中考数学锐角三角函数综合练习题及答案解析

1、中考数学锐角三角函数综合练习题及答案解析一、锐角三角函数DC F1.如图，山坡上有一棵树 AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角 为30。.小宁在山脚的平地 F处测量这棵机勺高，点 C到测角仪EF的水平距离CF=1米, 从E处测得树顶部 A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值：sin20 ° =0,34:os20° =0.94tan20° =0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为6 3米，山坡的坡角为 30°. . DC=BC?cos30673 9 米，

2、2,.CF=1 米, .DC=9+1=10 米， .GE=10 米， / AEG=45 ； .AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的长，然后求得 DF的长，进而求得 GF的长，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.已知在平面直角坐标系中，点A 3,0 ,B 3,0 ,C 3,8 ,以线段BC为直径作圆,圆心为E ,直线AC交e E于点D ,连接OD .(1)求证：直线OD是eE的切线；(2)点F为x轴上任意

3、一动点，连接 CF交e E于点G ,连接BG :-1当tan ACF ,时，求所有F点的坐标(直接写出)；BG求的最大值.CF【答案】(1)见解析；(2)Fi丝,031F2 (5,0)； BG的最大值为 -. CF2【解析】【分析】(1)连接DE ,证明/EDO=90即可；(2)分'F位于AB上”和F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可;一 一 BG 1作GM BC于点M ,证明 ANFi ABC，得，从而得解CF 2【详解】(1)证明：连接DE ,则: BC为直径BDC 90BDA 90OA OBOD OB OAOBD ODBEB EDEBD EDBEBD OBD EDB

4、ODB即： EBO EDO CB x 轴 EBO 90EDO 90，直线OD为e E的切线.(2)如图1,当F位于AB上时:ANF1 ABCAN NF1 AF1AB BC AC，设 AN 3x ,则 NFi 4x, AFi 5x CN CA AN 10 3x.tan ACFF1NCN4x 1，口,解得：x10 3x 71031. AF15x5031OF150314331即F1如图2,当F位于BA的延长线上时：AMF2 ABC43 c,031 设 AM 3x,则 MF24x, AF2 5x CM CA AM 10 3xF2M4x 1 .tan ACF CM 10 3x 72解得：x 5 AF2

5、5x 2OF2 3 2 5即 F2（5,0）<*S2如图，作GM BC于点M , BC是直径 CGB CBF 90CBF CGBBG MG MGCF BC 8 MG 半径 4.BG MG 4 1CF 88 2BG的最大值为-.CF2【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和 性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问 题.3.已知：如图，在四边形 ABCD中，AB/ CD, / ACB =90； AB=10cm, BC=8cm, OD 垂 直平分A C.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同

6、时，点Q从点D出 发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PH AB,交BC于点E,过点Q作QF/AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t ( s ) (0vtv5),解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在 BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ,使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻t ,使OE! OQ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

7、B£3 215一 一5【答案】(1) t=4s； (2) S四边形 pego_tt6 , (0t 5)； (3) t 时,882SI边形PEGO 取得最大值；(4) t 16时，OE OQ.5【解析】【分析】(1)当点E在/BAC的平分线上时，因为 EP± AB, EC± AC,可得PE=E(C由此构建方程 即可解决问题.(2)根据 S 四边形 opeG=Soeg+Sxope=Soeg+ ( Sopc+Sx pc&Sa oe。构建函数关系式即可.(3)利用二次函数的性质解决问题即可.EC GQ(4)证明/EOC=Z QOG,可得tan/EOC=ta也QOG

8、,推出 ，由此构建方程即OC OG可解决问题.【详解】(1)在 RtABC 中，./ACB=90, AB=10cm, BC=8cm,AC=j102 82 =6 (cm),.OD垂直平分线段 AC, . OC=OA=3 (cm) , / DOC=90 ；1. CD/ AB,Z BAC=Z DCO, / DOC=Z ACB, .DOCBCA,AC AB BCOC CD OD61083 CD Od，CD=5 (cm) , OD=4 (cm), ,. PB=t, PH AB,易知：PE=3t BE=5t,44当点E在/BAC的平分线上时，-. EP± AB, EC± AC, .PE

