北京高一数学下学期期末考试试题

1、北京师范大学附属中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（每小题 4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项）1 .若实数a, b满足a>b,则下列不等式一定成立的是（）22112233A. a b B. - - C. a b D. a b a b2 .对变量x,y有观测数据理据（Xi,yi ）（i 1,2,，10）,得散点图1：对变量u,v有观测 数据（ui,vi）（i1,2,，10）,得散点图2,由这两个散点图可以判断（）15 / 12A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负

2、相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关3.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计， 统计数据用茎叶图表示（如图所示）。设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为 m甲，m乙，m乙B.x甲x乙，m甲m乙m乙D.x甲x乙，m甲m乙A. x甲x乙,m甲C. x甲又乙，m甲4.执行下面的程序框图，如果输入a= 4,那么输出的n的值为（5.A. 2公差不为零的等差数列的第B. 31项、第6项、第21项恰好构成等比数列,则它的公比为A. -B. -C. 333D. 36 .下列命题中正确的是（）A.若两条直线都平行于同一个平面，则这两条

3、直线平行;B.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；C.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面；D.若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。7 .某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. 2 . 3正由视图 M 视囹帽视图B. 3.2C. 2.2D. 28.在 ABC 中,BC边上的高等于41-BC ,则 cosA=()3A 3 10 八.10B 10B.10C.10103.10D. 10二、填空题（每小题5分，共30分）9. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有 56人，按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为

4、28的样本，那么应抽取女运动员人数是x 3,10.若x,y满足x y 2 ,则x2y的最大值为辆。y x,11 .如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有12 .边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落 2 一 一在阴影区域内的概率为2,则阴影区域的面积为313 .若不等式a |x| x2 2对任意实数x恒成立，则a的取值范围是k （k为常数），则称an为等14 .数列 an中，如果对任意n N *都有 包二一如an 1 an差比数列，k称为公差比，现给出下列命题:等差比数列的

5、公差比一定不为0;等差数列一定是等差比数列；若an3n 2 ,则数列an是等差比数列;若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比;其中正确的命题的序号为三、解答题(共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15 .(本小题12分)，一，一 2在 ABC中，角C 。3(I)若 c2 5a2 ab ,求 sin-B ;sin A(n)求sin A sin B的最大值。16 .(本小题13分)手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。为了解A, B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A, B两个型号的

6、手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下:手机编号12345A型待机时间(h)120125122124124B型待机时间(h)118123127120a已知A, B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。(I )求a的值；(n)判断A, B两个型号被测试手机待机时间方差的大小(结论不要求证明)；(出)从被测试的手机中随机抽取A, B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。17 .(本小题13分)如图，在三棱柱 ABC AB1C1中，AA底面ABC / BAC= 90° , AB AC 2, AA1 & M N分别为BC和CC的中点，P为侧棱BB1上的

7、动点。(方用图)(I )求证：平面 APML平面BB1cle ；(n)若P为线段BB1的中点，求证： A1N /平面APM(出)试判断直线 BC与平面APM否能够垂直，若能垂直，求 PB的值；若不能垂直,请说明理由。四、填空题(每小题 3分，共15分，请将答案填在题中的横线上)18 .记X2 xi为区间xi,X2的长度，已知函数y 2|x|,x 2, a(a 0),其值域为m,n,则区间m,n的长度的最小值是 。19 .设三棱柱ABC AB1C1的体积为10,点P, Q分别是侧棱 AAi、CCi上的点，且 PA QC1 ,则四棱锥B APQC的体积为。20 .设坐标平面内有一个质点从原点出发，

8、沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1个单位，经过5次跳动质点落在点(1,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有4.一 .21 .函数f(x) | x a| a在区间1,4上的最大值是5,则实数 a的取值范围是x(x 1) sin x22 .设函数f (x) ()2的最大值为M,最小值为m则M m =x 1五、解答题(共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23 .(本小题11分)设m R,不等式mx2 (3m 1)x 2(m 1) 0的解集记为集合P。(I)若 P x| 1 x 2,求 m的值；(n)当m 0时，求集合P；(出)若x| 3x2 P,求m的取值范围。24

9、 .(本小题12分)已知an是递增的等差数列，Sn为an的前n项和，且S5 5,a3,a4,a7成等差数列。(I)求数列an的通项公式；(n)求1 a1 | 1a2 | | aioo | 的值;,4“一 _ _ n an_ (出)若集合n(1尸6,n N 中有且仅有2个元素，求实数的取值范围。25 .(本小题12分)有限数列An : a1 ,a2, , an.(n 3)同时满足下列两个条件：对于任意的i,j(1 i j n),aia-对于任意的i,j,k(1 i j k n),aiaj,ajak,aiak三个数中至少有一个数是数列An中的项。(I)若 n 4,且 41,a22,a3 a, a4

10、6 ,求 a 的值；(n)证明：2, 3, 5不可能都是数列 An中的项;(出)求n的最大值。【试题答案】、选择题（每小题 4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678DCBBCDAC、填空题(每小题 5分，共30分)26 1210. 911.54Pt_ r一一一12. 813. a 2姓14.3三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（I）由余弦定理及题设22. 2_ 2c a b ab 5a ab ,得 b 2a。由正弦定理asin Abbsin Bsin B，得 2。sin B asin Asin A（n）由（i）知

