人教版高中数学知识与巩固_对数函数及其性质(提高)

1、人教版高中数学知识与巩固对数函数及其性质（提高）【学习目标】1 理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3. 了解反函数的概念，知道指数函数/与对数函数y = logn .V互为反函数（dO,dHl）.【要点梳理】要点一、对数函数的概念1. 函数y=logax（a0, aWl）叫做对数函数其中x是自变量，函数的泄义域是（0,乜），值域为&2. 判断一个函数是对数函数是形如y = logfl x（6/0,K1）的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1:（2）底数为大于0且不等于1的常数：（

2、3）对数的真数仅有自变量兀要点诠释：（1）只有形如y=logax（a0, aWl）的函数才叫做对数函数，像y = logfl（x +1）,y = 2logfl x,y = loga x+3等函 数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数.（2）求对数函数的立义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1：对含有字母的 式子要注意分类讨论要点二、对数函数的图象与性质al0al图象。怀 1.0）：性质定义域：（0, +00）值域：R过定点（1, 0）,即x=l时，y=0在（0, +00）上增函数在（0, +00）上是减函数当 0xl 时，y0当 OVxVl 时，y0, 当总1时，

3、y0：当a, N异侧时,logaNl时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴：当0a)在x =)中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成y = fx) ( xe B,y e A )的形式.函数x = fy)与函y = fx) (xB.yeA )为同一函数，因为自变量的取值范围即立义域都是B,对应法则都为/-*.由定义可以看岀，函数y = /(x)的左义域A正好是它的反函数y = fx)的值域；函数y = /(x)的值域B正 好是它的反函数y = fx)的泄义域.要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y = x2. 一般说来，单调函数有反函数.2. 反函数的性质(1) 互为

4、反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称.(2) 若函数y = 图象上有一点(a,b),贝ij(b,c)必在其反函数图象上，反之，若(b,o)在反函数图象上， 贝9(d,b)必在原函数图象上.【典型例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的左义域、值域，其方法与一般函数的立义域、值域的求法类似，但要注意对数函 数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.例1.求下列函数的定义域：(Dy = log x2:(2) y = log (4 - x)(a 0且Hi).【答案】(1)xlxHO： (2) xx0, 4x0,解出不等式就可求岀立义域.因为疋0,即xhO,所以函数

5、y = log“F的定义域为xlxHO：(2) 因为4一兀0,即x4,所以函数y = logn(4-x)的定义域为xlx0举一反三：【变式1】求下列函数的泄义域.(l) y=(2) y = ln(R-k2) ( a 0 且) -133【答案】(1)(1,二)U( ，2： (2)略22【解析】(1)因为&x-l0 iog(x-i)no,0x-l 2(2)因为 宀肛2、0,所以(勺 k. 当k0时，若a2,则函数定义域为(log/, +oc)(ii) 若0a2f且。工1,则函数定义域为(8 log)；2(iii) 若a = 2,则当0 vkv 1时，函数左义域为R：当khl时，此时不能构成函数，否

6、则泄义域为0.【变式2】函数y = /(2X)的定义域为卜1, 2,求y = /(log2%)的定义域.【答案】迈，16.【解析】由一 lx2,可得y = /(x)的泄义域为,4,再由丄 log, a- 0且&H1)【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】(1) : (2)： (4)： (5)略【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y = log3x的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以， log33.6 Iog3 8.9 ；解法2：由函数y = log3x在R+上是单调增函数，且3.68.9,所以log3 3.6 log3

7、 8.9 ；(2)与第小题类似，y = log02 x在R*上是单调减函数,且19 log02 3.5 ：函数y = Iog2 x和y = log?x的图象如图所示.当xl时，y = log2 x的图象 在y - lg7x 的图象上方，这里x = 5 log2 5 log7 5 . logs 5 log3 3 = 1 = log6 6 log6 4, logs 5 log6 4（5）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法 1：当。1 时，y = log“x在（0, +8）上是增函数，且 5.15.9,所以,log4.2logn4.8当0a 1 时，y=logaX在（

