新版3年高考2年模拟 高考数学 第三章 导数及其应用

1、用心 爱心 专心1第三章第三章 导数及其应用导数及其应用第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃20102010 年高考题年高考题1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （10）若曲线12yx在点12, a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】332211,22yxka ，切线方程是13221()2yaaxa ，令0 x ，1232ya，令0y ，3xa，三角形的面积是121331822s

2、aa，解得64a .故选 A.2.2.（20102010 辽宁文）辽宁文） （12）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,4) (B),)4 2 （C） 3(,24 (D) 3, )4答案 D解析：选 D.2441212xxxxxeyeeee ，12,10 xxeye ，即1tan0 ，3, )43.3.（20102010 辽宁理）辽宁理）(1O)已知点 P 在曲线 y=41xe 上，a为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 (A)0,4) (B),)4 2 3(,24 (D) 3, )4【答案】D用心 爱心 专心2【命题立意】本题考查

3、了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为2441(1)2xxxxeyeee ，即 tan a-1,所以344.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （7）若曲线2yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10 xy ，则（A）1,1ab (B) 1,1ab (C) 1,1ab (D) 1,1ab 【解析解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 02xyxaa ， 1a ，(0, )b在切线10 xy ， 1b 5.5.（20102010 江西理）江西理）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出

4、水面部分的图形面积为 00S tS，则导函数 yS t的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除 B；考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择 A。6.6.（20102010 江苏卷）江苏卷）14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S 梯形的周长）梯形的面积,则 S 的最小值是_。【解析】 考查函数中的建模应用，等

5、价转化思想。一题多解。用心 爱心 专心3设设剪成的小正小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx（方法一）（方法一）利用导数求函数最小值。224(3)( )13xS xx，22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxS xx 2222224(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx 1( )0,01,3S xxx，当1(0, 3x时，( )0,S x递减；当1 ,1)3x时，( )0,S x递增；故当13x 时，S 的最小值是32 33。（方法二）利用函数的方法求最小值。令11 13,

6、(2,3),( , )3 2xt tt，则：2224418668331tStttt故当131,83xt时，S 的最小值是32 33。7.7.（20102010 湖南文）湖南文）21 （本小题满分 13 分）已知函数( )(1)ln15 ,af xxaxax其中 a0,且 a-1.（）讨论函数( )f x的单调性；（）设函数332( 23646 ),1( ),1( )xxaxaxaa exe fx xg x（e 是自然数的底数） 。是否存在a，使( )g x在a,-a上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。用心 爱心 专心5用心 爱心 专心68.8.（20102010 浙江

7、理）浙江理） (22)(本题满分 14 分)已知a是给定的实常数，设函数22( )() ()f xxaxb e，bR，xa是( )f x的一个极大值点 ()求b的取值范围；()设123,x x x是( )f x的 3 个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得1234,x x x x的某种排列1234,iiiixxxx(其中1234, , ,i i i i=1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（）解：f(x)=e

8、x(x-a) 2(3)2,xab xbaba令222( )(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,g xxab xbabababaab则于是，假设1212,( )0.x xg xxx是的两个实根，且（1）当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。（2）当 x1a 且 x2a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1a0),由已知得 x=alnx，12 x=ax， 解德 a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f(e2)= 12e,切线的方程为 y-e=12e(x- e2). （2）由条件知用心 爱心 专心1

9、0 当 a.0 时，令h (x)=0,解得 x=24a,所以当 0 x 24a时 h (x)24a时，h (x)0，h(x)在（0，24a）上递增。所以x24a是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以 （a）=h(24a)= 2a-aln24a=2当 a 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2当 0a0，所以 （a ）

10、 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（a ）0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。15.15.（20102010 安徽文）安徽文）20.（本小题满分 12 分）设函数 sincos1f xxxx，02x，求函数 f x的单调区间与极值。用心 爱心 专心14【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】 （1）对函数 sincos1f xxxx求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.,( )12().

