教学内容切线长定理

1、教学内容切线长定理教学内容：切线长定理【学习目标】理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解 决有关问题【主体知识归纳】1 .在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的*段的长，叫做这点到圆的切线长.2 .从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等, 圆4和这一点的连线平分两条切线的夹角.3 .圆的外切四边形的两组对边和相等.【基础知识讲解】1 .切线长”是切线上一条线段的长，具有数量特征， 要明确这条线段的端点是哪两个点，而 切线”是一条直 线，它不可度量长度.2 .理解切线的有关问题，应明确：(1)已知一条切线时，常有五个性质可用.若已知某 一圆的两条切线平行，则连结圆上两个切点的线

2、段为直径；若已知两条切线相交，那么又增加了切线长相等的 性质.(2)如图 7155, PA、PB 切。于点 A、B,则 PA = PB, PO平分/ APB ,可得点A、B关于直线OP对 称，从而有OP垂直平分弦AB、平分翕、月潴以及 OACsapcs/xopa等结论,因此，切线长定理是 证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、垂直关 系的重要依据.DABE图 71%求证:DG = GE.剖析: 线段相等.证明：是的直径八二RF为0C的切线f C± A R) 壬R F_L A RI 】)£J_ J因CA II DE II BF,故考虑借助于比例式来由于CA、CF、FB是切

3、线，可得 CA = CD, DF = BF,这样，就为证DG = EG提供了条件._>L5= fg=A C AC=AC# 门= “匕 rCK，z 'F 口匕p r)C CFACCF.RF为®。的切缜=> C= nC» RF= DFj说明：借助于比例式来证明线段相等，是常用方法.本例灵活运用了平行线分线段成比例、 切线长定理.思考：本例有结论，半径是 AC、BF的比例中项， 请证明，并利用它写出例1的另外解法.例2:如图7157, PA、PB、CD都是。O的切线,/P=60设APCD的周长为Ci,。0的周长为C2, 则C2和2Ci的大小关系是图 7157A

4、. C2>2CiB. C2=2CiC. C2<2CiD. Ci与半径有关剖析： PCD的周长也就是PA+PB的和，只要计 算PA的长就可以了，C2仅与半径的大小有关.解：连结OA、P0.设。0的半径为R./Ci =PC + CD + DP又 CM=CA, DM= DB.Ci=PC + CM+ DM+ PD=PA+PB = 2PA/APB =60°,，/APO = 30°.PA 是。O 的切线，. OA±PA,即/OAP=90°PA在 Rt A POA 中，cotAPO = ，PA = AOcotAPO =，3r /.Ci = 2R C2=2t

5、tR 即 C2<2Ci.故应选C.例3:已知。O内切于ZABC , DE II BC, DE切。O 于点P, AABC的周长为20 cm,如图7158所示，设DE式, 少？图7-=y cm, BC = x cm,试写出y与x之间的函数关系并求当BC为多长时，DE取最大值，最大值是多解：. BC = x, BQ=BM, CQ = CN，BM+CN = BC = x.ADE 的周长为 Caade =AD + DP+PE + AE=AD + DM+ EN+AE=AM + AN =Cmbc (BM+CN + BC) = 20 2x又 DE II BC,C ade_DE20 2xC ABC BC

6、,即工 x2 x -l(x 5)1010，当 BC = x=5 cm,5DE = y取最大值，最大值为2例4:如图7159, AD是。的直径，直线l与。 O交于E、F两点，过点A、D分别作直线l的垂线， 垂足是B、C, CD交。O于G.图 7159(1)证明：AD BE = FG - DF;(2)设 AB = m,BC = n,CD = p,试证明 tanFAD、tanBAF 是方程mx2 nx +p = 0的两个实数根；(3)若(2)中的方程满足n2 = 4mp,判断直线l与。O的位 置关系.(1)证明：过点O作OM Ll,垂足为M .由垂径定理， 得 EM =FM ./AB1l,CD &#