8、0, +8）上是减函数,且4.2logfl4.8 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 b、= logfl 4.2,则 ab, =4.2,令 $ = log。4.8 ,则 a1 = 4.8,当。1时，y = x在R上是增函数，且4.24.8, 所以，bj 即 logfl 4.2 logn 4.8当时0 vavl. y = ax在R上是减函数，且4.2b2,即loga4.2loga4.8.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底公式化为同底的对数，再

9、利用对数 函数的单调性和倒数关系比较大小：利用对数函数图象的互相位置关系比较大小.（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小.例3.比较log/Moglog丄log其中0/ll的大小.b a【答案】logfl b logh a log - logfl -【解析】由0 ci t b = log6 - bg b log/, - log。a b logb a1 log。b log b log” a log” - bcB bac C a cb D cab【答案】c【解析】另加=log, 3.4 , ” = log4 3.6, / = log3岁,在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可

10、得加lny=iogs又V y = 51为单调递增函数./. acb故选C_【变式2】比较a = logs兀,b = log2羽,c = log3的大小.【答案】cba【解析】.log近 log3 V5 log2 馅 V 1 = log3 3 log? 7T:.cba例4.已知电义在R上的函数y = /(x)是偶函数，且丘0时，/(x) = In(x2-2x + 2),(1) 当x0时，求/(x)解析式；(2) 写出/G)的单调递增区间.【思路点拨(1) a0,代入已知总0 时，f(x) = n(x2-2x+2)t 可得/(-x) = ln(x2+2x4-2),根据偶函数的性质可求得f(x) =

11、 ln(x2 + 2x + 2)(2)根据复合函数的单调性及二次函数的单调性分别求解两段函数的单调增区间即可【答案】(1)； (2)单调增区间为：(一 1, 0), (1, +8)【解析】(1)xVO时，一x0V.r0 时 /(a) = ln(x2-2x + 2)= ln(x2 + 2x + 2)VW (x)是偶函数,/./(-x) =f(x)xVO 时，/(x) = ln(x2 + 2x + 2)(2)由(1)知x0时，/(x) = ln(x2 + 2A + 2)，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间(一1, 0).00时/(x) = ln(x2-2x + 2)，根据复合函数的单调性可得

12、函数的单调增区间(1, +00)所以函数的单调增区间为：(一 1, 0), (1, +00)【总结升华】本题主要考査了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，复合函数的单调区间的求解，(2)中对 每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域.研%y = /(log.x)型复合函数的单调性，一般用复合法来判左即可.复合函数的单调性就是内函数与外函数 的单调性“同增异减研究对数型复合函数的单调性，一立要注意先研究函数的左义域，也就是要坚持“立义域优先“的原则.举一反三：【变式1】求函数y = log2(X2 +4)的值域和单调区间.【答案】2,+8)；减区间为(-4, V y=log2t 为增函数，.10

13、2=1002(疋+4)1002 4 = 2y = log, (x +4)的值域为2,+oo).再由：y = log2(x2+4)的定义域为R./ = F + 4在(0 g)上是递增而在(yq o)上递减，而y= log21为增函数函数y=log2(x2+4)的减区间为(-8,0),增区间为(0,-ko).【变式2】求函数y = loga(a-ax)的单调区间【答案】减区间是：(y,1)和(1,)【解析】若“1,则y = logj递增，且t = a-ax递减,而一/0,即ax a,：. x0,即1,y = log (a 一 t/)在(1, +oc)上递减.综上所述，函数y = oa-ax)的单调

14、递减区间是：(一。,1)和(1,炖).类型三、函数的奇偶性例5.判断下列函数的奇偶性.2 _ yI(l) /(x) = ln;/(x) = lg(Vl+x2 -x)2 + x【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：(1)先求函数的怎义域，如果左义域关于原点对称，则进行(2),如 果丘文域不关于原点对称，则函数为菲奇IF偶函数。(2)求/(-a),如果/(-x) = f(x).则函数是偶函数. 如果/(-A)=-/(X),则函数是奇函数。【答案】(1)奇函数：(2)奇函数.【解析】首先要注意左义域的考査，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.2 - r(1)由0可得2vxv22 + x所以函数的左义域