11、423( )0()422( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 0 x2 , 知fsi n令f，从面si n，得，或，当变化时，f，f (x)变化情况如下表：3223332222因此，由上表知f (x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f ()=，极大值为f ()=【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为 0 得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.16.16.（20102010 重庆文）重庆文）(19) (本小题满分 12 分), ()小问 5 分，(

12、)小问 7 分.)已知函数32( )f xaxxbx(其中常数 a,bR),( )( )( )g xf xfx是奇函数.()求( )f x的表达式;()讨论( )g x的单调性，并求( )g x在区间1,2上的最大值和最小值.用心 爱心 专心1517.17.（20102010 浙江文）浙江文） （21） （本题满分 15 分）已知函数2( )()f xxa（a-b）( ,a bR a0. （）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若在区间1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极

13、值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.（）解：当 a=1 时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx, f(2)用心 爱心 专心20=6.所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9.（）解：f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a.以下分两种情况讨论：（1）若110a2a2，则，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f(x)+0-f(x)极大值 当1 1xfx2 2 ，时，（）0等价于5a10,()0

14、,8215a( )0,0.28ff即 解不等式组得-5a2，则110a2.当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当1 1x2 2 ，时，f（x）0 等价于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式组得252a或22a .因此 2a5. 综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a1 时，2x-20,从而2x-2e10,0,Fxe 又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。又 F(1)=-1-1ee0 ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).（)

15、证明：（1）若121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得与矛盾。根据（1） （2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨设由（）可知，)2f (x)2g(x,则)2g(x=)2f (2-x，所以)2f (x)2f (2-x,从而用心 爱心 专心22)1f (x)2f (2-x.因为21x ，所以221x，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以1x22x,即12xx2.23.23.（20102010 福建文）福建文）22 （本小题满分 14

16、分） 已知函数 f（x）=3213xxaxb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函数。 （i）求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。用心 爱心 专心2324.24.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理）(20)(本小题满分 12 分) 已知函数( )(1)ln1f xxxx.（）若2( )1xfxxax，求a的取值范围；（

17、）证明：(1) ( )0 xf x .用心 爱心 专心2425.25.（20102010 湖北文）湖北文）21.（本小题满分 14 分）设函数321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲线xyf （）在点 P（0，0f （）处的切线方程为 y=1（）确定 b、c 的值（）设曲线xyf （）在点（11xxf，（）及（22xxf，（）处的切线都过点（0,2）证明：当12xx时，12()()fxfx（）若过点（0,2）可作曲线xyf （）的三条不同切线，求 a 的取值范围。26.26.（20102010 湖南理）湖南理）20.（本小题满分 13 分）已知函数2( )( ,),f xxbxc b

18、cR对任意的xR，恒有( )fx( )f x。用心 爱心 专心25（）证明：当0 x 时，2( )()f xxc；（）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式22( )( )()f cf bM cb恒成立，求M 的最小值。解析：解析：27.27.（20102010 福建理）福建理）20 （本小题满分 14 分）（）已知函数3(x)=x -xf，其图象记为曲线C。（i）求函数(x)f的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线 C 与其在点111P (x ,f(x )处的切线交于另一点222P (x ,f(x )，曲线 C 与其在点222P (x ,f(x )处的切线交于另一点333P

19、(x ,f(x )，线段用心 爱心 专心2611223122PP ,P P,S ,SCS与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值；（）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a0),请给出类似于（） （ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】 （） （i）由3(x)=x -xf得2(x)=3x -1f=333(x-)(x+)33，当3x(- ,-)3 和33（，）时，(x)0f；当3x(-,33)3时，(x)

20、0，使得) 1)()( 2axxxhxf，则称函数)(xf具有性质)(aP。(1)设函数)(xf2ln(1)1bxxx，其中b为实数。(i)求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii)求函数)(xf的单调区间。(2)已知函数)(xg具有性质)2(P。给定1212,(1,),x xxx设m为实数，21)1 (xmmx，21)1 (mxxm，且1, 1，若|)()(gg|0，所以对任意的), 1 ( x都有( )0g x，( )g x在(1,)上递增。又1212,(21)()xxmxx。当1,12mm时，且112212(1)(1),(1)(1)xmxm xxm xmx，用心 爱心 专心31 综合

