中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案

1、中考数学圆的综合(大题培优 易错难题)含详细答案、圆的综合1.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y轴、x轴的正 半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕。点顺时针旋转，当 A点一次落在直线 y X上 时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x于点m , BC边交x轴于点N (如图).C(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中，P值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】(1) k2 (2) 22.5。(3)周长不会变化，证明见解析【解析

2、】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出/AOM的度数；(3)利用全等把4MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，直线 y=x与y轴的夹角是 45°,，OA 旋转了 45 °. OA在旋转过程中所扫过的面积为4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /

3、OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45 -22.5 =22.5 .(3)在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 °-Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.OAEAOCNI.，OE=ON, AE=CN又 / MOE

4、=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.2.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过 点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点 Q,连接PQ, M为线段PQ的中 点.(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；(2)当。M与x轴相切时，求点 Q的坐标；(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段 QM扫过图形的面

5、积.【答案】 见解析；(2) Q的坐标为(3J2, 9) ；(3)日.8【解析】(1)解：连接AM、BM,. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点 .-.AM = BM = PM=QM= 1 pq,A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MG，y轴于G, MC，x轴于C, .G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=

6、6,设 OP= HQ= x由BO'QHB,彳导 x2=3XQ 8, x= 3 72 点Q的坐标为(3 J2 , 9)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5) .MiM2= 9 -3= - , QiQ2=6-4= 222线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：1x3 + 2) X 4.5 63.【解析】【分析】根据已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接 解答此题.【详解】(1)解：连接 AM、B

7、M,. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= 5 PQ, A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MGy轴于G, MCx轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x由BO'QHB,彳# x2= 3X 8, x= 3.点Q的坐标

8、为(3区9)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)9 c 3-,- . M iM 2= 7 3=), QiQ2= 64=2线段QM扫过的图形为梯形 MiM2Q2Qi其面积为：4 +2)X4当萼. 上 二O【点睛】本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键3.如图，AB为。的直径，点E在。上，过点E的切线与AB的延长线交于点 D,连接BE,过点。作BE的

9、平行线，交。于点F,交切线于点 C,连接AC(1)求证：AC是。的切线；(2)连接EF,当/D= 。时，四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明：.CD与。相切于点E,OE CD ,CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE ,COECOA,又. OCmOC oa=

10、oe OCA0 OCE（SAS , CAO CEO 90 ,又 AB为。O的直径，.AC为。O的切线；（2）解：二四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE为等边三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir4.如图，AB为eO的直径，弦CD/AB, E是AB延长线上一点，CDB1 DE是e O的切线吗？请说明理由；【答案】（1）结论：DE是e O的切线，理由见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接OD ,只要证明OD DE即可；（2）只要证明：AC

11、BD, VCDBsVDBE即可解决问题.【详解】1解：结论：DE是e O的切线.理由：连接OD.Q CDB ADE ,ADC EDB,QCD/AB,CDA DAB , QOA OD ,OAD ODA,ADO EDB, Q AB是直径，ADB 900,ADB ODE 900,DE OD , DE是e O的切线.2 QCD/AB,ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，AC BD ,Q DCB DAB , EDB DAB , EDB DCB ,VCDBs VDBE , CD DB ， BD BE BD2 CD BE ,AC2 CD BE . 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质

12、、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型5.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点， /PAC4 B, AD为。的直径, 过C作CG，AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直线PA与。O的位置关系，并说明理由； (2)求证：AG2=AFAB；（3）若。的直径为10, AC=2j5, AB=4j5,求4AFG的面积.【答案】（1） PA与。O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3） 3.【解析】试题分析：（1）连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得/B=/D,由已知/PAC玄B,可