9、=EC3 t=8-5t,44t=4当t为4秒时，点E在/BAC的平分线上.(2)如图，连接OE, PC.1 3 838253 8 -t43t21ft16(0t 5).(3)存在.68- (0 t35)，t=勺时，2(4)存在.四边形如图,OPEG的面积最大，最大值为连接 OQ.68 .OEXOQ, / EOC吆 QOC=90 ； / QOC+Z QOG=90 ；/ EOC=/ QOG, tanZ EOC=tanZ QOG,EC GQOC OG8 4t3t54 4t5整理得：5t2-66t+160=0 ,解得t16一或10 (舍弃)516，当 t 一秒时，OELOQ.5【点睛】本题属于四边形综合

10、题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.4.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适(如图 1),侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热 架ACO 后，电脑转到 AO，B，位置(如图3),侧面示意图为图 4.已知OA=OB=24cm,。/ C± OA 于点 C,。/ C=12cm.(1)求/ CAO/的度数.(2)显示屏的顶部 B/比原来升高了多少？(3)如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/ B，与水平线的夹角仍保持 120。，

11、则显示屏。/ B7应绕点。/按顺时针方向旋转多少度?【答案】(1) /CAO =30； (2) (36- 12/3) cm； (3)显示屏O'而绕点O'按顺时针 方向旋转30°.【解析】试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD, AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin/ BOD=24X?=12石，由C、O'、B'三点共线可得结果；(3)显示屏O 而绕点O'按顺时针方向旋转 30。，求得/EO B'/干O A=30；既是显示屏O'应绕点O'按顺时针方向旋转 30°.试

12、题解析：（1） ,0，（1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C OfC 12 1sin / CAO -=,OU di 24 2 ./CAO'=我ED（2）过点 B 作 BDL AO交 AO 的延长线于 D, 1. sinZ BOD=一 , . BD=OBsin/ BOD,OS / AOB=120 ,° Z BOD=60 ,°BD=OBsinZ BOD=24 XL. =12后,O' LOA,/CAO' = 30 ./AO' C=e 0：/AO' B' =120 Z AO' 叱 AO' C=180

13、°.O/ B' +O3 D=24+12- 12 百=36-12 招，显示屏的顶部 B比原来升高了（ 36-12百）cm；（3）显示屏O域绕点O'按顺时针方向旋转 30。，理由：二,显示屏O'若水平线的夹角仍保持 120°, ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B'弓 120 ° ./EO' ET FO' A=3 0 ° 显示屏O'鹿绕点O'按顺时针方向旋转 30：考点：解直角三角形的应用；旋转的性质

14、.5.已知RtABC中，AB是。O的弦，斜边 AC交。O于点D,且AD=DC,延长CB交。O 于点E.(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 明理由；(2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F. 若CF=CD时，求sin/CAB的值；CE的长？请说若CF=aCD(a>0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结 果)【答案】(1) AE=CE (2)"；口+2 .【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)

15、连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得 /AEF=90 从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得 力” =AD?AF. 当CF=CD时，可得月从而有EC=AE=CD,在DEC中运用三角函数可得DC y3sin/CED""，根据圆周角定理可得 /CAB=/ DEQ即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD(a>0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1) AE=CE理由：连接 AE、DE,如图 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , AD=DQ.AE=C

16、E(2)连接 AE、ED,如图2, /ABE=90,. AE是。的直径，: EF是。OO的切线，AE AD/ AEF=90,°/ ADE=/ AEF=90, °又/ DAE=Z EAF ，AADEAAEF,.=AD?AF. 当 CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC, . =DC?3DC= , .AE=" DC, EC=AE DC OC L/J.EC=3DC, .1.sinZ CAB=sinZ CED="=/""= " 当 CF=aCD(a>0)时，sin/CAB=" + 2. CF=aCq AD=DC

17、, . . AF=AD+DC+CF=(a+2) CD,/E'dC? (a+2) DC= (a+2)心, . AEG'。- 2DC,EC=AEEC=Ja + 2DC,dc _ oc. .sin/CAB=sin/CED=" a = =)C= a2 .考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型.6.如图，在 RtABC中，/BAC=90°, / B=60°, BC=16cm, AD是斜边BC上的高，垂足为D, BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点 N从点E出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN为边在BC的上方作

18、正方形 MNGH.点M到达点D 时停止运动，点 N到达点C时停止运动.设运动时间为 t (s).(1)当t为何值时，点 G刚好落在线段 AD上？(2)设正方形MNGH与RtABC重叠部分的图形的面积为 S,当重叠部分的图形是正方形 时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.(3)设正方形 MNGH的边NG所在直线与线段 AC交于点P,连接DP,当t为何值时， CPD是等腰三角形？【答案】(1) 3; (2); (3) 1=9$或1= (15-6寸)s.【解析】试题分析：(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间 t.(2)先求出t的取值范围，分为 H在AB上时，此时BM的距离，进而求

