求约束力和支反力，如图）先求约束

29、力和支反力，如图(a)。（2）作作M图图第38页/共104页第三十九页，共104页。例例5: 作图示主从作图示主从(zhcng)刚架的内刚架的内力图。力图。2kN2kNAC2m4m4 kN/mKBDEHG2m2mF2mFxAFyGFyKFxKFyDFxDAC2m4 kN/mBD2m2m2kN解：解：ACD为附属部分，为附属部分，其余其余(qy)为基本部分。为基本部分。 支座支座(zh zu)反反力力考虑刚架整体平衡：考虑刚架整体平衡：0DM42 2(4 2) 10 xAF 01()xxKFFkN0KM032302( )yyKFFkN44 2(4 8) 40yGF 30( )yGFkN3()xA

30、FkN考虑附属部分考虑附属部分ACD：FxA= 8kN= 1kN第39页/共104页第四十页，共104页。2kN2kNAC2m4m4 kN/mKBDEHG2m2mF2mFyG = 30kNFyK = 2kN 作作M 图图M 图图（kN m）88848FxA= 3kNFxK = 1kNDACKBEHGF624284取取DE为隔离为隔离(gl)体体：D2m4 kN/mE1kNFQEDFNED= 12kN= 1kN8kNMED= 24kNm第40页/共104页第四十一页，共104页。FQ图图（kN）11302FN 图图（kN） 作作FQ 图图 杆端剪力可以用投影杆端剪力可以用投影方程方程(fngch

31、ng)或力矩方或力矩方程程(fngchng)求解，本题求解，本题剪力很容易用投影方程剪力很容易用投影方程(fngchng)求得。求得。 作作FN 图图 各杆轴力可以用投影方程各杆轴力可以用投影方程求解。求解。 也可以根据剪力图，也可以根据剪力图， 选选取取(xunq)各结点为隔离体，各结点为隔离体，用投影方程求轴力。用投影方程求轴力。E14161-1-3020011C311614221FACKBDEHGACKDEHG第41页/共104页第四十二页，共104页。静定刚架的静定刚架的 M 图正误判别图正误判别利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应(duyng)关系，可在绘制内力图时减 少错误，

32、提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。M图与荷载情况不符图与荷载情况不符。M图与结点性质图与结点性质、约束情况不符约束情况不符。作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶(l u)(l u)不满足平衡条件。不满足平衡条件。第42页/共104页第四十三页，共104页。内力图形状(xngzhun)特征1.无荷载(hzi)区段 2.均布荷载(hzi)区段3.集中力作用处平行轴线斜直线 FQ=0区段M图 平行于轴线FQ图 M图备注二次抛物线凸向即q指向FQ=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.

33、集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。第43页/共104页第四十四页，共104页。q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）ABC（e）ABC（f）第44页/共104页第四十五页，共104页。ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm第45页/共104页第四十六页，共104页。（3）（ ）（5）（ ）（2）（ ）（4）（ ）（1）（ ）（6）（

34、 ）第46页/共104页第四十七页，共104页。（9）（ ）题2-1图（10）（ ）（11）（ ）（12）（ ）（7）（ ）（8）（ ） m m第47页/共104页第四十八页，共104页。速绘弯矩图PaPaaalPaP P PPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2第48页/共104页第四十九页，共104页。mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPa第49页/共104页第五十页，

35、共104页。Paaaa aaPPmaaaaPPPh0 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh第50页/共104页第五十一页，共104页。拱的实例拱的实例(shl)三铰拱的特点三铰拱的特点(tdin)P2FHAFVAFVBP1FHB三铰拱的类型三铰拱的类型(lixng)、基本参数、基本参数lf101lf曲线形状：抛物线、圆弧、悬链线.3-4 静定拱静定拱拱是轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平支座反力（推力）的结构。第51页/共104页第五十二页，共104页。 拱身各横截面形心的连线称为拱轴线，拱两端与支座联结处称为拱趾，通常两拱趾处于同一高度上，这样的拱称为平拱

36、。两拱趾处于不同高度上的拱称为斜拱。拱轴线上的最高点称为拱顶，三铰拱的中间(zhngjin)铰通常布置在拱顶处。两拱趾间的水平距离称为拱的跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离称为拱高。拱高与跨度的比值称为高跨比。第52页/共104页第五十三页，共104页。拱结构的应用：主要(zhyo)用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构(jigu)的优缺点： a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此(ync)它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。c、由于拱结构会对下部支