13、证得 DA，PA,继而可证得 PA与。O相切.（2）连接BG,易证得AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论 （3）连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 AEFABD,即可求得 AE的 长，继而可求得 EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：（1） PA与。O相切.理由如下：如答图1 ,连接CD,.AD 为。的直径,/ACD=90.°/ D+/CAD=90 : . /B=/D, /PAC玄 B,，/PAC=/D. / PAC吆 CAD=90 ；即 DA± PA. 点A在圆上， .PA与。O相切.答图1(2)证明：如答图2,连接BG,. A

14、D 为。的直径，CG± AD, . . Ac Ad . /AGF=Z ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG： AB=AF： AG. . AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD,. AD 是直径，/ ABD=90. AG2=AF?AB, AG=AC=2而，AB=4y/5 , ：.AF=而.-. CG± AD,/ AEF=/ ABD=90 .一 ，一 一 一 AE. /EAF=/ BAD, .-.AAEFAABD. ABAFAD '即4Al,解得:10AE=2.EF .AF2 AE2v EG . AG2 AE21S afg FG AE21 .4,

15、 FG EG1- 3 2 3.2EF 4 1 3.考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系;角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三6.如图，已知。的半径为1, PQ是。的直径，n个相同的正三角形沿 PQ排成一列, 所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个 A2B2。的顶点A2是B1C1与PQ的交点，最后一个AnBnCn的顶点Bn、O在圆上.如图1,当n=1时，正三角形的边长 ai=；如图2,当n=2时，正三角形的边长a2=;如图3,正三角形的边长 an= （用含n的代数式表示）.(3)同(2),

16、连结BnO,设即 1 = (nh 1)2+ 1a 2 nh=an,21 = an2 +、3nan 彳12图1图2国3【答案】.38:3 4n-3-1131 3n2【解析】分析：（1）设PQ与B1C1交于点D,连接BQ ,得出OD=AQ-OA,用含a1的代数式表 示OD,在AOBd中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a ； （2）设PQ与B2 c2交于 点E,连接B2O,得出OE=AE-OA1,用含a2的代数式表示OE,在OBzE中，根据勾股 定理求出正三角形的边长 32； （3）设PQ与BnCn交于点F,连接BnO,得出OF=AF-OA1,用含an的代数式表示 OF,在4 08口5中，根据勾股

17、定理求出正三角形的边长an.本题解析：3 1 易知A1B1C1的高为-,则边长为 甚,a1 = 33 .(2)设A1B1C1的高为h,则A2O= 1-h,连结 B2O,设B2c2与PQ交于点F,则有 OF= 2h 1.2cccc1。. B2O2=OF2+ B2F2,1= (2h-1)2+ -a22h= 3a2,1= ( 73a2 1)2+a22,解得32= 8立13BnCn与 PQ交于点 F,则有 BnO2=OF2+BnF2, 2解得 an= 4Pl .3n 17.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心o；(要求保留作图痕迹，不写作法 )2若Ab的中点C到

18、弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接oa, oc, oc交ab于d,如图2,根据垂径定理的推论，由 c为Ab的中点得i _1一到 OC AB , AD BD -AB 40，则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求;QC为AB的中点，OC AB ,1AD BD AB 40, 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA

19、2 OD2 AD2,222r (r 20)40 ,解得 r 50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.8.如图，A是以BC为直径的。上一点，AD± BC于点D,过点B作。的切线，与 CA 的延长线相交于点 E, G是AD的中点，连结 CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的 延长线相交于点 P.(1)求证：BF=EF:(2)求证：PA是。的切线；(3)若FG=BF,且。O的半径长为3J2,求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见

20、解析；(3) 2J2【解析】分析：(1)利用平行线截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到/FAO=/EBQ结合BE是圆的切线，得到 PA! OA,从而得到PA是圆。的切线；(3)点F作FHI± AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度.详解：证明：(1).BC是圆。的直径，BE是圆。的切线，EBXBC；又 ; AD± BC,.AD/ BE.BFCDGC AFECAGAC,BF CF EF CF. DG CG ' AG

21、CG 'BF EF=，DG AG G是AD的中点, DG=AG,BF=EF;(2)连接 AO, AB.,. BC是圆O的直径， / BAO90 ；由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点, .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BAO,. BE是圆O的切线，/ EBO=90 ； / FBA+ZABO=90 ； / FA9/ BAO=90 ;即 / FAO=90°, PAX OA, .PA是圆O的切线；(3)过点F作FH,AD于点H, . BDXAD, FHXAD, .FH/ BC,由(2),知 / FBA=Z BAFBF=AF.