19、出相应的时间.同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出 EN的长度即可求出时间，再通过正 方形的面积公式求出正方形的面积.(3)分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由 EN的长度便可求出t的值.试题解析：= / BAC=90 , / B=60°, BC=16cm . AB=8cm, BD=4cm, AC=8V, cm, DC=12cm, AD=4/cm. (1)二.当G刚好落在线段 AD上时，ED=BD- BE=3cm3. .t=1s=3s;.(2)二当MH没有到达AD时，此时正方形 MNGH是边长为1的正方形，令 H点在AB 上，则/HMB=90 , /B=60°,

20、 MH=1BM= C cm. 1-1= S s.当MH到达AD时，那么此时的正方形 MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令 G点 在AC上，0设 MN=xcm ,则 GH=DH=x, AH= " x,AD=AH+DH= ' x+x=工 x=41”，.x=3.A 3A当"wtw园,SMNGN=1cm2.当 4V tw 阳寸,SMngh= (t-3) 2cm2 I £二14皿幻It -3)2(4< £ < 6).s关于t的函数关系式为：-.(3)分两种情况：二当DP=PC时，易知此时 N点为DC的中点，MN=6cm EN=3cm+6c

21、m=9cm. t=9s故当t=9s的时候，4CPD为等腰三角形；当 DC=PC时，DC=PC=12cmNC=6 cm1. EN=16cm - 1cm - 6 cm= (15-6'，) cm.t= (15-6,3)s故当t= (15-6*) s时，CPD为等腰三角形.综上所述，当1=9$或1= (15-6')s时，4CPD为等腰三角形.考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式； 6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用l过点D且与x轴平7.如图，矩形 OABC中，A(6, 0)、C(0, 2J3)、D(0,

22、373),射线行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足ZPQO= 60o.当点Q与点A重合时，点(2)设点P的横坐标为x, OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为 S,P的坐标试求S与x的函数关系式和相应的自变量 x的取值范围.【答案】(1) (6, 2/).30. （3, 373）（2）4-3x 4J3 0 x 333 2 一xS 2_2 3 x354 3 xx【解析】13.3 x312.3解：(1) (62出）30.3x5（3, 3右）.（2）当 0WxW射,如图1,OI=x, IQ=PI?tan60 °, =OQ=OI+IQ=3+x;由题意可知直线l/ BC/ OA,可得

23、 EF = PE=DC 31OQ PO DO 3 3 3此时重叠部分是梯形，其面积为：S S梯形EFQO 5(EF OQ) OC4,3/、4V 3(3 x) x 4v333当3vxW5时，如图2,1-AH AQ2,3 2 13 3：3x x 。2321 ,S 一(BE OA) OC 族122=" 12.3。3x) 3当x>9时，如图4,1S -OA AH2118、3 54 3 6 =.2 x x3x2S 2.2 3 x354 3一x x综上所述，S与x的函数关系式为：4-3X 4.3 0 x 313 33 0 广x 3x53 212 3 5 x 99(1)由四边形OABC是矩形

24、，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：四边形 OABC是矩形，.AB=OQ OA=BQA (6, 0)、C (0, 2 J3),，点 B 的坐标为：(6, 2 J3). 由正切函数，即可求得 /CAO的度数：0c _ 2 - 3 _ 3tan CAO = , ./ CAO=30 .由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点 Q与点A重合时，过点P作 / PQO=60 ； D (0, 373),PE=3>/3 . AEPEtan600.OE=OA- AE=6- 3=3, .点 P 的坐标为(3, 3百)(2)分别从当0WxW时，当3vxW5时，当5vxW9时，当x>9时去分析求

25、解即可求得答 案.8.如图以4ABC的一边AB为直径作OO,。与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作。的切线交AC边于点F.(1)求证：DF, AC;(2)若 / ABC=30 ,求 tan / BCO的值.【答案】(1)证明见解析；(2) tan / BCO39【解析】试题分析：(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD/AC,根据切线的性质可证明DEL OD,进而得证.(2)过。作OF, BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解.试题解析：证明：连接OD .DE 为。O 的切线，OD，DE.O为AB中点，口为BC的中点.ODll

