2020年中考数学九年级三轮冲刺练习《三角形综合》

1、三轮冲刺：三角形综合1.在ABC, AO BC点G是直线BC上一点，CF，AG垂足为点E, BF± CF于点F,点D为AB的中点，连接DF(1)如图1,如果Z ACB= 90° ,且G在CBi上，设CF交AB于点R且E为CR的中点，若CG= 1,求线段BG的长；(2)如图2,如果/ ACB= 90° ,且 G在CB边上，求证：EF北DF;(3)如图3,如果/ ACB= 60° ,且G在CB的延长线上，/ BAG= 15° ,请探究线段 ERBD之间的数量关系，并直接写出你的结论.精品文档 可修改欢迎下载图1图上图32.如图，在 ABC中，AB=

2、 AC= 5, BC= 6,点D是边AB上的动点(点 D不与点AB重合)，点G在边AB的延长线上，/ CDE= /A,/ GBE= / ABC DE与边BC交于点F.(1)求cos A的值;(2)当/ A= 2/ ACD寸，求AD的长;(3)点D在边AB上运动的过程中，ADBE的值；如果变化，请说明理由.BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD3.在 RtABC中，AG= BG Z ACB= 90 ,点 D是 BC上一点.(2)如图 2,点 E在线段 AD上，且/ CED= 45° , / BED 30° ,求证：BE= 2AE(3)如图3, CD= BD过B点作BML

3、 AD AD的延长线于点 M 连接CM过C点作CNLCMK ADT N,求证：DN= 3DM4 . (1)问题发现如图 1,在 4OA序口 4OC珅，OA= OB OC= OD Z AOB= /CO吩 40 ,连接 AC B改于点M填空:ACBD的值为/ AMB勺度数为(2)类比探究如图 2,在4OA讲口 OCD, / AOB= / COD 90 , / OAB= Z OCD= 30 ,连接 AC交BD的延长线于点 M请判断 M的值及/ AMB勺度数，并说明理由;DD(3)拓展延伸在(2)的条件下，将 OCDg点O在平面内旋转，AC BD所在直线交于点 M,若OD= 1,D在同一条直线上时 A

4、D的长.5 .如图1, ABCDC苗B是等边三角形.探究发现(1) ABCDW AC蕾否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.拓展运用(2)若B、C E三点不在一条直线上，/ ADC 30° , AD= 3, CD= 2,求BD的长.(3)若B、C E三点在一条直线上(如图 2),且 ABC DCE勺边长分别为1和2, 求ACD勺面积及AD的长.6 .阅读下面材料，完成(1) - ( 3)题.数学课上，老师出示了这样一道题：如图1,点E是正 ABC边AC上一点以BE为边做正 BDE连接CD探究线段 AE与CD 的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通

5、过观察和度量，发现/ ABE/ DBG目等. ”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分/ ACD老师：“保留原题条件，连接 AD F是AB的延长线上一点，AD= DF (如图2),如果BD = BF,可以求出CE CR EB三条线段之间的数量关系.”(1)求证：/ ABE= / DBC(2)求证：线段 BC平分/ ACD(3)探究CE CB EB三条线段之间的数量关系，并加以证明.7 .如图， ABCADEtB是等腰三角形，其中 AB= AC AD= AE 且/ BAG= / DAE(1)如图，连接 BE CD求证：BE= CD(2)如图，连接 BE CD 若/ B

6、A(C= / DA号 60 , CDLAE, AD= 3, CD= 4,求 BD的长；(3)如图，若/ BAC= / DAE= 90° ,且C点恰好落在 DE上，试探究 CD、CE和BC 之间的数量关系，并加以说明.图 图 国8.如图1,在等边 AB8, E、D两点分别在边(1)求/ AFE的度数；AB BC上，BE= CD AD CEf交于点 F.(2)过点 A作 AHLCE于 H,求证：2FH+FD= CE;一-2, PF ,(3)如图2,延长CE至点P,连接BP, / BPC= 30。，且CF=丁CP,求一的值.y Ar(提示：可以过点 A作/KAF= 60° , A

