高等数学1-1映射与函数

1、高等数学1 教案编号:课时安排：2 学时教学课型：理论课日实验课口 习题课 其它口题目（教学章、节或主题）： § 1.1 映射与函数教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1 .理解函数的概念，掌握函数的表示法。2 . 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。3 .理解复合函数、反函数的概念。4 .熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。5 .会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点、难点：重点：函数的概念，基本初等函数和初等函数的概念，复合函数的概念；难点：函数的概念及性质教学方式、手段、媒介：由于本次课是本章的基础课，概念性东西较多，同时部分也是以前高中就学过的知识，所以1、

2、 本次课以ppt演示为主，重要的地方辅以板书注解2、 课堂提问，活跃气氛，增加同学的上课积极性3、 理论知识讲解结合实例，让同学能更好的掌握知识教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）一集合1定义具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a属于集 合A,记作aA,元素a不属于集合A, a"2集合的表示法：（提问交流）3集合间的关系：（提问交流）4常见的数集N-自然数集；Z-整数集；Q-有理数集；R-实数集它们间关系：N Z, Z Q, Q R.5例子2A=1,2, C=xx 3x+2=0,贝ljA=C不含任何元素的集合称为空集

3、，记作。例如,x xW R,x2 +1 =0 =0规定空集为任何集合的子集.6运算(提问交流)5)其运算律(1) A B= B A A.B =B.A(2) (AjB ) 2c =Aj(B cC) , (A cB尸 A(B cC)(3) (AjB ) c C =(Ac C ) u(B c C)(A - B ) - C =(A - C ) (B - C)(4) (A - B)c = AC - BC,(A - B)c = Ac 一 Bc注意A与B的直积A>B u (x,y) I x A且y三B例如：R W=(x,y) IxWR且 yWR表示xoy面上全体点的集合，R父R常记为R27邻域：设a与

4、b是两个实数且6 >0 ,称集合x|a -6 <x<a + 6为点a的6邻域。点a叫 做这邻域的中心，6叫做这邻域的半径。记作U§(a) =x| a-6Mx <a+6点 a的去心 6 邻域记做 U0(a) , Ud(a)=x0 <|x-a<6。注意：邻域总是开集。二、映射1 .映射的概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法 则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f : X，Y,其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(X),即y=f(x),而元素X称为元素y(在映射f下)的一个

5、原像；集合X称为映射f的定义域,记作Df,即 Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域，记为Rf,或f(X),即 Rf=f (X) =f (x)| x X).注意：(1) 三个要素：集合X,即定义域Df=X;集合Y,即值域的范围：RfUY;对应法则f ,使对每个xwX,有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2) 对每个xwX,元素x的像y是唯一的；而对每个ywRf,元素y的原像不一定是 唯一的；映射f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf cY,不一定Rf=Y .例1 设f :叫R对每个xR f(x)=x2.例 2 Xg(x, y)| x2+y2=l, Y4x, 0)| x|<1

6、), f : X t Y,对每个(x, y)wX 有 唯一确定的(x, 0)正丫与之对应.例 3 f ： _1；T 1, 1, 对每个 xw 之刍，f(x)=sin x .2 22 2满射、单射和双射：提问：上述三例各是什么映射？2 .逆映射与复合映射逆映射：设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yRf ,有唯一的x运X 适合f(x)方，于是，我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即g : Rf >X,对每个ywRf,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f,其定义域D - =Rf , 值域R1=X .按上述定义，只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆

7、映射？复合映射：设有两个映射g : X，Y1,f : Y2，Z,其中Y1CY2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xWX映射成 fg(x) -Z .显然，这个对应法则确定了一个从 X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f o g,即f o g: X，Z,( f o g)( x) =fg(x),x X .讨论：映射g和f构成复合映射的条件是什么？例 4 设有映射 g : Z-1,1, 对每个 xwR g(x)=sin x,映射 f : 1, 1t0, 1,对每个u可-1,1, f(u)=v'h ,则映射g和f构成复映射f o g:X0, 1, 对 每