21、以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1） 。（方法二）由题设知，( )g x的导函数2( )( )(21)g xh x xx，其中函数( )0h x 对于任意的), 1 ( x都成立。所以，当1x 时，2( )( )(1)0g xh x x，从而( )g x在区间), 1 ( 上单调递增。当(0,1)m时，有12111(1)(1)mxm xmxm xx，12222(1)(1)mxm xmxm xx，得12( ,)x x，同理可得12( ,)x x，所以由( )g x的单调性知( )g、( )g12( (), ()g xg x，从而有|)()(gg|1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0

22、 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析 （I）)2)(2(4)1 (2)(2axxaxaxxf 由1a知，当2x时，0)( xf，故)(xf在区间)2 ,(是增函数；当ax22时，0)( xf，故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时，0)( xf，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间)2 , 2(a是减函数

23、。 （II）由（I）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1 ()2(31)2(23aaa2443423af24)0(由假设知 , 0)0(, 0)2(1fafa 即. 024, 0)6)(3(34, 1aaaaa 解得 1a6故a的取值范围是（1，6）23.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分）用心 爱心 专心43已知二次函数( )yg x的导函数的图像与直线2yx平行，且( )yg x在1x 处取得极小值1(0)mm设( )( )g xf xx（1）若曲线( )yf x上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）(

24、)k kR如何取值时，函数( )yf xkx存在零点，并求出零点 解析 （1）依题可设1) 1()(2mxaxg (0a)，则aaxxaxg22) 1(2)( ； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a mxxmxxg21) 1()(22， 2g xmf xxxx， 设,ooP x y，则2002020202)()2(|xmxxyxPQ mmmmmxmx2|2222222220220当且仅当202202xmx 时，2| PQ取得最小值，即| PQ取得最小值2当0m时，2)222(m 解得12 m 当0m时，2)222(m 解得12 m （2）由 120myf xkxk xx(0 x)，得

25、2120k xxm *当1k 时，方程 *有一解2mx ，函数 yf xkx有一零点2mx ；当1k 时，方程 *有二解4410mk ，若0m ，11km ，函数 yf xkx有两个零点)1 (2)1 (442kkmx，即用心 爱心 专心441)1 (11kkmx；若0m ，11km ，函数 yf xkx有两个零点)1 (2)1 (442kkmx，即1)1 (11kkmx；当1k 时，方程 *有一解4410mk , 11km , 函数 yf xkx有一零点mkx11 综上，当1k 时, 函数 yf xkx有一零点2mx ；当11km (0m )，或11km （0m ）时，函数 yf xkx有两

26、个零点1)1 (11kkmx；当11km 时，函数 yf xkx有一零点mkx11.24.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数2( )(2ln ),(0)f xxaxax，讨论( )f x的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。解析 ( )f x的定义域是(0,+),22222( )1.axaxfxxxx 设2( )2g xxax,二次方程( )0g x 的判别式28a . 当280a ，即02 2a时，对一切0 x 都有( )0fx,此时( )f x在(0,)

27、上是增函数。当280a ,即2 2a 时，仅对2x 有( )0fx,对其余的0 x 都有( )0fx,此时( )f x在(0,)上也是增函数。 当280a ，即2 2a 时，用心 爱心 专心45方程( )0g x 有两个不同的实根2182aax,2282aax,120 xx.x1(0,)x1x12( ,)x x2x2(,)x( )fx+0_0+( )f x单调递增极大单调递减极小单调递增此时( )f x在28(0,)2aa上单调递增, 在2288(,)22aaaa是上单调递减, 在28(,)2aa上单调递增.25.（2009 安徽卷文） （本小题满分 14 分） 已知函数，a0， （）讨论的单

28、调性； （）设 a=3，求在区间1，上值域。期中 e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数( )f x在21,e上的值域。解析 (1)由于22( )1af xxx 令2121(0)tytattx得 当280a ,即02 2a时, ( )0f x 恒成立.( )f x在(,0)及(0,)上都是增函数.当280a ,即2 2a 时 由2210tat 得284aat或284aat 2804aax 或0 x 或284aax用心 爱心 专心46又由220tat 得222288884422

29、aaaaaaaatx 综上当02 2a时, ( )f x在(,0)(0,)及上都是增函数.当2 2a 时, ( )f x在2288(,)22aaaa上是减函数, 在2288(,0)(0,)(,)22aaaa及上都是增函数.(2)当3a 时,由(1)知( )f x在1,2上是减函数.在22,e上是增函数.又(1)0,(2)23 20ffln2222()50f eee 函数( )f x在21,e上的值域为22223 n2,5lee 26.（2009 江西卷文） （本小题满分 12 分）设函数329( )62f xxxxa （1）对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程( )0