37、撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大 第53页/共104页第五十四页，共104页。1.三铰拱的支座三铰拱的支座(zh zu)反力和内力反力和内力一、支座反力 与同跨度同荷载(hzi)的简支梁比较FP2FHAFV AFVBFP1FHBAVFBVFFP1FP2a1a2b1b2xxd1DFV AFHFP1d1cl1ffyAVAVPPAVBFFbFbFlFM221110BVBVPPBVAFFaFaFlFM221110HBHAHxFFFF0MC00111fFdFlFHPAVfMFfFMCHHC0ll1l2cc第54页/共10

38、4页第五十五页，共104页。 由前面计算可见： 三铰拱的竖向支座反力与相应(xingyng)简支梁的相同，水平反力等于相应(xingyng)简支梁C点的弯矩除以拱高f。FH与f成反比，f越小,FH越大，f越大， FH越小。也就是说：f越小，拱的特性就越突出。 第55页/共104页第五十六页，共104页。AVFFQoMoFP1FV AFHFP1FQoFHMDxy二、内力计算二、内力计算(j sun) 以截面以截面D为例为例截面内弯矩要和竖向力及水平力对截面内弯矩要和竖向力及水平力对D D点构成点构成(guchng)(guchng)的力矩相平衡，借用简支梁的数的力矩相平衡，借用简支梁的数据。据。y

39、FaxFxFMHPAV11)93( yFMMHFFosincosHQQFFFcossinHQNFFF三、受力特点三、受力特点(tdin)（1）在竖向荷载作用下有水平推力FH;（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;（3）拱内有较大的轴向压力FN.x-a10DM第56页/共104页第五十七页，共104页。xq=2kN .mP=8kN3mx2=3m7.5kNFVAFHFVB2y2y012345678AB例 1、三铰拱及其所受荷载(hzi)如图所示,拱的轴线为抛物线方程yflx lx42计算(j sun)反力并绘制内力图(lt)。（1）计算支座反力kNFFAVAV111238962kNFF

40、BVBV91298362kNfMFCH5 . 74362611（2）内力计算yflx lxm222444123 1233tgdydxflxlxx2334124412123120667.22233 4105550832,sin.,cos.mkNyFMMH5 . 135 . 75 . 132311222kNkNFFFHQQ003. 00025. 0555. 05 . 7832. 03211sincos2222kNFFFHQN015. 9832. 05 . 7555. 03211cossin22226m6mf=4mkN11kN9kN5 . 7以截面2为例第57页/共104页第五十八页，共104页。x

41、q=2kN .mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M 图kN.mFQ 图 kNFN 图 kN13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500绘制绘制(huzh)内力内力图图第58页/共104页第五十九页，共104页。一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内 力，它们力，它们(t men)(t

42、men)可以用一个合力来表示。可以用一个合力来表示。一个结构在一组力的作用下，如果一个结构在一组力的作用下，如果(rgu)保持平衡，保持平衡，那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。2.三铰拱的压力线及合理拱轴线三铰拱的压力线及合理拱轴线 先复习先复习(fx)几个概念：几个概念：=R=MFNFQRM第59页/共104页第六十页，共104页。 若用合力若用合力FRFR代替代替(dit)(dit)截面所有内力，则其偏心距为截面所有内力，则其偏心距为e = M/FNe = M/FN，显然我们可，显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。以求出各个截面的合力

43、大小、方向和作用点。2.三铰拱的压力三铰拱的压力(yl)线线 拱与梁结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。拱与梁结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。因此拱结构可采用受压性能良好经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料而受拉性能较差的脆性材料(cilio)（如砖石、素混凝土）建造，以保证其良好的（如砖石、素混凝土）建造，以保证其良好的经济性。经济性。 拱截面一般承受三种内力拱截面一般承受三种内力：M、FQ、FN。MFQFNeFR 在荷载作用下，三铰

44、拱的任意截面一般有弯矩剪力轴力三个内力分量。这三个内力在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有弯矩剪力轴力三个内力分量。这三个内力分量可用它的合力代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些分量可用它的合力代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。折线或曲线成为三铰拱的压力线。下面我们研究拱截面的受力情况。下面我们研究拱截面的受力情况。第60页/共104页第六十一页，共104页。1PF2PF3PF1PF2PF3PFARFBRF1223ABC1k2k3k1223FGH（1）确定(qudng)各截面合力的大小和方向：数解ARFBRF绘力多

45、边形O为极点(jdin)，射线12、23 D（2）确定各截面合力的作用(zuyng)线 (利用索线)索多边形AFGHB,合力多边形压力多边形,压力线压力线大小和方向作用线ARFBRFoDr 如果是分布荷载，压力线呈曲线，称为压力曲线；如果是集中荷载，压力线呈多边形，称压力多边形。 压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力FR若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。DRDDrFMDRDDQFFsinDRDDNFFcosD第61页/共104页第六十二页，共104页。3.三铰拱的合理三铰拱的合理(h

