2020版高考数学大二轮复习5.1空间几何体学案(文)

1、第1讲空间几何体考点1三视图、直观图与截面图、展开图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、 宽相等”.例1（1）2018 全国卷 I某圆柱的高为2,底面 周长为 16,其三视图如 右圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A. 2 17 B. 2 伯C. 3D. 2（2）2019 黑龙江哈尔滨六中模拟如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8

2、, 当侧面AAB1B水平放置时，液面恰好过 AC BC, A1C, B1G的中点，当底面 ABC水平放置时,液面高为【解析】（1）先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及 M N的位置（N为OP的四等分点）如图所示，连接 MN则图中MN 即为M到N的最短路径._1_ON= 4x16=4, OM= 2,|MN| = #OM+ ON = 22+ 42 = 2加.故选B.(2)设底面 ABC的面积为S,当侧面 AABiB水平放置时，液面恰好过AC, BC, AG, B1C13. 、_ . 一的中点，则水的体积为 4SX 8,当底面ABC水平放置时，设放面图为

3、h,水的体积为Sh,则Sh3一=4SX 8,可得 h= 6.【答案】 (1) B (2)6©技法领悟 I 11 .由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状对接训练1. 2019 广东实验中学段考正方体ABCD-ABCDi中，E为棱BB的中点(如图)，用过点A, E, 0的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()-15 -解析：如图，F为DD的

4、中点，过点 A, E, C的平面为平面 AECF,该平面截去正方体的上半部分后，剩余几何体的侧视图为C,故选C答案：C2.2019 江西八所重点中学联考某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是（B .'23D-2解析：在棱长为2的正方体中还原该四面体 PABCffl图所示，其中最短的棱为 AB和BC,最长的棱为PC.因为正方体的棱长为 2,所以AB= BC= 2, PC= 3,所以该四面体最长的棱长与 3最短的棱长的比值为2,故选D.答案：D考点2空间几何体的表面积与体积空间几何体的几组常用公式（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式:S柱侧= ch（c为底面周长，

5、h为高）；S锥侧= ；?ch' （c为底面周长，h'为斜高）；_1S台侧= 2（c+c ）h （c , c分别为上下底面的周长，h为斜局）.（2）柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh（S为底面面积，h为高）；V锥体=-Sh（S为底面面积，h为高）；1V台= W（S+JSS厂+S ）h（不要求记忆） 3例2（1）2019 天津卷已知四棱锥的底面是边长为42的正方形，侧棱长均为 ，5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心, 则该圆柱的体积为 .（2）2019 重庆一中调考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （）TD|-

6、»-2-"I献图A. 3nB. 4nC. 2 n +4 D. 3 n +4【解析】（1）本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.1由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2,则圆枉底面的半径为易知四棱锥的图为 止7 支=2,故圆柱的图为1,所以圆柱的体积为=.1（2）由几何体的二视图可知，该几何体为半圆枉，直观图如图所不，表面积为2X 2+2*万XnX12+nX1X2=4 + 3n,故选 D.汽了 (2)D(S技法领悟1 .求解几何体的表面积及体积的技巧(i)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位的考虑，熟

7、记公式是关键.求三 棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一 面上.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体, 易于求解.2 .根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤3 1)根据给出的三视图判断该几何体的形状.4 2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量.5 3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.对接训练3. 2019 江苏卷如图，长方体 ABCD- A1B1CQ的体积是120, E为CC的中点，则三棱锥E- BCD勺体积是解析：本题主要考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考

8、 查的核心素养是直观想象、数学运算.因为长方体 ABCD- AB1CD的体积是120,所以CC S四边形abca 120,又E是CC的中点,11111所以二梭锥 E BCD勺体积 VeBCD= _EC' S BCDUX 5CCX3S 四边形 ABCD=YX 120= 10. 332212答案：104. 2019 云南昆明教学质量检测 一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为()俯视用A. 12 .13B. 24C. 12+审 D. 24 + 2/解析：根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积 232+ 7"+2 X4=(2 X2+2) X4= 24

9、.故选 B答案：B考点3多面体与球1 .与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切 点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2 .球的表面积和体积公式3 S 球表=4支 R2（R为球的半径）；43v球=三nR（r为球的半径）. 3例3 2019 全国卷I 已知三棱锥 P ABC的四个顶点在球 。的球面上，PA PB= PC ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA AB的中点，Z CEF= 9

10、0° ,则球。的体积为（）A. 8乖式 B. 4m式C. 2mn D. 46汽【解析】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.方法一 因为点E, F分别为PA AB的中点，所以EF/ PB,因为/CEF= 90° ,所以 EF± CE 所以 PB± CE.A取AC的中点D,连接BD, PD,易证AM平面BDP所以PB! AC 又 A6 C& C, AC CE?平面PAC 所以PB1平面 PAC所以PB±PA PB±PC 因为 PA=