30、f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围 解析 (1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x ,( )fxm, 即 239(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得34m ，即m的最大值为34 (2) 因为 当1x 时, ( )0fx ;当12x时, ( )0fx ;当2x 时, ( )0fx ; 所以 当1x 时,( )f x取极大值 5(1)2fa; 当2x 时,( )f x取极小值 (2)2fa; 故当(2)0f 或(1)0f时, 方程( )0f x 仅有一个实根. 解得 2a 或52a .27.（2009 江西卷理） （本小题满分 12 分）用心

31、爱心 专心47设函数( )xef xx(1)求函数( )f x的单调区间； (1)若0k ，求不等式( )(1) ( )0fxkx f x的解集解析 (1)22111( )xxxxfxeeexxx , 由( )0fx ,得 1x .因为 当0 x 时,( )0fx ； 当01x时,( )0fx ； 当1x 时,( )0fx ；所以( )f x的单调增区间是:1,)； 单调减区间是: (,0) (0,1，.(2)由 221( )(1) ( )xxkxkxfxkx f xex 2(1)(1)0 xxkxex, 得：(1)(1)0 xkx. 故：当 01k时, 解集是：1 1xxk；当 1k 时，解

32、集是： ；当 1k 时, 解集是：11xxk. 28.（2009 天津卷文） （本小题满分 12 分）设函数0) ,( ,) 1(31)(223mRxxmxxxf其中（）当时，1m曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0，21,xx，且21xx 。若对任意的,21xxx，) 1 ()(fxf恒成立，求 m 的取值范围。答案 （1）1（2）)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=313223 mm函数)(xf在mx1处

33、取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=313223mm解析 解析 当1) 1 (,2)(,31)(12/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率为 1. （2）解析 12)(22mxxxf，令0)(xf，得到mxmx1,1用心 爱心 专心48因为mmm11, 0 所以当 x 变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x)1 ,(mm1)1 ,1 (mm m1),1 ( m)(xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=3

34、13223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=313223mm（3）解析 由题设， )(31) 131()(2122xxxxxmxxxxf所以方程13122mxx=0 由两个相异的实根21,xx，故321 xx，且0) 1(3412m，解得21)(21mm，舍因为123, 32,221221xxxxxx故所以若0)1)(1 (31) 1 (,12121xxfxx则，而0)(1xf，不合题意若,121xx 则对任意的,21xxx有, 0, 021xxxx则0)(31)(21xxxxxxf又0)(1xf，所以函数)(xf在,21xxx的最小值为 0，于是对任意的,2

35、1xxx，) 1 ()(fxf恒成立的充要条件是031) 1 (2 mf,解得3333m 综上，m 的取值范围是)33,21(【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 在 R 上定义运算1:43pqpcqbbc （b、c 为实常数） 。记用心 爱心 专心49 212fc， 22fb，R.令 21fff. 如果函数 f在1处有极什43,试确定 b、c 的值； 求曲线 yf上斜率为 c 的切线与该曲

36、线的公共点；记 |11g xfxx 的最大值为M.若Mk对任意的 b、c 恒成立，试示k的最大值。 解 当1( )byfx时，函数得对称轴 x=b 位于区间 1,1之外 此时max ( 1), (1), ( )Mggg b由2(1)( 1)4 ,( )( 1)(1)0ffbf bfbm有 若10,max ( 1), ( )bgg b 则f (1)f (-1)f (b),g(-1)于是2111max( 1) ,( )(1)( )(1)( )(1)222Mff bff bff bb若01b，则f (=1)f (1)f (b)，max ( 1), ( )gg bg(1)于是21111max( 1)

37、,( )( 1)( )( 1)( )(1)2222Mff bff bff bb综上，对任意的 b、c 都有12M 而当，10,2bc时，21( )2g xx 在区间 1,1上的最大值12M 故MK对任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值为12 31.（2009 四川卷文） （本小题满分 12 分）已知函数32( )22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx。（I）求函数( )f x的解析式；（II）设函数1( )( )3g xf xmx，若( )g x的极值存在，求实数m的取值范围以及函数( )g x取得极值时对应的自变量x的值.解析解析 （I）由已知,切点为(2,0),故