46、l)轴线轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理(hl)拱轴线。由上述可知，按照压力线设计的拱轴线就是合理(hl)轴线。yFMMH 它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状(xngzhun)有关。令0yFMMH 可见，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与简支梁弯矩图可见，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与简支梁弯矩图的纵坐标值成正比。的纵坐标值成正比。 )123( HFxMxy从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。对拱结构而言，任一截面上的弯矩计算式为：第62页/共1

47、04页第六十三页，共104页。例3-10 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载(hzi)，求其合理轴线。yxxqABqfl/2l/2ABCql2ql2解解 由式 HFxMxy先写出简支梁的弯矩方程(fngchng)： Mxqx lx2拱的推力为：fqlfMFCH82所以(suy)拱的合理轴线方程为： y xqx lxfqlflx lx28422 注注 意意*合理轴线对应的是合理轴线对应的是 一组固一组固定荷载；定荷载；实际设计中，实际设计中，合理拱轴线是针对主要合理拱轴线是针对主要荷载，并使在各类荷载荷载，并使在各类荷载的不利组合下拱的弯矩的不利组合下拱的弯矩最小。最小。 *合理轴线是一组

48、。合理轴线是一组。第63页/共104页第六十四页，共104页。例例3-11 3-11 求在图示荷载作用下该三铰拱的合理求在图示荷载作用下该三铰拱的合理(hl)(hl)轴线。轴线。BCAyx2a4a2a2aq解：分析整体平衡(pnghng)和AC部分的平衡(pnghng)，可得到，FHA=1.5qa,FVA=3.5qaMDFVAFHAFNDDAFQD取任一部分AD为隔离体，列力矩(l j)平衡方程，得,MD=FVAx-FHAy-qx2/2 =3.5qax-1.5qay-qx2/2q令MD=0，3.5qax-1.5qay-qx2/2=0，可得合理轴线方程为：y=(7ax-x2)/3a第64页/共1

49、04页第六十五页，共104页。例3-12 设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明(zhngmng)其合理轴线是圆弧曲线。证明 设拱在静水压力作用(zuyng)下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。qdsRR+dRdoyNDNEd/2d/2qdSR dMNRNRdRNNNDEDE000这表明拱在法向均布荷载(hzi)作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。002sin20dNRdqdNdSqy因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。qNRqRNDE第65页/共104页第六十六页，共104页。例3-13 设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱

50、的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 。yqqCqcyqqcqc+.ffxyyy*0yfFMyFMMHH解解由拱截面弯矩计算式yFMMH在本例的坐标系中可表达为：fFMyH因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：M22221dxMdFdxydH对简支梁来说， d Mdxq x22 而 q xqyc,yqFdxydcH122即,HcHFqyFy 特征方程为：HHFF02xHFxHFeCeCy21eshxchxechxshxxx xFshBxFchAxyHH设其特解 yaaqc ,代入原方程， cHHqxFshBxFchAxy设xyAqxyBc 00000,1xFchqyHc悬链线

51、第66页/共104页第六十七页，共104页。3-4 静定平面静定平面(pngmin)桁架桁架 桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点(ji (ji din)din)上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。是最理想的一种结构形式。理想理想(lxing)桁架：桁架：（1 1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；（2 2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；（3 3）荷载和支座反力都作用在

52、结点上）荷载和支座反力都作用在结点上上弦杆腹杆下弦杆实际桁架：主内力、次内力实际桁架：主内力、次内力一、一、 桁架的概念和组成分类桁架的概念和组成分类第67页/共104页第六十八页，共104页。第68页/共104页第六十九页，共104页。第69页/共104页第七十页，共104页。1、结点、结点(ji din)法法结点上各力组成结点上各力组成(z chn)平面汇交力系，其平衡条平面汇交力系，其平衡条件为：件为： 尽量建立尽量建立(jinl)独立方程（一个方程只含一个未知量）；独立方程（一个方程只含一个未知量）； 避免使用三角函数：避免使用三角函数：llxly 在结点受力图上，已知力按实际方向画在

53、结点受力图上，已知力按实际方向画，未知轴力先假设为拉力，未知轴力先假设为拉力 （箭头背离结点）画（箭头背离结点）画出。出。二、计算桁架内力的方法二、计算桁架内力的方法分析时的注意事项：分析时的注意事项：0 xF 0yF NFNF1NFNFyFxFyNxyxFFFlllNyNxyxllFFFFllFP2NF3NF第70页/共104页第七十一页，共104页。例例3-13 图示一施工托架图示一施工托架(tu ji)的计算简图，的计算简图， 在所示荷载作用下，试求各杆的轴力。在所示荷载作用下，试求各杆的轴力。解：解： （1）计算）计算(j sun)支座反支座反力力（2）作结点）作结点A的隔离体图的隔离