11、PB= PC ABC为正三角形，所以PAL PC即PA PB, PC两两垂直，将三棱锥 P- ABC放在正方体中如图所示.因为AB= 2,所以该正方体的棱长为 ® 所以该正方体的体对角线长为 邓,所以三棱锥P- ABC的 外接球的半径 R=幸，所以球O的体积V= 4:nR3= ¥13 =遍式，故选D.2332-方法二 设 PA= PB= PC= 2a,贝U EF= a,FC= 313,EC2=3-a2.在APEC中，a2+ 3 a2- 2a 22ax/3 acos / PEC=,2在AEC中，a2 + 3-a2-4cos/AEC=2 .2a 3a2. /PEC与/AEC互补

12、,3- 4a2= 1, a =李,故 PA= PB= PC= 2.又AB= BC= AC= 2, PALPB±PC，外接球的直径 2R=、 /2+ * 2+ * 2 = 乖, R=乎,V= gnR3 = t n X 堂 3=4式.2332故选D【答案】D囿技法领悟 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面， 把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d,常利用直角三角形建立量的关系，R2对接训练5 .2019 河南洛阳尖子生联考 四棱锥S ABCD勺所有顶点都在同一个球面上，

13、底面ABCD是正方形且和球心 O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8+ 83,则球。的体积等于()C. 16 nD16,解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥.如图，连结AC则球心。为AC的中点，连接 SO,设球。的半径为 R,则AC= 2R, S0= R,AB= BC= >/2r.取1,2.22 ：6AB的中点E,连接OE SE则0E= -BC=+R, SE= /s0+OE=+R.二该四棱锥的体积取得 22,2最大值时，其表面积等于 8+8/，.(42R)2+4X'2><y2R>< 16R= 8+8/3,得

14、R= 2, 球 O的体积为4nR3=32三.故选A 33答案：A6 .2019 福建五校第二次联考 已知直三棱柱 ABC-A1B1C的6个顶点都在球 O的球面上， 若 AB= 3, AC= 4, AB!AC AA=12,则球 O的直径为 .解析：如图，设BC的中点为D, B1C的中点为D,连接DD,取其中点O ,连接AD, AD,则DL DB= DG DiAi=DiBi = DiG,且DD垂直于直三棱柱的上、下底面，所以点 O'到直三棱 柱的各个顶点的距离相等，即点 O'为直三棱柱的外接球的球心 O,连接OB则球O的直径为 2BO= 2BE2+ DO2 2+ 1X12 2=13

15、.答案：13课时彳业11 空间几何体1.2019 贵州七校联考如图，四面体 ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点 （长方体是虚 拟图形，起辅助作用），则四面体ABC而正视图、侧视图、俯视图分别是 （用代 表图形）（）A. B.C. D.解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线， 因此正视图是；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是.故选 B.答案：B2. 2019 山东德州联考圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图

16、所示是该几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 5n+44 B. 10n+4小C. 14n+4小 D. 18n+4小解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所以几何体的表面积为1c 1c 1: -X4X2 3 + 2X n X2 +2X4X n X2 +2X2 n X、2 + 2限=14 n +43.故选 C.答案：C3.某圆锥的侧面展开图是面积为3n且圆心角为 ?的扇形，此圆锥的体积为（3A.C.解析：设圆锥的母线为 R,底面圆的半径为1=-x2x R = 3n，解得R= 3,底面圆的半径r满足oR 2n，解得r = 1,所以这个圆锥的高h=d3212 r ,扇形的圆心角

17、为a ,则S=- a R=2啦,故圆锥的体积V= 3'r2h=2（汽,故选b.答案：B4. 2019 河南郑州一中摸底某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的棱的长度为（）A. 2 :;6 B. 2 :5C. 4D.2 ：'2解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A CDE林口三锥FABC的组合体,由图知该几何体最长的一条棱为AF, AF=442+ 22+ 22 =2/6,故选A答案：A5. 2019 安徽安师大附中摸底某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 12 B. 18C. 24 D. 30解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱

18、截去一个三棱锥后得11 1到的，如图，该几何体的体积V=；X4X3X5 -X-X4X3X(5 - 2)=24,故选C.23 2答案：C6. 2019 开封高三定位考试某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）C.-23 -解析:由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的一 .73l .一 支 1 n 2 2 n 圆心角为a ,由tan a=¥=J3,得a =,故底面面积为2X X2 =-3-,则该几何体2 n的体积为T><3=2n.3答案：B7. 2018 山东、湖北省质量检测 已知正方体 ABCD- AiBiCiD的棱