38、有(2)0f,即430bc 用心 爱心 专心50又2( )34fxxbxc，由已知(2)1285fbc得870bc 联立，解得1,1bc .所以函数的解析式为32( )22f xxxx 4 分（II）因为321( )223g xxxxmx令21( )34103g xxxm 当函数有极值时，则0 ，方程2134103xxm 有实数解， 由4(1)0m ，得1m .当1m 时，( )0g x有实数23x ，在23x 左右两侧均有( )0g x，故函数( )g x无极值当1m 时，( )0g x有两个实数根1211(21),(21),33xmxm( ), ( )g x g x情况如下表：x1(,)x

39、1x12( ,)x x2x2()x ( )g x+0-0+( )g x极大值极小值所以在(,1) m时，函数( )g x有极值；当1(21)3xm时，( )g x有极大值；当1(21)3xm时，( )g x有极小值； 12 分32.（2009 全国卷理）(本小题满分 12 分)设函数 21f xxaInx有两个极值点12xx、，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论 f x的单调性；（II）证明： 21 224Inf x 解: （I） 2222(1)11axxafxxxxx 用心 爱心 专心51 令2( )22g xxxa，其对称轴为12x 。由题意知12xx、是方程( )0g x 的两个均大

40、于1的不相等的实根，其充要条件为480( 1)0aga ，得102a当1( 1,)xx 时， 0,( )fxf x在1( 1,)x内为增函数； 当12( ,)xx x时， 0,( )fxf x在12( ,)x x内为减函数；当2,()xx时， 0,( )fxf x在2,()x 内为增函数；（II）由（I）21(0)0,02gax，222(2)axx +2 22222222221(2)1f xxalnxxxx lnx+2设 221(22 )1()2h xxxx lnxx ，则 22(21)122(21)1h xxxlnxxxlnx 当1(,0)2x 时， 0,( )h xh x在1,0)2单调递

41、增；当(0,)x时， 0h x，( )h x在(0,)单调递减。 111 2ln2(,0),()224xh xh 当时故 221 22()4Inf xh x 33.（2009 湖南卷文） （本小题满分 13 分）已知函数32( )f xxbxcx的导函数的图象关于直线 x=2 对称.（）求 b 的值；（）若( )f x在xt处取得最小值，记此极小值为( )g t，求( )g t的定义域和值域。解: （）2( )32fxxbxc.因为函数( )fx的图象关于直线 x=2 对称，所以226b，于是6.b （）由（）知，32( )6f xxxcx，22( )3123(2)12fxxxcxc .（）当

42、 c 12 时，( )0fx，此时( )f x无极值。 （ii）当 c12 时，( )0fx有两个互异实根1x,2x.不妨设1x2x，则1x22x.用心 爱心 专心52当 x1x时，( )0fx， ( )f x在区间1(,)x内为增函数； 当1xx2x时，( )0fx，( )f x在区间12( ,)x x内为减函数;当2xx时，( )0fx，( )f x在区间2(,)x 内为增函数. 所以( )f x在1xx处取极大值，在2xx处取极小值.因此，当且仅当12c 时，函数( )f x在2xx处存在唯一极小值，所以22tx.于是( )g t的定义域为(2,).由 2( )3120f tttc得23

43、12ctt .于是 3232( )( )626 ,(2,)g tf tttctttt .当2t 时，2( )6126 (2)0,g ttttt 所以函数( )g t在区间(2,)内是减函数，故( )g t的值域为(,8). 35.（2009 福建卷理） （本小题满分 14 分）已知函数321( )3f xxaxbx,且( 1)0f (1) 试用含a的代数式表示 b,并求( )f x的单调区间；（2）令1a ,设函数( )f x在1212,()x x xx处取得极值，记点 M (1x,1()f x)，N(2x,2()f x)，P(,( )m f m), 12xmx,请仔细观察曲线( )f x在点