22、 BF=FG, .AF=FG, .AFG是等腰三角形. .FHXAD, .AH=GH, DG=AG, . DG=2HG.日口 HG 1 DG 2. FH/BD, BF/ AD, / FBD=90 ；四边形BDHF是矩形, .BD=FH,1. FH/ BCFH CD即见CD,2 .3.,.HFGADCG, HG 1 DG 212.15, 3 O的半径长为3J2, BC=6V2 ， .BD=1BC =2 J2. 3'点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键9.如图，正三角形 ABC内接于。O,

23、P是BC上的一点，且 PB< PC, PA交BC于E,点F 是PC延长线上的点，CF=PB AB=&3, PA=4.(1)求证：ABPACF;(2)求证：AC2=PA?AE；(3)求PB和PC的长.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) PB=1, PC=3.【解析】试题分析：(1)先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得/ACF=Z ABP,于是可根据 “SA第J断ABPACF;(2)先根据等边三角形的性质得到/ABC=/ ACB=60,再根据圆周角定理得/APC=/ ABB=60 力口上/ CAE=/ PAQ于是可判断 AC上APC,然后

24、利用相似比即可得 到结论；133(3)先利用 AC2=PA?AE计算出 AE=,则PE=AP-AE=,再证4APF为等边三角形，得44至I PF=PA=4贝U有PC+PB=4接着证明 AABPACEF得至U PB?PC=PE?A=3然后根据根与系数的关系，可把 PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长.试题解析：(1) . /ACP+/ ABP=180 ,又/ ACP+/ACF=180 , / ABP=Z ACF在ABP和ACF中， . AB=AC, /ABP=/ACF, CF PBABP 9 ACF .(2)在 AEC和 ACP 中， Z APC=Z

25、ABC,而 ABC是等边三角形，故 / ACB=/ABC=60o, / ACE "PC .又 / CAE 之 PAC,AEC" ACP.处王，即 AC2 PA AE .AP AC由(1)知 ABP 9 ACF , . / BAP=/CAF, CF PBZ BAP+Z PAC=Z CAF+Z PAC / PAU BAC=60 ,° 又 ZAPC= / ABC= 60 :APF是等边三角形.AP=PF PB PC PC CF PF PA 4在PAB与CEP中， / BAP=Z ECP ,又 / APB=Z EPC=60, PAB s CEPPB PAPB -PA，即

26、PB PC PA PEPE PC由(2) AC2 PA AE , _2 _ _ 2ACPB PCPA AEPA PEPA AE PEPA22 AC2PB PCPA AEPA PEPA AE PEPA2oooo o _ 2PB PC PA AC PA AB 4.133因此PB和PC的长是方程x2 4x 3 0的解.解这个方程，得为1 , x2 3 . . PB<PB,PB=x1 1 , PC=X2 3 , PB和PC的长分别是1和3。【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角 形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方

27、 程。10.如图，已知 BC是。的弦，A是。外一点，4ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为。上一点，并且 /BMC=60 .(1)求证：AB是。的切线；(2)若E, F分别是边 AB, AC上的两个动点，且 /EDF=120,。的半径为2,试问BE+CF勺值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见试题解析；（2） BE+CF的值是定值，为等边 ABC边长的一半. 【解析】试题分析：（1）连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得ODXBC, /BOD=/ COD,即可得到 Z BOD=Z M=60° ,贝U / OBD=30&#

