2020年高二数学上册单元复习训练题22

1、一、选择题1. (2021聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，以下说法正确的选项是 ()A .所有的直线都有倾斜角和斜率B .所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在D .所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案B解析所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90 °勺直线不存在斜率.2.直线的方程分别为们在坐标系中的关系如下图，那么11: x+ay+ b = 0, 12 : x + cy+ d = 0,它()A. b>0, d<0, a<cC. b<0, d>0, a>c答案C1 1解析由图像可知一a>c>0,a

2、 cB. b>0, d<0, a>cD. b<0, d>0, a<cbdb<0, d>0,从而 c<a<0, b<0, acd>0.3. 假设直线 2ax + by+ 4= 0(a、b R)始终平分圆 x2 + y2+ 2x 4y+ 1=0的周长，贝S ab的取值范围是()A. (s, 1B. (0,1C. (0,1)D. (s, 1)答案A解析由题意知直线过圆心(一1, 2), 2a 2b+4= 0,. a+ b= 2,a2+ b2a+ b 2 2ab ,“ab 2=2，ab< 1.4. 直线11 : y = x,

3、 12 : axy = 0,其中a为实数，当这两条直 线的夹角在(0, n内变动时，a的取值范围是()A. (f,叽(1,3)B. (f,3)C.(彳，1)D. (1,3)答案A解析因为k1 = 1,k2 = a,由数形结合知，直线12的倾斜角a (g, nu(n n，所以直线12的斜率a (f, 1) U (1,3).5. 过点P( 1,2)且方向向量为a= ( 1,2)的直线方程为()A. 2x+ y = 0B. x 2y+ 5= 0D. x+ 2y 5= 0C. x 2y = 0解析因为方向向量a= (- 1,2),所以直线的斜率k=-2,又过点P(-1,2),所以由点斜式求得直线方程为

4、 2x+ y= 0.6. (2021 山东济宁)点 A(1,3), B( 2,- 1),假设直线 I : y = k(x2)+ 1与线段AB相交，贝S k的取值范围()1A. k2B. kw 21 1C. k亏或 kw-2D.- 2< kJ答案D解析如图，I 过 P(2,1), kPAw kw kP,3-1十1kPA= 1 _ 2= - 2,而 kPB= 2 2 w7. 过抛物线y2 = 4 3x的焦点，且与圆x2 + y2 2y= 0相切的直线方程是A. 3x + y-3= 0, y = 0B. 3x-y 3 = 0, y= 0C/. 3x + y + 3 = 0, f 3x y +

5、3 = 0D. . 3x + 3y 3= 0, *：3x 3y 3 = 0解析抛物线焦点F(,3 0),圆的方程X2+ (y- 1)2= 1,由图知过 焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是 y= 0故排除C、D.另 一条斜率小于0，应选A.大小关系是()A.fB.C.D.c答案B f x解析作函数f(x) = Iog2(x +1)的图像，易知表示直线的斜率.f c f bf ac > b > a，应选B.fcha"x二、填空题9.一条直线I过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点,O为原点，那么 AOB的面积最小时直线l的方程为.解析设 l: a+b=

6、1(a b>0).因为点p(1,4)在l 上,4- b+1- a-11=4- b+1- a1所以 SAAOB = qab > 8.1_ 4_ 1 a= b= 2,即a= 2, b= 8时取等号.故直线I的方程为4x+ y 8= 0.10. (2021 江西理)设直线系 M : xcos + (y 2)sin =1(0 <0<,2M)以下四个命题：A . M中所有直线均经过一个定点B .存在定点P不在M中的任一条直线上C. 对于任意整数n(n >3)存在正n边形，其所有边均在M中的直线 上D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 (写出所有真命

7、题的代号).答案BC 解析考查直线系方程及直线恒过定点问题.因为xcos + (y 2)sin = 1,所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d1.cos2 + sin2=1.0即M为圆C: x2 + (y 2)2= 1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误.又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，故命题中正确的序号是B, C.11 . a R,直线(1 a)x + (a+ 1)y 4(a + 1) = 0 过定点 P,点 Q 在曲线x2 xy + 1