7、K交PC于点K,连接KB9.如图，射线 AN上有一点B, AB= 5, tan /MANL,点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线 AN运动，过点C作CDL AN射线AM于点D,在射线CD上取点F,使得C鼻CB连结AF设点C的运动时间是t (秒)(t>0) .(1)当点C在点B右侧时，求AD DF的长.(用含t的代数式表示)(2)连结BD设 BC曲面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式.(3)当4AFD是轴对称图形时，直接写出 t的值.10.如图1,在平面直角坐标系中点 A B在坐标轴上，其中 A (0, a) , B (b, 0),满足| a - 3|+Vb-4=0-(1)求

8、点A B的坐标;(2)将AB平移到CD点A对应点C( - 2, mt ,若 ABCW积为13,连接CO求点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，求证：/ AOC= / OAB/OCD(4)如图2,若AB/ CD点C D也在坐标轴上，点 F为线段AB上一动点(不包含 A B 两点)，连接 OF FP平分/ BFQ ZBCP= 2/PCD 试证明：/ COF= 3/P- / OFP(提示： 可直接利用(3)的结论).参考答案(1)解：如图1中，在CAh取一点H,使得Chk CG,. CA= CB / ACB= 90 ,.Z CAB= 45° ,AE! CR CE= ER. AC= AR/

9、CAG= / GAB= 22.5. CG= CH= 1,.GH=JcH%G2=J 12 +凡/CHG= 45. / CHS / HAG/ HGA/ HAG= / HGA 22.5,. HA=HG=血，. CB= CA CG= CH. BG= AH=2，(2)解：如图2中，连接CD DE. cnAG BCL CF,，/BCF Z CAE= 90° -/ACE在 AE/口 CFBrAC=BCZBCF-ZCAE , lZCEA=ZCFB=Oc .AEC2 CFB(AAS ,.AE= CF, CE= BF, 等腰 RtAABO, / ACB= 90° , AC= BC .CD= B

10、Q / CDB= 90° ,CDB= / CFB= 90° ,/ FBD= / DCE在 BFD CED,irBF=CEZFBD=ZECD, ,BD=CD .BFW CED(SAS ,DF= DE / FDB= / EDC / EDC/ EDB= / BDF+ZBDE= 90 , . DEF等腰直角三角形，EF= DF.(3)如图3中，结论：器.理由：连接AF,在EC上取一点H,使得ChkAH,连接AH. AO BC / ACB= 60.ABB等边三角形，/CAB= 60° , AB= AC= BC/ BAG 15 , ./ CAE= 75° ,CEL

11、AG / CEA 90 , ./ ACE= 15° , /BCM /AC3 /ACE= 45 ,BF± CE .Z FCB= / FBC= 45 ,FB= FG. AB= AC AF垂直平分线段 BC AF平分/ CAB ./ FAB=-i-ZCAB= 30 , 1 ./ EAF= / EFA= 45° , .EF= AE,设 EF= AE= m. HC= HA ./ HCA= / HAC= 15° , ./ EHA= / HCA/ HAC= 30° ,.AHh 2AE= 2m EHh m,，EC= 2n+ .血AC=也即十堞屋五正上山/） 2

12、=（我哂）mDC j 加4. BD= AB= AC=- m,.BD = 7W6EF 22,解：（1）作 AHL BC于 H, BML AC于 M. AB= AC AHL BCBHh CHh 3,，a+4, Saab-亍？BC?AH=g?AC?BM3*号A阵几4评后-管)2cos冷出1AB725(2)设 AH交 CDT K./ BA8 2/ACD Z BAH=Z CAM . Z CAR Z ACK . CK=AK 设 C限 AQx,在 RtCKH中，则有 x2= ( 4 - x) 2+32,25解得x=告，c52R. ARC降年，8. Z AD£ Z ADC / DAQ Z ACQ.