28、176;,所以 /ABO=90°,于 是得到AB是。的切线；（2）作 DMXABT M , DNXACT N,连结 AD,如图2,由4ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到 AD平分/BAC, /BAC=60 ,利用角平分线性质得 DM=DN,得ZMDN=120 °,由 / EDF=120 , °得到 /MDE=/NDF,于是有 DME DNF,得到 ME=NF,得至ij BE+CF=BM+CN 由 BM=IBD, CN=1 OC,得至U BE+CF=1 BC,即可判断 BE+CF的值是 222定值，为等边 ABC边长的一半.试题解析：（1）连结 OB、OD,如

29、图1,D为BC的中点，.-.OD± BC, / BOD=/ COD,./ODB=90； Z BMC=1 ZBOC, . / BOD=/M=60 °, . . / OBD=30 ； . ABC为正三 2角形，/ABC=60, . ABO=60+30 =90°, ABXOB, . AB 是。的切线；（2） BE+CF的值是为定值.作口“，人8于”，DNLAC于N,连结 AD,如图2, 丁 4ABC为正三角形，D为BC的中 点，AD 平分/BAC, /BAC=60, . DM=DN , / MDN=120 , / Z EDF=120, . / MDE=/NDF,在 AD

30、ME 和 4DNF 中，/ DME=/ DNF. DM=DN, /MDE=/NDF, .DMEADNF, . ME=NF, . . BE+CF=BM- EM+CN+NF=BM+CN,在 RDMB 中，/DBM=60； .BM=1BD,同理可得 CN=1OC,BE+CF=1 OB+1 OC=- BC, 'BE+CF22222的值是定值，为等边 ABC边长的一半.S1图2考点：1.切线的判定；2.等边三角形的性质；3.定值问题；4.探究型；5.综合题;6.压轴题.11 .如图，AB是。的直径，弦BC= OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC, OE于点F, G.（1）

31、求/ DGE的度数；c 什 CF 1- BF (2)右=-，求 的值；OF 2 GFCFSi(3)记CFB ADGO的面积分别为 Si,瞋，若C=k，求的值.(用含k的式子表OFS2示)_c 7S1k2 k 1【答案】(1)/DG$ 60。；(2)； (3)=_k_J .2S2k 1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得 /DGE的度数；(2)过点F作FHI±AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 BF的 BF长度，再证得 FG8 4FCB进而求得 的值；GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三

32、角形相似、勾股定理可以用含k的式子表不出的值.S2【详解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；“1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,点E为CD中点,OEXCD,/ GED= 90 ；/ DGE= 60 -(2)过点F作FHAB于点H设 CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH= 1OF=1, 2 .HF=OH= 33 , HB= OB- OH= 2,在 RtBHF 中，BF JhB2 HF2 J7，由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DG

33、E= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .-.FGOAFCB,OF GFbF CF，BF 7= .GF 2过点F作FHAB于点H,设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1, / COB= 60 ；.八 11 - OH= - OF= 22HF= ,30H-11HB=OB-OH=k+-,2在 RtBHF 中,BF= HB2 HF2由(2)得: FGOAFCB,GOCBOFGO，即；BFk -k2.GOk 1"k1=k=1,过点C作CP，BD于点 / CDB= 30 °1PC= - CD,2点E是CD中点,1 .DE= -

34、CD, 2PC= DE,.DEXOE,& BFS2 - GOk2 k 1k_1_. k2 k 1k2圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.12.如图，。的直径 AB=26, P是AB上述与点 A、B重合)的任一点，点 C、D为。上 的两点，若/APD=/BPQ则称/CPD为直径AB的回旋角若/BPC=/DPC= 60°,则/CPD是直径AB的 回旋角”吗？并说明理由；13(2)若Cd的长为一兀，求 回旋角/ cpd的度数；4(3)若直径AB的回旋角”为120°,且4PCD的周长为24+13J3,