44、 P 处的切线与线段 MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m (1x, x2)，线段 MP 与曲线f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 121a 当 x 变化时，( )fx与( )f x的变化情况如下表：x(,1 2 )a(1 2 , 1)a( 1,) ( )fx+( )f x单调递增单调递减单调递增由此得，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 , 1)a。当1a 时，1 21a 此时有( )0fx 恒成立，且仅在1x 处( )0fx ，故函

45、数( )f x的单调增区间为 R当1a 时，1 21a 同理可得，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a 综上：当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 , 1)a；当1a 时，函数( )f x的单调增区间为 R；当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a.()由1a 得321( )33f xxxx令2( )230f xxx得121,3xx 由（1）得( )f x增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所

46、以函数( )f x在处121,3xx 取得极值，故 M（51,3）N（3, 9） 。观察( )f x的图象，有如下现象：当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时，线段 MP 的斜率与曲线( )f x在点 P 处切线的斜率( )f x之差 Kmp-( )fm的值由正连续变为负。线段 MP 与曲线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmp( )fm的 m 正负有着密切的关联；用心 爱心 专心54Kmp( )fm=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp( )fm的 m 就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线( )f x在点( ,( )P m f m处的切线斜率2( )2

47、3fmmm；线段 MP 的斜率 Kmp2453mm当 Kmp( )fm=0 时，解得12mm 或直线 MP 的方程为22454()33mmmmyx 令22454( )( )()33mmmmg xf xx当2m 时，2( )2g xxx在( 1,2)上只有一个零点0 x ，可判断( )f x函数在( 1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又( 1)(2)0gg，所以( )g x在( 1,2)上没有零点，即线段 MP 与曲线( )f x没有异于 M，P 的公共点。当2,3m时，24(0)03mmg .2(2)(2)0gm 所以存在0,2m使得( )0g即当2,3,m时MP 与曲线( )f x

48、有异于 M,P 的公共点 综上，t 的最小值为 2.（2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为1,3解法二：（1）同解法一.（2）由1a 得321( )33f xxxx ，令2( )230fxxx，得121,3xx 由（1）得的( )f x单调增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所以函数在处取得极值。故 M(51,3).N(3, 9)用心 爱心 专心55 () 直线 MP 的方程为22454.33mmmmyx由223245433133mmmmyxyxxx得32223(44)40 xxmmxmm线段 MP 与曲线( )f x有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(

49、1,m)上有根,即函数3222( )3(44)4g xxxmmxmm在(-1, m )上有零点.因为函数( )g x为三次函数,所以( )g x至多有三个零点,两个极值点.又( 1)( )0gg m.因此, ( )g x在( 1,)m上有零点等价于( )g x在( 1,)m内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22( )36(44)0(1,)g xxxmmm 在内有两不相等的实数根.等价于2222236124403( 1)6(44)036(44)01mmmmmmmmm（） 即1521,251mmmmm 或解得又因为13m ,所以 m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.

50、36.（2009 辽宁卷文） （本小题满分 12 分）设2( )(1)xf xe axx，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 x 轴平行。(2)求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性；(1)证明：当0,f(cos )f(sin )22时， 解析 （）2( )(121)xfxe axxax .有条件知，(1)0f，故3201aaa . 2 分 于是2( )(2)(2)(1)xxfxexxexx .故当(, 2)(1,)x 时，( )fx0； 当( 2,1)x 时，( )fx0.从而( )f x在(, 2) ，(1,)单调减少，在( 2,1)单调增加. 6 分用心 爱心 专心56（）由（）知(

51、 )f x在0,1单调增加，故( )f x在0,1的最大值为(1)fe，最小值为(0)1f. 从而对任意1x，2x0,1，有12()()12f xf xe . 10 分 而当0,2时，cos ,sin0,1. 从而 (cos )(sin )2ff 12 分37.（2009 辽宁卷理） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=21x2ax+(a1)ln x，1a 。（1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：若5a ，则对任意 x1，x2 (0,)，x1x2，有1212()()1f xf xxx 。解析 (1)( )f x的定义域为(0,)。211(1)(1)( )axaxaxxafx