54、体图）（）（压力拉力kN33kN8 .34NNACADFF（4）作结点）作结点D的隔离体图的隔离体图）（）（压力压力kN8kN33NNCDCEFF）（）（拉力压力kN5 .37kN4 . 5NNDFDEFF（3）作结点）作结点C的隔离体图的隔离体图第71页/共104页第七十二页，共104页。（5）利用对称性）利用对称性 桁架桁架(hngji)和荷载都是对称的，桁架和荷载都是对称的，桁架(hngji)中的内中的内 力也是对称的。各杆的轴力如图力也是对称的。各杆的轴力如图（6）校核）校核(xio h)：取结点取结点E 为了避免解联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始(kish)计算。总之，结点法

55、最适用于计算简单桁架，如果截取结点的次序与桁架组成时添加结点的次序相反，就可以顺利地求出全部轴力。第72页/共104页第七十三页，共104页。1N2N1N2N01N02NPN 102N1N2N3N21NN 03N1N12NN2N 结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线时，则此杆件称结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线时，则此杆件称为该结点的结点单杆。为该结点的结点单杆。 性质：结点单杆的内力可直接性质：结点单杆的内力可直接(zhji)(zhji)根据静力平衡条件求出。根据静力平衡条件求出。零杆零杆第73页/共104页第七十四页，共104页。12

56、34567891011ABCDABC例：试指出例：试指出(zh ch)图示静定桁架中轴力为零的杆件（零杆）。图示静定桁架中轴力为零的杆件（零杆）。第74页/共104页第七十五页，共104页。 截面法是用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出截面法是用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为隔离体，利用平面任意（一般）力系的三个一部分为隔离体，利用平面任意（一般）力系的三个平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。如果所切各平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。如果所切各杆中的未知轴力只有三个，它们既不相交杆中的未知轴力只有三个，它们既不相交(xingjio)(xingjio)于同一点，于同一点，也不

57、彼此平行，则用截面法即可直接求出这三个未知也不彼此平行，则用截面法即可直接求出这三个未知轴力。因此，截面法最适用于下列情况：联合桁架的轴力。因此，截面法最适用于下列情况：联合桁架的计算，简单桁架中少数杆件的计算。计算，简单桁架中少数杆件的计算。注意：计算时，假设未知轴力为拉力。注意：计算时，假设未知轴力为拉力。为了避免解联立方程，应注意对平衡方程加以选择。为了避免解联立方程，应注意对平衡方程加以选择。3. 截面截面(jimin)法法第75页/共104页第七十六页，共104页。0,80,8kNxAxAxFFF由得，0, 10 28 370,6.29kNAByByMFF 由得，0100,3.71k

58、NyAyByAyFFFF由，得，FAx第76页/共104页第七十七页，共104页。FAx080,0kNxNDENDEFFF由，得，08 3703.43kNANBFNBFMFF 由，得，第77页/共104页第七十八页，共104页。AB1234512346ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcde(1)aNFbNF2d34112PP5 . 1aNFbNFPFPFFAaNY5 . 00025 . 13402dPdFMbNPFbN25. 2例例1 1、求图示平面、求图示平面(pngmin)(pngmin)桁架结构中指定杆件的内力。桁架结构中指定杆件的内力。第78页/共104页第七十九页

59、，共104页。AB1234512346ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcde(2)cNFcNFB454PP5 . 1dePPPFcY5 . 05 . 1PFFcYcN625. 045第79页/共104页第八十页，共104页。AB1234512346ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcdedNF4B45PP5 . 1eXFeYFk2d2d025 . 122dPddPFdNPFdN25. 0 04M0kMPFeX25. 2PFFeXeN1043310(3)eNdNFF第80页/共104页第八十一页，共104页。 0XF 0YF 0MOy截面单杆：任意隔离体中，

60、除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点（或彼此一点（或彼此(bc)(bc)平行）时，则此杆件称为该截面的截面单杆。平行）时，则此杆件称为该截面的截面单杆。 性质：截面单杆的内力可直接根据隔离体的平衡条件求出。性质：截面单杆的内力可直接根据隔离体的平衡条件求出。截面截面(jimin)单杆的概念单杆的概念第81页/共104页第八十二页，共104页。ABCDP1P212N1DABCDP1P2210NMDN220NMC第82页/共104页第八十三页，共104页。PABFAFBFB。kPP。kP在计算联合桁架和某些复杂桁架时，