13、A ADIA CDAADCDAKACDKAD25 匚8 =K，设 AD= mV 8D除n,(3)结论：AD BE=5: 6值不变.理由：. / GBE=Z ABC / BAG2Z ABG= 180 , Z GBEZ EBGZ ABG= 180 ,Z EBG= Z BAQZ ED段 Z BAG .Z EBG=Z EDC .D, B E, C四点共圆， .Z EDB=Z ECB/ EDBZ ED仔/ ACDZDAQ Z EDG= Z DAQEDB=Z ACQ ./ ECB=Z ACQ/.A ACIA BCE Z ACB= Z AHB= 90 , AD= AQ / DAG= / DAH.AD窿 AD

14、H(ASA , .AC=AH DG=DH. C/CB Z C= 90 , ./ B=45 , . / DHB=90 , ./ HDB=Z B=45 ,. HD=HB. BH=CQ AB= AH-BH= AGCD(2)如图2中，作BMAD交AD的延长线于 M,连接CM图工ACB= / AMB= 90 ,. C, A B, M四点共圆， AM© / ABC= 45 ,/ CEIW 45 , ./ CEIW / CME. CE= CM ./ ECIW / ACB= 90 , ./ ACE= / BCMCA= CB CE= CM. .AC降 BCIVKSAS , .AE= BM .在 RtZ

15、 EMBK / MEB= 30 , . BE= 2B阵 2AE(3)如图 3 中，作 CHLMNT H.C图3 . / ACB= / AMB= 90 ,. C, A B, M四点共圆, Z AM6 / ABG= 45. CNL CM ./ NCIM： 90° ./ CNM： / CMN .CN= CM. CHL MN .HN= HM. CD= DB / CH® /BMD90 , / ADH= / BDM. .CH陛 BMD(AAS , .DHh DM .HN= HM，DN= 3DM/ DOB= / COA .OAG OBD(SAS ,. AC= BD / CA®

16、/ DBO / AJM= / BJO ./ AMJ= / BOJ= 40 , -1j|=1, / AMB40 ,故答案为：1, 40° ./ AMB= 90°理由：设AO交BM于J.DC® 30 ,在 RtCO加，./ DO仔90° , /-1-= tan60 °An同理可得：强;四DU.CO_OA丽一福/ COD= Z AOB= 90 , / COA= / DOB CO# DOB,I AC| |口C I FT / / JAM= / JBO/ AJM= / BJO，/ AMJ= / JOB= 90 .(3)如图3 - 1中，当点D在线段OA&#

17、177; 时,c图34在 RtAOB中，.一/ AOB= 90 ,综上所述，满足条件的 AD的值为2或4.OB=V3，/A= 30 ,OA=心 OB= 3,.OD= 1, . AD= OA- OD= 3- 1 = 2.如图3-2中，当点 D在AO的延长线上时， AD= OA+OD= 3+1=4,5 .解：（1）全等，理由是： ABCF 口 DCEWB是等边三角形， AC= BC DG= EC /ACB= Z DCE= 60° .Z ACBZ ACD= / DCEZACD即/ BCD= / ACE在 BCDF 口 AC*irCD=CEx /BCD=/KE,lbc=ac. .AC摩 BC

18、D( SAS ;（2）如图 3,由（1）得： BC国AACE. BD= AE DCE1B是等边三角形，/ CDE= 60 , CD= DE= 2,. Z ADC= 30° , ./ADE= /ADC/CDE= 30° +60 = 90 ,在 RtADE中,AD= 3, DE= 2,AE= Jad" +DE 2=49+4=,B>/13；(3)如图2,过A作AFLCD于F,B CE B、C E三点在一条直线上， / BCA/ACD/DCE= 180° , AB/口 DCETB是等边三角形， ./ BCA= / DCE= 60 ,/ ACD 60

19、6; , AF在 RtACF中，sin /ACa；77,.AF= AO sin Z ACF= 1XS»A ACD=.CEACX cos/ACIx2=2,FD= CD- CF= 2-一旦2 2在 RtAFD中，aD=A)+fD=3,ad=心.6 . (1)证明：. ABC DEBTS是等边三角形, ./ ABC= / EBD= 60 ,a A ABE/ EBC / EB(+ZCBD/ ABE= / CBD(2)证明：ABC DEEB是等边三角形，. BA= BC BE= BD / BAC= Z ACB= 60° ,. / ABE= / CBD .ABE CBD(SAS , .