8、个xwR有(f g)(x) =fg(x) =f (sinx) = 1-sinx0=0x=0. -1x：0称为符号函数.其定义域为DK-00,")，值域为Rf=-1,0, 1.例 设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x .函数y = x 称为取整函数.其定义域为 X*, f 值域为Rf =Z.x =|cosx|.三、函数1定义：设非空数集DuR,则称映射f: Dt R为定义在D上的函数，通常简记为 y = f (x) , xw D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df = D注意:(1)记号f和f(x)的含义是有区别(2)函数的两要素：例：

9、求函数y=L-d乒二的定义域.x介绍单值函数与多值函数的概念。表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)函数的例子:例.函数yx|= x xx -0x <0称为绝对值函数.其定义域为 4(3"），值域为Rf =0, f.例.函数y =sgnx申，“2"， n=3, -1=-1, -3. 5 =4.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。函数 y = 324 0yl.1 +x x >1这是一个分段函数，其定义域为 d0, 1 50,收)=0, g).当 0女W1 时，y=2“'X；当 x>1

10、 时，y=1+x.例如 f(1)=2j，=v2； f(1) =2<T=2; f(3) =1+3=4.2函数的几种特性1)有界性：若f(x)在I上有定义，3M >0 , Vxw I有f(x) WM成立则称函数f(x)在I上有界， 否则称无界。2)单调性设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I上任意两点x1<x2,恒有f (x1) < f (x2)则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；包有f (x1) A f (x2)则称函数f(x)在区间I上 是单调减少的。3)奇偶性设D关于原点对称，对于VxW D ,有f (x) = f (x),称f(x)为偶函数。设D关于原点

11、对称，对于VxWD,有f(-x) = -f (x),称f(x)为奇函数。4)周期性设函数f(x)的定义域为Df(x),如果存在一个不为0的常数T ,对任意的xWD均有F(x+T) =f(x)则称f (x)为周期函数，T为f(x)的周期。(通常说周期函数的周期是 指其最小正周期)3 .反函数与复合函数反函数:设函数f:DT f(D)是单射，则它存在逆映射f：f(D)T D,称此映射f为函数f的反函数。一般地，y=f(x), xwD的反函数记成y=f(x), xwf(D).讨论：什么样的函数必存在反函数？相对于反函数y(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数.把函数y=f(x)和1它的反函数

12、.y=f (x)的图形圆在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称的.(原因是什么？)复合函数：设函数y = f (u)的定义域为Di ,函数u = g(x)在D上有定义g(D)a D1,则由下式 确定的函数y = f幻(x) I xw D称为由函数u =g(x)和函数y = f(u)构成的复合函数，它的定义域为 D,变量u称为中间变量。函数 g与函数f构成的复合函数通常记为 f °g,即(f °g) (x) = f b (x) 1 讨论两个函数能构成复合函数的条件?例 如,y=f(u) =arcsinu, 的定 义域为一1, 1,u=g(x)=2jl-x2 在dn-

13、i,-q“巧3,1上有定义，且g(D1-1, 1, 则g与f可构成复合函数y =arcsin2 1 -x2 , x D提问：函数ywrcsinu和函数u=2+x2能否构成复合函数？为什么?4 .函数的运算和(差)f ±g ： ( f 土g)( x)=f (x)%(x), xD(f g)( x) =f(x) g(x), x D(g)(xfx Dx|g(x)=0.上的偶函数g(x)及奇函例11设函数f(x)的定义域为(-1, l),证明必'存在(-1, l) 数h(x),使得f(x)=g(x) h(x).分析 如果 f(x) p(x) +h(x),则 f( -x) =g(x) -h(x),于是1 .1 .g(x) = f (x) f (-x) , h(x) = f (x) - f (-x).2 25.初等函数基本初等函数：幕函数：yB» （ NwR是常数）；指数函数：y=ax（a>0且a*1）;对数函数：y=log ax （ a>0且a.1,特别当a=e时，记为y=ln x）；三角函数：y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x； 反三角函数：y=arcs