26、 AC DEXAC(2)过。作 OFBD,则 BF=FD在 RtBFO 中，Z ABC=30 .OF=1OB , BF=3OB .BD=DC, BF=FD八 3.32OB 二* 9FC=3BF=OBOF在 RtA OFC 中，tan / BCO=FC2点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=1OB, BF= OB, FC=3BF=3e OB是解题关222键.9 .如图，AB是。的直径，E是。上一点，C在AB的延长线上，ADLCE交CE的延长 线于点D,且AE平分/ DAC.(1)求证：CD是。的切线；(2)若 AB= 6

27、, /ABE= 60°,求 AD 的长.9【答案】（1）详见解析；（2）-2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到 / OAE= / DAE,再利用半径相等得 / AEO= / OAE,等量代 换即可推出OE/AD,即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在 RtAABE中，AE= AB cos30 ；在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 AE可解题.【详解】证明：如图，连接 OE,1 . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DAE.2 .OA=OE,/ AEO= / OAE/ AEO= / DAE.3 .OE/ AD.4 .DCXAC,OEXDC./

28、 EAB= 30 ；在 RtA ABE 中,在 RtADE 中,AE=AB cos30°=6X3 = 373，2/ DAE= / BAE= 30°,.AD=cos30 x°2【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示 出所求线段是解题关键.10. 3米/秒=65.88千米/小时60千米/小时.此车超过限制速度.4分11.已知抛物线y=- 1x2-2x+2与x轴交于点A, B两点，交y轴于C点，抛物线的对63称轴与x轴交于H点，分别以OG OA为边作矩形 AECO (1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物

29、线上的任意一点，在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP面积最大时，求|PM - OM|的值.(3)如图，将AAOC沿直线AC翻折得AACD,再将4ACD沿着直线AC平移得A'C ' .D使得 点A'、C在直线AC上，是否存在这样的点D',使得EDI直角三角形？若存在，请求出点D'的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2副【答案】(1) y= -x+2； (2)点M坐标为(-2, 5)时，四边形 AOCP的面积最大，此时 33|PM-OM|有最大值 等;(3)存在，D'坐标为：(0, 4)或(-6, 2)或(|, 19)【解析】【分析】(1)令x=

30、0,则y = 2,令y=0,则x=2或-6,求出点A、B、C坐标，即可求解；(2)连接OP交对称轴于点 M,此时，|PM-OM|有最大值，即可求解；(3)存在；分 A'DAE；ADT ED'；ED± AE三种情况利用勾股定理列方程求解即可.【详解】(1)令 x= 0,则 y = 2,令 y=0,则 x=2 或6,，A ( 6, 0)、B (2, 0)、C (0,2),函数对称轴为：x= - 2,顶点坐标为(-2, 8) , C点坐标为(。，2),则过点C3的直线表达式为：y=kx+2,将点A坐标代入上式，解得：k 1 ,则：直线AC的表达式3为：y ；x+2；(2)如

31、图，过点P作x轴的垂线交AC于点H.四边形AOCP面积=4AOC的面积+4ACP的面积，四边形 AOCP面积最大时，只需要 ACP的面积最大即可，设点 P坐标为(m,1m26+2),则点G坐标为（m, 1 m+2）,3S>A ACP -PG?OA21-?(22m+231m 2) 3?61 .m2 - 3m ,当m = - 3时，上式2取得最大值，则点P坐标为（-I).连接 OP交对称轴于点 M ,此时，|PM - OM|有最大值，直线OP的表达式为:5-x,当 x= 2 时,6y 5 ,即：点M坐标为（-2,35一 .一, 一 一）,|PM-OM|的最大值为:3(3 2Y m222守61

32、6（3）存在. AE=CD, /AEC=/ADC= 90 °, DM, AM=MC,设：EM=a,则:/EMA=/DMC,AEAMADCM (AAS) , . EM =MC=6 - a.在RtDCM中，由勾股定理得： MC2=DC2+MD2,即：(6-a) 2=22+a2,解得：a 8,则:310MC,过点3D作x轴的垂线交x轴于点N,交EC于点H.在RtDMC中，1 DH?MC21 MD?DC,即:2DH103则：DH 85HC DC2 DH 26 r ,，一，即：点D的坐标为（56 18一，一）5 5设：4ACD沿着直线AC平移了 m个单位，则：点 A'坐标（-3m m

33、j 一7=,刁=),点D坐标10 . 106 3m 18为(j=，一5.10 5m一i=）,而点E坐标为（-6, 2）,则. 10m 22 4m(2) =m4,10.10若AED为直角三角形，分三种情26、2/18、22 / 3m 2A'D'2=( 6 5)() =36, A'E2 = ( 10)9 *43m、2/m、2232 m128ED'=(W.io)(5/o)=m.10不况讨论：2当 A'D'2 + A'E2=ED'2 时，36+m4m032m 128.10，6 3m 18m、，4)；此时 D ( ,，一,)为(05 、,1