20、/ BAE= / BCD= 60 , ./ ACB= / BCD= 60 , .CBW/ ACD(3)解：结论：EC+BE= BC理由：DA= DF，可以将 DB噬点D顺时针旋转，使得 DF与DA重合，得到 DMA连接AM. DA= DF, BD= BF,/ DAF= / F=Z BDF . / BCD= / ABC= 60° ,. CD/ AB ./ CDF= / DAF / MDA / BDF Z F=Z DAB / MDA / CDA .D, C M共线，./AMD= Z DBF= / CDB / ACM= Z BCD= 60 , AM= DM= BD= BF,. AMC BD

21、C(AAS ， .CM= DC=1BD= 2 AB凄 CBD.AE= CDBC= AC= ECAE= CEnCD= C. / BAG= / DAEECBE= BC / BAC/ CAE= / DAE/CAE 即/ BAE= / CADX / AB= AC, AD= AE .ACD ABE （SAS , . CD= BE(2)如图2,连结BE. AD= AE, / DAE= 60° ,.AD比等边三角形, .DE= AD= 3, /ADE= / AED= 60°CDL AE/ CDA=5/ADE=X60° = 30.由（1）得 AC挈 ABE. BE=CD=4, /

22、 BEA / CDA= 30=90 ,即 BE! DE ./BED= /BEA/AED= 30° +60 .BD= f=32+42=5.(3)cD> cE、bC之间的数量关系为： cD+cE=bC,理由如下:解法如图3,连结BE. AD= AE / DAE= 90° ,.D= / AED= 45° ,由(1)得 ACm ABEBE= CD / BEA= / CDA= 45 , ./BEC= /BEA/AED= 45° +45 = 90 ,即 BE!DE在RtBEC中，由勾股定理可知： BC=BE+CE.bC= cD+cE.解法二：如图4,过点 A作

23、API DE于点P. AD曰等腰直角三角形， API DE.AP= EP= DP. CD= ( CF+PD)2= (CRAB 2 = CP+2CP?ARAP,CE= ( EP- CP 2= (AP- CP 2 = AP-2AP?CRCP, .C&CE= 2A1+2CP= 2 (AP+CP),在RtAAPC,由勾股定理可知： AC = AP+cP, .cD+cE= 2AC.ABE等腰直角三角形，由勾股定理可知：，aB+aC= bC,即 2aC=bC,.cD+cE= bC.8.ABE等边三角形,AC= BC / BA仔 / AB仔 / ACB= 60° ,在 EBW dcM,jE

24、E 二CDqZABC=ZACB, ;BC=AC. .EB室DCACSAS ,/ BCE= / DAC/ BCEZ ACE= 60 , / DAC/ACE= 60 , .Z AFE= 60° .(2)证明：如图1中，AHL EC ./ AHF= 90° ,在 RtAFH中，. / AFH= 60 , .Z FAH=30° , .AF=2FH). EB(A DCA. EC=Aq AD=AHD曰 2FI+DR .2FI+D曰 EC(3)解：在PF上取一点K使得KIAF,连接AK BK /AF除 60 , AF= KF,. AF等边三角形， KA展 60 ,Z KAB=

25、Z FAQ在 AB 喇 AFC43,产ACZKA3=ZFAC,AK 二 AF. .AB 陷 MFC (SAS ,.Z AKB=Z AFG=120 , .Z BKE= 120 - 60 = 60 ,BPG= 30 , / PBI 30 ,. FP=CK. PQCK. FP=FKfPKFP=ARCF,设C鼻9a,. CF= 2a, .FP= 7a, .AF= 5a,.PF _ 7a _ 7 .AF 5a 59. . _4解：(1)在 RtAACD, AC= 3t , tan Z MAN=,二 I .CD= 4t .触 JaC%E|2=+(，)2 =4，当点C在点B右侧时，CB= 3t - 5,.

26、CF= CBDF= 4t - ( 3t - 5) = t+5.E 一一 12(2)当 0vtv一时，S= 士？(53t) ?4t = - 6t2+10t.5-, - 112当 t 三时,S= 77? (3t 5) ?4t =6t2- 10t .32(3)如图1中，当DF= AD时， ADF是轴对称图形.5则有5- 3t - 4t = 5t ,解得1=7刁，L如图2中，当AF= DF时，八口比轴对称图形.作 FH! AD.-.FA= DF,.AH= DH= -i,由 cos Z二31可得作 FH! AD.4t-（5-Mt）. FA= DF,5 .AH= DH= t ,由cos/FDhk* 可得 万1=-1,解得t=-54Kt 二 5) 517综上所述，满足条件的t的值为/或器或用. jl &r_j J_ .L, r1