35、直接写出AP的长.疗【答案】(1)/CPD是直径AB的回旋角”，理由见解析；(2)回旋角”/CPD的度数为45°(3)满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】 1 。/ CED= ZCOD= 22.5 : 2(1)由/CPD / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直径 AB的 回旋 角”；(2)利用CD弧长公式求出ZCOD= 45。，作CE! AB交。于E,连接PE,利用 /CPD为直径AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到0,所以ZCPD= 45° (3)分出情 的方法得到点 D, P,

36、 F在同一条 。作 OG± CD于 G,/OPE+/ CPD+Z BPC= 180 ；即点 D, P, E三点共线,得到 / OP90 - 22.5 = 67.5 °,贝U / APD= / BPC= 67.5况P在OA上或者OB上的情况，在 OA上时，同理(2)直线上，得到 4PCF是等边三角形，连接 OC, OD,过点利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得 DF,过O作OHLDF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到 AP;在OB上时，同理 OA计算方法即可【详解】/CPD是直径AB的 回旋角”,理由： Z CPA / BPC= 60°,/ APD= 180

37、 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,/ BPC= / APD, / CPD是直径AB的回旋角”；(2)如图 1 , AB= 26,.OC= OD= OA= 13,设/ COD= n°,13Cd的长为一兀，4n n13 131804n = 45,/ COD= 45 :作CH AB交。于E,连接PE/ BPC= / OPE,/ CPD为直径AB的回旋角”，/ APD= / BPC,/ OPE= / APD, / APD+Z CPD+Z BPC= 180 : / OPE+Z CPD+Z BPC= 180 ； 点D, P, E三点共线，“1 /

38、 CED= /COD= 22.5 ,2/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°/ APD= / BPC= 67.5 ,°/ CPD= 45 ；即：回旋角”/CPD的度数为45°, 当点P在半径OA上时，如图2,过点C作C。AB交。于F,连接PF,PF= PC,同(2)的方法得，点D,巳F在同一条直线上，直径AB的回旋角”为120 ；/ APD= / BPC= 30 °,/ CPF= 60 ;.PCF是等边三角形，/ CFD= 60 ；连接OC, OD,/ COD= 120 :过点O作OGL CD于G,- 1 -。，CD=2DG, Z DOG=

39、 Z COD= 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 2 CD=13 3，.PCD的周长为 24+13 3， .PD+PC= 24, PC= PF, .PD+P曰 DF= 24,过。作OHDF于H,-DH= -DF= 12, 2在 Rt/xoHD 中，oh= Odd2 dh 2/在 RtOHP中，/ OPH= 30°,.DP= 10,.AP=OA- OP= 3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP= 3,.AP = AB- BP=23,即：满足条件的 AP的长为3或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点

40、，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论 13. AB是。O直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.X【答案】(1)证明见解析；(2)CD=14X2；(3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积50=.3【解析】【分析】AC BC(1)由圆

41、周角定理可得 / PCD=Z ACB=90,可证ABJPCD,可得 即可得CP CD '证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；14(3)当点P在Ab上运动时，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23_1422Svpcd一PCPC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1)CD,. AB为直径，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且

42、/ CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC： CA=4： 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,当点p运动到Ab的中点时，过点点P是Ab的中点，B作BE, PC于点E/ PCB=45 ；且 BC=4.-.CE=BE=2 BC=2 2 2 / CAB=Z CPBBCtanZ CAB=AC=tan / CAB=3PEPE=.PC=PE+CE=32+2、2 =27、2.AC?CD=PC?BC.-.cd=14131(3)当点P在AB上运动时，Sapcd=- >PC>CD,2由（1）可得：CD=4 PC3

43、一 1422Sa pcd=PC PC = pC,233当PC最大时，APCD的面积最大，2 2 50当PC为。直径时，4PCD的最大面积=-X2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.141)见解析；(2)成立；(3)5(1)根据圆周角定理求出 /ACB=