8、= 0上，贝S PQ连线斜率的取值范围是 .答案3,+乂)x2 + 1y 一 41解析P(0,4),设 Q(x, y)，那么 y = (x 工Q) k=* =】2 1 14x + 1= x 2 2 3> 3.三、解答题12. 过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线11 : 2x y 2 = 0与12 : x + y + 3 = 0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.分析设点A(x , y)在l1上，那么点A关于点P的对称点B(6 x, y)在12上，代入12的方程，联立求得交点，从而求得直线方程.解析方法一 设点A(x , y)在l1上，x+ xB2 =3由题意知宁=0，点 B

9、(6 x， y),解方程组2x y 2 = 0+ 3= 01116y= 316门空0，k= 8.T 3二所求的直线方程为y = 8(x 3)，即8x y 24 = 0.方法二设所求的直线方程y = k(x 3),那么y = k x 32x y 2= 0，解得xA3k2k 2A 4kyA = k2y = k x 3 由x+y+3=0，解得xB =3k 3k + 16kyB = k+1T P(3,0)是线段AB的中点，4k 6k小yA + yB = 0,即 k2+ k+7= 0,二 k2 8k= 0,解得 k= 0 或 k=8.xA + xB2 k=0 舍去,又t当 k= 0 时，xA = 1,

10、xB = 3,此时所求的直线方程为y = 8(x 3),即 8x y 24= 0.方法三 设点A(x1 , y1)在11上，点B(x2 , y2)在12上，那么2x1 y1 2= 0x2 + y2+ 3= 0x1 + x2 = 6y1 + y2= 016，解得x1 =16 y1 = ex2 = 316y2=163可k = kAB = 7 11 = 8,3 T二所求的直线方程为8x y 24= 0.以u= i + mj为方向向量的13. i = (1,0), j = (0,1),经过原点直线与经过定点A(0,1)，以V = mij为方向向量的直线相交于点 P,其中m R,当点P变动时，试问是否存

11、在一个定点 Q,使得|PQ为定值？假设存在，求出Q的坐标，假设不存在，说明理由.解析u= i + mj = (1,0) + m(0,1)= (1, m), v= mi j = m(1,0) (0,1)= (m, 1),设 P(x, y),那么OP= (x, y), AP = (x, y 1).t OP/ u, AP / v,. mx y= 0, m(y 1)+ x = 0,消去m得x2 + y 2 2 = 1，即 x2 + y *2 = 丁，故存在一点1 1Q 0, 2，使得|PQ为定值2.14. 抛物线y2 = 4x的焦点为F,过F作两条相互垂直的弦 AB、 CD,设弦AB、CD的中点分别为

12、M、N.求证：直线MN必过一定点.解析由题设知F(1,0),直线AB的斜率存在且不为零，设1AB : y =k(x 1)(k 工 0)代入 y2 = 4x,得 k2x2 2(k2 + 2)x + k2= 0,xA + xB k2 + 22k2 + 22得 xM = 2= k2，又皿=k(xM 1) = k，故 M( k2 ，R)-1 因为CD丄AB，所以kCD= k，同理可得N(2k2 + 1, 2k).k2 + 22所以直线 MN 的方程为(2k2 + 1k厂)(y + 2k) = ( 2k r)(x 2k21),整理得yk2 + (x 3)k y= 0,因为该方程对任意的k(k工0恒成立，

13、故y= 0x 3= 0,解得 x = 3, y = 0.y=0,故直线MN恒过定点(3,0).点评有些题目在解答时要引入参数，参数的个数可以是一个，也 可以是多个，根本的原那么是在便于解答问题的前提下， 参数的个数越 少越好.15. 有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的， 设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进 水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如下图，假设 40 分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系.1fi加104In的抽钟5卜分析此题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知 是一个分段函数问题，每一段都是一次函数，即直线的方程.因此， 由直线的点斜式方程即可求出.解析当OWxv1C时，直线段过点0(0,0), A(10,20),所以 kOA2010=2,可得点斜式方程为y = 2x.当 10W XV40B寸，直线段过点 A(10,20), B(40,30)，所以 kAB = 40二和=扌，可得点斜式方程为y 20=£(x 10),即y = fx +譽当0W x<10或x>40时，由物理知识可知，直线的斜率就是相应注水或放水的速度.设注水的速度为V1，放水的速度为V2,在第段中， 是只注水，所以V1 = 2,在第段中，是既注水又放水的