11、/sin A sin B sin A sin( A) 31 . A .3-sin A cos A2 2sin(A ) 3因为0v / Av ,所以当/ A=，sin A sin B取得最大值1。360 5 2 4 4 /、16.解：(I) xA 120 123(h),52 3 7 0 (a 120) xB 120 ,5由 Xa Xb ,解得 a 127。(n)设A, B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为sA,s2,则sA sBo(出)设A型号手机为Ai, A2, A3, A4, As ; B型号手机为Bi, B2, B3,B4 ,B5 , “至少有1台的待机时间超过 122小时”为事件

12、C。25种。从被测试的手机中随机抽取 A, B型号手机各1台，不同的抽取方法有抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有:(Ai, Bi), (Ai, B4), (A3, Bi),(A3, B4),共 4 种。因此P(C)4_ , 八一,所以P(C) 251 P(C)2125所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是212517.解：(I)由已知,M为BC中点，且 AB= AC,所以AML BC,又因为BB1 / AA1 ,且AA1，底面ABC所以BB1，底面ABG因为AM 底面ABC所以BB1 ± AM ,又 bb1 n BC= B,所以 AML平面 bb1 C1C。又因

13、为AM 平面APM所以平面APML平面BB1cle。(n)取 CR 中点 D,连结 AD,DN ,DM , B1CC由于D, M分别为C1B,CB的中点，所以DM/入A ,且DMA1A ,则四边形A1AMD为平行四边形，所以 A1D /AM又AD 平面APM AM 平面APM所以A1D /平面APM由于D, N分别为C1BjC1C的中点，所以DN/ BQ。又P, M分别为B1 B,CB的中点，所以 MP/ B1C。贝U DN/ MP又DN 平面APM MP 平面APM所以DN/平面APM由于A1D ADN= D,所以平面 ADN /平面APM由于A1N 平面A1DN ,所以A1N /平面APM

14、（出）假设 BC与平面AP帆直，由PM 平面APM则 BCLPM设 PB x,x 0,73,当 BCJPM时，/ BP隹 /B1C1B,所以 RtAPBMhRt/ B1C1B ,所以 PB- CB!。 MBBBi由已知 MB 72cBi 2V2,BB1 翼,x 2243 4=4 3所以 一口： ：=r-,信 x,由于 x0, v3,2333因此直线BC1与平面APM不能垂直。四、填空题(每小题 3分，共15分，请将答案填在题中的横线上)18. 319.10/320. 10 种9,21. （，一 22. 22解析：因为f (x)x22x 1 sin xx212x sin xx2 12x sin

15、x所以，可构造g (x) 2，则g(x)的最大值为 M- 1,最小值为 m 1。x 1又因为g(x)是奇函数，所以M 1 (m 1),即M m 2。五、解答题(共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23.解：(I)因为 P x| 1 x 2,所以方程mx2 (3m 1)x 2(m 1) 0的两根为一1和2。将x1代入上述方程，得m( 1)2 (3m 1)( 1) 2(m 1) 0,-1解得m一 。2(n)不等式 mx2 (3m 1)x 2(m 1) 0 可化为(x 2)mx (m 1) 0,当m 0时，方程m( 1)2 (3m 1)( 1) 2(m 1) 0的两根为 m和2。 m

16、- m 1_ r,-_当2,即m 1时，解得x 2,mm 1m 1当 2,即0 m 1时，解得x 2或x， mmm 1当2,即m 1时，解得m综上，当0 m 1时，x|xm 12或x ； 当 m 1 时，mP x|x R,且x 2；当 m 1 时,x| xm 1或 x 2。m(3m 1)x 2(m 1) 0 恒成立。(m)依题意，当 x ( 3,2)时，不等式 mx2当m 0时，原不等式化为x 2 0,即P x| x 2,适合题意。当m 0时，由(n)可得 0 m 1时，适合题意。当m 0时，因为m_J 1 2,所以P x|m x 2 o m mmm 11此时必有3成立，解得 一m 0。m41

17、综上，若x| 3 x 2 P,则m的取值范围是1,1。424.解：(I )设等差数列an的首项为a1，公差为do0,a11,人,解得 1(舍)或d 0,a13,d 2。所以数列an的通项公式为an 2n 5。(n)解2n 5 0可得n所以数列an中为 0,a252，0,其余各项均大于零,所以 | a1 | 1a2 |a00 |= a1 a? a3a100a1 a298 (a32a100 ), 一5由S55,可得一 as) 5,2由a3,a4,a7成等比数列，可得(物 3d)2 2d)(a1 6d),所以a1 2d 1, 2 2a1d 3d29608。983 1(1 195)2Oa 2n 5()

18、仅 Cn 2n 2n，cncn 12n2n 5 2( n 1) 52n 19 2n2n ，令 cncn 10 ,得 n所以 c1 c2 c3 c4,c42c5c6“2n 5 ,一一 ，一一.一又由cn,知c1 0,c2 0 ,其余各项均大于零。2nn在 tn ( 1) cn 中，t10,t2m 0(m 2, m N )，且 t4 t6 tgA t 工16, 6643 计算得t13,t42. .一 73所以，的取值范围是2,R o641625.解：(I)由，得2 a 6,由，当i 2, j 3,k 4时，2a, 6a , 12中至少有一个是数列1, 2, a, 6中的项，但 6a 6, 12 6,故 2a 6,解得 a 3。经检验，当a 3时，符合题意。(n)假设2, 3, 5是数列An中的项，由可知：6, 10, 15中至少有一个是数列 An中的项，则有限数列An的最后一项an 5,且n 4。由，an an 1 an 2 an 31 ,对于数an2,an1, an