15、为：(-2, 2)关于原点对称又 /(-x) = ln2-x2-x2 + x=-/(AB|J/(-x) = -f(x)9 - r所以函数f(x) = ln一是奇函数；2 + x【总结升华】此题确左泄义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质说明判断对数 形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.【解析】由J1 +宀x0可得所以函数的定义域为R关于原点对称又 f(-x)=ig(Vi77+A-)=ig 虫耳mgiHL卫=ig = -ig(Vi77 - A-)=-/Ul + JT -X(l + JT -X即f(-X)=.f(X)：所以函数是奇函数.【总

16、结升华】此题上义威的确左可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型四.反西数例6(2016春河北衡水月考)已知点(2, 99)在函数f(x) =lg (x+b)的反函数的图象上.(1)求实数的值；(2) 若 0/(l-2x) -/(x) 1,求x 的取值范围.【思路点拨】(1)根据点(2, 99)在函数/(x) =lg (x+b)的反函数的图象上，可得：点(99, 2)在函数/(X)=/g (x+b)的图象上，代入构造关于b的方程，解得实数b的值：(2)若 0/(l-2x) -/ (x) -1,解得x的取值范围.12_2xx + 1 x 1 则 0/(l-2r) -

17、/ (x) VI 可化为：0lg2 2xx + 1-112-2xx + 10,且呼1)的反函数，且/(2) = 1,则f(x)=()(A) log 2 兀(B)二 (C)log, x (D)2X-22t【答案】A【解析】解法1： 函数y = f(x)是函数y =(“0,且a*l)的反函数/. f(x) = loga X ,又 /=1 loga 2 = 1, d = 2 ,故选A.解法2： 函数y = f(x)是函数y = b (0,且洋1)的反函数，且/(2) = 1.点(1, 2)在函数y = ax的图象上，二。=2故选A类型五.利用函数图象解题例7.若不等式2X-Iogflx0,当j时恒成

18、立，求实数a的取值范用.【思路点拨】画出函izy = 2Y的图象仃函数y = logflx的图象，纠后借叫求借。(1【答案】一 a 【答案】要使不等式r 一 log。x v 0在X w0,1 时恒成立，即函数y = log。X的图在内恒在函数y = 2x图象的上方，而y = 2v图象过点I 1,2 |.由右图可知，log。丄巴血，显然这2里 0Vay/2= logn , :, ,2 2( XTId即a1 V2所求的a的取值范囤为【总结升华】数是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形，则形彖、直观，能简化思维过程，降低 题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合.本例中，

19、利用图形的形象直观快速地得 到答案，简化了解题过程.正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们 必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题.在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数/(X)与g(x),则/(X)= g(x)的实数解等价于两个函数y = /(x)与y = g(x)的图象的交点的横坐标:而/(x) g(x)的的解等价于函数y = f(x)的图象在y = gM的图象下方的点的横坐标的取值范围.利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程.因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式

20、的问 题.举一反三：6/X + /?(X0),【变式1】函数f(x) = 0)的图象如右图所示.(1) 求d+b+c的值：(2) 若= 求加的值.Q Q A 【答案】(1)a+h + c = , (2) 一二或一329【解析】(1)当xSO时，f(x) = cix + b 根据图像/(-I) = 0, /(0) = 2,所以a=b = 2.当 x0时，/(x) = logt.(x + |). 根据图像，/(0) = 2 ,即 logr(0 + |) = 2，c = * ., c c 1 13 a + /? + c = 2 + 2 =332x + 2 (x 0).793 当m 0时，由log1(