19、长为4, E为棱BB的中点，F为棱DD上靠近Di的四等分点，平面AiEF交棱CC于点G,则截面AiEGF的面积为（）A. 2 65 B. i0 ：3C. 4 2i D. 2 2i解析：二.平面AiADD/平面BBCG,A iF/EG.同理，AiE/ GF .四边形 AiEGF为平行四 边形.如图，连接EF,取棱DD的中点K,连接EK,则EK= "+42 =4巾,FK= i,在RtAFKE 中，EF= 432+ i =而，在 RtAiBE 中，AE= 42+ 22 = 2加，在 RtAiDiF 中，AF=442+ i2丁 /,20+i733 i e /2x/2i-= x/i7,在iEF

20、 中，cos/EAF=产一产=i=,故 sin ZEA«F=故截面 AiEGF2X2-j5Xyji7 785485一 .1一 2 . 21. . . 一的面积为 2X2X25X17X -=-=4/21,故选 C答案：C8.2019湖南六校联考如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为等于（A.B.C.D.解析:由三视图可知，该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥（如图），体积V=2+4X2- x= 8, x= 4.故选 D.答案：D9. 2019 安徽合肥调研已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为僻视国

21、A. 48+8 n B. 48 + 4 汽C. 64+8 n D. 64 + 4 汽解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个直四棱柱的组合体，根据图中数据可知，表面积为 4X4X2 7tX2= 2-X4x4 4/ 2=4，7,故四个面中最大面的面积为Sapbc= 4干，故选C. 答案：C11. 2019 广东深圳调研如图，在平面四边形 ABCM, AB= AA CD= 1, BD= J2,BDLCD 将其沿对角线 BD折成四面体 ABCD使平面ABCL平面BCD若四面体ABCD勺所有顶点在同一+4X2X4+2><4 n X2 2= 64+4 n,故选 D.答案：D10. 201

22、9 湖南东部六校联考 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中, 最大面的面积是（）俯视团A. 4 ,；3B. 8 ：3C. 4 ,'7D. 8个球面上，则该球的体积为 （B. 3n解析：如图，设该三棱锥为 P ABC其中P底面ABC PA 4, 4ABC是边长为4的等一1-1边二角形，故 PB= PC= 4y2 ,所以 S>aabc= 2X4X2f3=4，3, S>apab= Sapac= 2X 4X4= 8, Sapbc解析：如图，取BD的中点E, BC的中点 Q连接AE OD EQ AO.因为AB= AD,所以AEL BD. 由于平面 ABDL平面 BCD平面

23、ABDT平面 BCD= BD,所以AE±平面 BCD.因为AB= AD= CD= 1 ,；21'3113BD= 所以 AE=勺，EO= 2,所以 OA=勺.在 RtBDC中，OB= OC= OD= 2BC=为所以 四面体ABCD勺外接球的球心为 0,半彳仝为号,所以该球的体积 V= gnX 坐3=/3£.答案：A12. 2019 河北九校联考已知三棱柱 ABC- ABG的所有顶点都在球 。的球面上，该三 棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球。的表面积为20n，则三棱柱的体积为（）A. 6 :'3 B. 12C. 12 :'3 D. 18

24、4it ff解析：设千。的半径为R,则由4n=20n，得R2= 5.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，23a-3+2h-2故设三棱柱的底面边长为 a,高为h,如图，取三角形 ABC的中心O,四边形BCCB1的中心Q,连接OO, OA QB, OA,由题意可知，在 RtAOO中，。0+ aO=aO=R即R2=5，又 AO=BO,所以 AO=BO,即乂3a 2= 2 2+ 2 2 ， 322由可得a2=12, h = 2,所以三棱柱的体积 V= ¥3a2 h = 603.故选A4答案：A1,高为2/2,点P是圆锥的底面圆周13. 2019 广东广州调研已知圆锥的底面半径为 上一点，若一动点从

25、点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点 P,则绕行的最短距离是解析：易知圆锥的侧面展开图是扇形，如图，设展开的扇形AOA的圆心角为 a ,易得半径OA= 3,因为圆锥的底面半径r = 1,所以根据弧长公式可得2n=3"，即扇形的圆心角2支，公一，a = f.连接 AA ,作 OHL AA , 3汽交AA于点H,则易得/ AO阵 y,所以动点从点 P出发在圆锥侧面上绕一圈之后回到点P的最短距离为所对的弦长，即AA = 2AH=2XOA< sin ZAOH= 2X3Xi3=3 .答案：3 ：314. 2019 陕西宝鸡质检已知A, B, C三点都在以。为球心的球面上， OA OB OC两4 1两垂直，二梭锥 O ABC的体积为则球。