34、0 510c 22232m1282 4m当 A'D'2 + ED'2=A'E2时，36+m-= -=m -y=.105j106 3m 185标5mr=)10为（一6, 2）;m=8.1050°2 4m232m128当 A'E2+ED'2= A'D'2 时，m -7= 4+m r= = =36,解得: .10.105或 m = 0，此时 D，（ 6 4m,18 m）为（6, 2）或（-3 , 19）.55 .10 5,105 5 .319综上所述：D坐标为：（0, 4）或（-6, 2）或（-,一）. 55【点睛】本题考查了

35、二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A'、口的坐标，本题难度较大.12.已知：如图，直线y=x+ 12分别交x轴、y轴于A、B点，将4AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE.（1）求AE的长及sin / BEC的值;（2）求4CDE的面积.【答案】（1） 5&，sin/BEC=3; （2） 75 54【解析】【分析】（1）如图，作CF，BE于F点，由函数解析式可得点 B,点A坐标，继而可得ZA=Z B=45 ；再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6CF=BF=3,2

36、,设 AE=CE=X 贝U EF=AB-BF-AE=12-3 J2-x=9j2-x,在 RtCEF中，利用勾股定理求出 的值即可求得答案；(2)如图，过点E作EMLOA于点M,根据三角形面积公式则可得Sacde=SaekKZadx AE 设 AD=y,则 CD=y, OD=12-y,在 RtOCD中，利用勾股定理求 4出y,继而可求得答案.【详解】(1)如图，作 CF±BE于F点,由函数解析式可得点 B (0, 12),点A (12, 0) , /A=/B=45°,22则，OC=BC=6, CF=BF=3j2，设 AE=CE=x 则 EF=AB-BF-AE=12 2 -3,

37、2 -x=9.2 -x,在 RtCEF中，cEcP+eF,即 x2= (9j2-x) 2+ (3，2)2, 解得：x=5j2，CF 3故可得 sin/BEC=-AE=5& ；CE 5(2)如图，过点 E作EMOA于点M,Scde=S aed= -AD?EM=-ADX AEsin EAM=1 AD?AEX sin45 - ADX AE2224设 AD=y,贝U CD=y, OD=12-y,在 RtOCD中,OC2+OD2=CD2,即 62+ (12-y) 2=y2,解得：y=15,即 AD=15,故 S»a CDE=Sk aeD= -ADX AE=【点睛】本题考查了解直角三角形

38、的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数 的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键13.已知 RtAABC, Z BAC= 90 °,点 D 是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心 O在AB上且点 M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆。与DB相交于点Q时，过D作DHXAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不

39、变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或，3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE± DM,易得到4ADC为等边三角形，得 /CAD=60°,则/ DAO=30° , / DON=6O ,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=J3, ON=DN=1;23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE

40、,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,得至U DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1；(3)连AP、AQ, DPI AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6(J ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易证得AQCAPD,得到 DP=CQ 贝(J DP-DQ=CQ

41、-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=2，3 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：（1） /BAC 90。，点 D 是 BC 中点，BC= 46 .AD= 1BC= 2方；2(2)连 DE、ME,如图， DM>DE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD=AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1-在 RtADN 中，DN=AD=V3,在 RtODN 中，ON=2/3DN=13， 当ON等于1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形； 当MD=ME, DE为底边，如图3,作DHX

42、AE, . AD=2 73 , /DAE= 30。， .DH=V3, /DEA= 60 °, DE= 2, .ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °- 75 = 15 °,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh=石，1 on= V3 -1 ；综上所述，当ON等于1或百-1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形; (3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 273 .理由如下：连AP、AQ,如图2,.

43、 / C= / CAD= 60 ； 而 DP, AB,2 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 °,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 °,Z CAQ= / PAD,1 . AC=AD, /AQC=/P,2 .AQCAAPD,.DP= CQ,3 .DP- DQ= CQ- DQ= CD= 2 由.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.14.在RtABC中，/ACB= 90°, CD是AB边的中线，DEL BC于E,连结CD,点P在射 线CB上(与B, C不重合)(1)如果 ZA= 30°,如图1, /DCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。，得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上，且 /A= a (0°< a< 90°),连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2 a得到线段DF连结BF请直接写出DE BF、BP三者的数量关系 (不需证明)【答案】(1)/DCB= 60°. 结论：CP= BF,理由见