21、?n + -) = -l 解得 m =.399综上所述，川的值为-。或色29类型六.对数函数性质的综合应用例& (1)已知函数y = g(x2+2x+a)的左义域为求实数的取值范用;(2)已知函数y = g(x2+2x + a)的值域为D 求实数。的取值范围:(3) /(x) = log0的解集为R,这是不等式中的常规问题.子(兀)的值域为R与疋+2兀+&恒为正值是不等价的,因为这里要求/(%)取遍一切实数，即要求i( = x2+2x+a取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使“能取遍一切正数的条件是zWO.【答案】(1)al：心1；(3)r/e丄丄j|_32 2)【解析

22、】(1) v y = lg(x2 +2x + a)的定义域为 R,. x2 +2x+a0恒成立，. = 4-4g .(2) v y = lg(x2 +2x + a)的值域为 R, /. x2 +2x + a 取遍一切正数,/. A = 4-40 /. a .i(3) 由题意，问题可等价转化为不等式x2-log2flx0的解集为0,-,记C.y = xC2:y = og2ax,作图 2)形C|与C2,如图所示，只需C?过点.Ov2dVl,即满足0 VV丄，且log2fl- = (-)2即可，解12 4 丿222得“=丄.所以由图象可以看岀若C| 丄，所以e322232【总结升华】如果函数/(X)

23、的左义域为某个区间D,则函数/(x)在这个区间D的任何子集内部都有意义；如 果函数/(x)在区间E上有意义，而于的泄义域为D,则必有EgD.举一反三：【变式1】已知函数/(x) = lg(ax2+2x4-1).(1)若函数/(兀)的左义域为R，求实数“的取值范風(2)若函数/(劝的值域为R,求实数的取值范風【解析1 (1) f(x)的定义域为R,即：关于x的不等式ax2+2x + l0的解集为R,当a=0时，此不等式变为2x+l0,其解集不是R：a 0当aR时，有彳 al.A a的取值范囤为al = 4 一 4。 0f(x)的值域为R, RP u=ax2+2x+l能取遍一切正数U *0或0a

24、0 a的取值范围为0alb0）（1）求y = f （x）的定义域;（2）在函数y = /（工）的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴：（3）当a, b满足什么关系时，/（劝在（1,+8）上恒取正值.【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的貞数为正，再利用指数运算性质求出左 义域.（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于兀轴.【答案】（1）（0,*o）（2）不存在（3） ab+【解析】（1）由ax-bx0,得转j 1,由ab0,得碁1,故x0,即函数/（x）的泄义域为（0,-ko）.（2）设 Xj x2 0/.- ab0

25、 .:.aXl aX1 I产 bXl 0、故 aXl -bXl aX1 -bh 0,卢-夕）lg（泸-沪），:.f（x）在（0,*o）上为增函数.假设函数y = f（x）的图象上存在不同的两点4（召切），B（七,旳），使直线AB平行于x轴，即 Xi丰x, y = y2,这与f（x）是增函数矛盾.故函数y = /（a）的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴.（3）由（2）知/（劝在（0,+s）上是增函数f（x）在（1,+s）上也是增函数.当（1,乜）时，fM /（D只需/（1）0,即 u-b）0,a-h.当ab+1时，/（x）在（1,+s）上恒取正值.【总结升华】此题综合性较强，综

26、合考査对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活.灵活掌握转化 的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键.举一反三：+ ax + b ,【变式1】已知/（X）= log.：-一,xe（0.+co）,是否存在实数s b、使/（x）同时满足下列两个条件: 在（0,1上是减函数，1,XO）上是增函数：/（X）的最小值是1.若存在，求岀、的值，若不存在，说 明理由.【答案】a = Vb = 【解析】设存在满足条件的“、bV /（%）在（0,1上是减函数，1,4-0）上是增函数，二当x=l 时，/（x）最小，从而logs 1 + ； b = =a+b = 2、设0则f（x2）9x；+oY+/? x；