52、xaxxx 2 分（i）若11a 即2a ,则2(1)( )xfxx故( )f x在(0,)单调增加。(ii)若1 1a ,而1a ,故12a,则当(1,1)xa时，( )0fx ;当(0,1)xa及(1,)x时，( )0fx 故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。(iii)若11a ,即2a ,同理可得( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加.(II)考虑函数 ( )( )g xf xx21(1)ln2xaxaxx用心 爱心 专心57则211( )(1)2(1)1 (1 1)aag xxaxaaxx g由于 1a1,证明对任意的

53、c,都有 M2: ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分 14 分）（I）解析 2( )2fxxbxc ，由( )f x在1x 处有极值43可得(1)12014(1)33fbcfbcbc 解得1,1bc 或13bc 若1,1bc ，则22( )21(1)0fxxxx ，此时( )f x没有极值；若1,3bc ，则2( )23(1)(1)fxxxxx 当x变化时，( )f x，( )fx的变化情况如下表：x(, 3) 3( 3,1)1(1,)( )fx0+0( )

54、f x极小值12极大值43当1x 时，( )f x有极大值43，故1b ，3c 即为所求。（）证法 1：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc 当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1.1之外。( )fx在 1,1上的最值在两端点处取得故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个用心 爱心 专心622(1)( 1) | 12| 1 2| |4 | 4,Mggbcbcb 即2M 证法 2（反证法）：因为| 1b ，所以函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外，( )fx在 1,1上的最值在两端点处取得。故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个假设2M ，则(

55、 1) | 1 2| 2(1) | 12| 2gbcgbc 将上述两式相加得：4 | 1 2| 12| 4| 4bcbcb ，导致矛盾，2M（）解法 1：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（）可知2M ；（2）当| 1b 时，函数(yfx）的对称轴xb位于区间 1,1内， 此时max( 1), (1), ( )Mggg b由(1)( 1)4 ,ffb有2( )( 1)( 1)0fbfb若10,b 则(1)( 1)( ),( 1)max(1), ( )fffbggg b，于是21111max |(1),|( )|(|(1)|( )|)|(1)( )|(

56、1)2222Mffbffbffbb若01b，则( 1)(1)( ),fffb(1)max( 1), ( )ggg b于是21111max |( 1)|,|( )|(|( 1)|( )|)|( 1)( )|(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c都有12M 而当10,2bc时，21( )2g xx 在区间 1,1上的最大值12M 故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为12。 解法 2：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（）可知2M ； 用心 爱心 专心63（2）当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1内，此时max

57、( 1), (1), ( )Mggg b24( 1)(1)2 ( ) | 1 2| 12| 2|Mggg hbcbcbc 22| 1 2( 12)2()| |22| 2bcbcbcb ，即12M 下同解法 143.（2009 宁夏海南卷文） （本小题满分 12 分）已知函数3223( )39f xxaxa xa.(1) 设1a ，求函数 f x的极值；(2) 若14a ，且当1,4xa时，)(xf12a 恒成立，试确定a的取值范围.请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （21）

58、解析 （）当 a=1 时，对函数( )f x求导数，得 2( )369.fxxx 令 12( )0,1,3.fxxx 解得 列表讨论( ),( )f xfx的变化情况：x(, 1) 1（-1，3）3(3,)( )fx+00+( )f x极大值 6极小值-26所以，( )f x的极大值是( 1)6f ，极小值是(3)26.f （）22( )369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称.若11,( )4afx则在 1, 4a上是增函数，从而 ( )fx 在 1, 4a上的最小值是2(1)369,faa最大值是2(4 )15.faa由22|( )| 12 ,1236912 ,f

59、xaaxaxaa得于是有 用心 爱心 专心6422(1)36912 ,(4 )1512 .faaafaaa 且由14(1)121,(4 )120.35faafaaa 得由得所以1141 4( ,1,10, ,( , .4354 5aa即 若 a1,则2|( )| 1212 .1,4 |( )| 12faaaxafxa故当时不恒成立.所以使|( )| 12 (1,4 )fxa xa恒成立的 a 的取值范围是1 4( , .4 5 44.（2009 天津卷理） （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR(1)当0a 时，求曲线

60、( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率； (2)当23a 时，求函数( )f x的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。（I）解析 .3) 1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1 (, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 （II）.42)2()( 22xeaaxaxxf解： . 2232. 220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a.当x变化时，)()( xfxf，的变