27、 +ax2 +b恒成立,即（卄切（牡）0恒成立,又 x-x2 v0,x$2 ，因此 xAx2-b.设1 召“，则/$)/(些)恒成立，化简得(-)(聞)0恒成立，X內又3-兀0,所以x3x4 b恒成立，故b. 综上，a = 1,Z? = 1【巩固练习】1. 已知logn-b那么a的取值范围是()2A. 0 Cal2 2 2 22. 函数/(x) = Iog2(x2 + 2x-3)的左义域是A.C.3.A.B.C.D.一 3, 1(8, 3 U 1, +a)x + 3 为了得到函数y = lg 10 向左平移3个单位长度， 向右平移3个单位长度， 向左平移3个单位长度， 向右平移3个单位长度，B

28、. (一3, 1)D. ( oc, 3) U (l,+oo)的图象，只需把函数y = lgx的图象上所有的点()再向上平移1个单位长度 再向上平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度4. 函数y = lg二一 1)的图象关于()ll + x )A. x轴对称 B. y轴对称C.原点对称 D.直线y = x对称5. 函数 y = log(x2 -6.X + 17)的值域是()A. RB. &+08. (2016哈尔滨一模)已知函数f(x) = ,则不等式f (x) W5的解集为(JT -X-l,X0A一1, 1 B(一8, -2U (0, 4)C一2, 4 D. (一8,

29、 2U0, 419. 函数/(x) = ，% 0.210.函数/(x) = d+log,x + l)在0, 1上的最大值和最小值之和为/则的值为x+l,xQ.12.已知函数y=loga(kx2+4kx+3),若函数的泄义域为R,则k的取值范围是:若函数的值域为R,则k的取值范囤是13已知/(x) = 2 + log3x, xGl, 9(1) 求 y = f(x)2+f(x2)的定义域;(2) 求y = /(x)2 + /(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.(IX 214.已知函数/(x) = logl一(么为常数). -x-l(1) 若常数*2且“H0,求f (x)的定义域：(2) 若/(

30、x)在区间(2, 4)上是减函数，求“的取值范围.15一片森林的面枳为，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐而积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时， 所用时间是50年.为了保护生态环境，森林而积至少要保留原而积的丄.已知到今年为止，森林剩余面积 4为a. (1)问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？ (2)问今后最多还能砍伐多少年？2【答案与解析】1.【答案】D【解析】当al时，由logfl - l；当0al时，由logfl - logfl a知0a,故2 2 2 20 l.2 22. 【答案】D【解析】由 x2+2x-3 0,即(x+3)(a-1)0解得A 1 O故选：D.3. 【答案】CY +

31、 3【解析】函数y = lg=lg(x+3)-l,由“左加右减知,选C.4. 【答案】C【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称.5. 【答案】C【解析】令u = x2-6x + n,的值域是&+8),所以y = log, H的值域是(y,_3.6. 【答案】D【解析】用图象法解决，将y = nx的图象关于y轴对称得到y = ln(-x),再向右平移两个单位，得到 y = ln(-(x-2),将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来,即得到/(x) =1 ln(2-x)l&9图象.由图象,选项中f(x)是增函数的显然只有D.7. 【答案】C【解析】将方程整理得2Jx+3, log2X=x+3

32、,如图所示，可知&是指数函 数戶，的图 象与直线y=x+3的交点A的横坐标：0是对数函数y=log2x的图彖与直线y=-x+3的交点 B的横坐标.由于函数y=2与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称， 所以A, B两点也关于直线戶x对称，所以A(a 0)，3(0, a).注意到4(a,尸)在 直线y=x+3上，所以有0 = a + 3,即a + 0 = 38. 【答案】C3 + log. 0【解析】由于f(x) =?2对-x-l,x0 时，3 + log2x5 ,即 log2 x 解得 0xW4,当 xWO 时，x2-x-1 1上的最值分别为/ 【解析】由y = x + l(xv0)得x = y l(yvl),由y = exx0)得x = lny(Jl) 因此原函数的反函数是 v 1,y = 5In x, x 1.3、312.【答案】0,二)；二,+ s)44【解析】要使函数的定义域为R，只需对一切实数x, kx2+4kx+30恒成立，其充要条件是k=0或 ，33解得k=o或0 k二，故k的取值范围是0.-). = 16，一12比 0,3要使函数的值域为R，只需kxMkx+3能取遍一切