7、177;l, /.AB II CD II OM .又. AD是。O的直径，OD = OA, .CM=BM, BE = CF.CGF =/. / AFD =90 ,Z AFD = / GCF = 90°.四边形 AFGD是圆内接四边形，FAD./. ACFGAFDA .CF.DFFG而，即 AD-CF = FG DF./.AD - BE=FG - DF.AB(2)证明：连结AG,则四边形ABCG是矩形，.= CG.CF. tanFAD =tanFGC = CGCFFBAB ,tanBAF = abCFtanFAD +tanBAF = abFB CF FB BCAB AB AB.四边形A

8、BCG是矩形，.AG./ FDG =/AFE ./.RtADCFRtAFBA .CF CD.ABFB/.CF - FB=AB - CD.又. AB = m,BC = n,CD = p,tanFAD tanBAFnx + p = 0的两个实 tanFAD + tanBAFCF FB CF FB _p AB AB AB m.tanFAD、tanBAF 是方程 mx2 数根.(3)解:若(2)中的方程满足n2=4mp,即A=0. tanFAD = tanBAF .CF FB.ABAB即 CF = FB = CE.，点 E、F 重合.说明直线l和。有一个公共点.，直线l与。O相 切.问,说明：本例是一

9、道综合性很强的题目，而且一题多 环扣一环，请同学们在解题时一定要理清思路.【同步达纲练习】1. (1)若。O的切线长和半径相等，则两条切线所夹 角的度数为30°B.45°C.60°D.90°(2)。为等腰梯形ABCD的内切圆，梯形 ABCD的 周长为40 cm,则此梯形的中位线的长为A. 40 cmC. 10 cm(1)如图7160,若AB、AC分别切。于B、C,延长 OB 至 ij D,使 BD = OB,连 AD , / DAC =78°,则/ADO 等于图 7MCioB.39C.64D.7856(4)如图 7161, AB、AC 切。于

10、B、C, AO 交。 。于D,过D作。切线分别交AB、AC于E、F,若 OB = 6, AO = 10,则AAEF的周长是A. 10B. 12C. 14D. 16(5)在。O的外切梯形 ABCD中，若AD / BC,那么 / DOC的度数为A. 7090 60 456,(6)已知。O的半径为3,点P和圆心O的距离为 过点P作。O的两条切线，则切线的长为A. 3B. 3mC. 33D.2(7)在4ABC 中，AC = 3, BC = 4, AB = 5,则AABC 的H切圆半径为A. 1B. 1.5C. 2D. 我(8)如图7162, PA、PB是。O的两条切线，弦 AB长为8 cm,其弦心距为

11、3 cm,那么切线PA的长为F图 71525 cmB.8 cmC.203 cmD.25了 cm(9)如图 7163,在 RtZXABC 中，/ C= 90°,BC = a,ACD,=b,以AB上一点O为圆心的。O,与BC切于点 与AC切于点E.那么。O的半径等于A.4 abB.a bC. ababd. rr2.填空题(1)圆的外切等腰梯形的两底长分别是 2cm和8 cm, 那么该圆的半径是;(2)圆的外切平行四边形是 ;(3)作一个半径为2 cm的圆，使它与已知60°角的两边 都相切，则圆心到角的顶点的距离是;(4)Rt AABC的内切圆与斜边 AB相切于D,且AD = 5

12、, BD = 3,则 Sa ABC =;(5)。的半径为2,弦AB = 2«,过A、B两点的。 O的切线相交于点P, PO与圆相交于C,则C至|J PA的 距离是;(6)PA、PC分别切。于A、C两点，B为。上与 A、C不重合的点，若/ P=50,则/ABC=.(7)如图7164,已知PA、PB分别切。于A、B两 点，AC工PB于C,且与。相交于点D.若/DBC = 20。，则 / APB =<.图 7 一164(8)如图7165,四边形ABCD是直角梯形，AD II BC , ABLBC.以AB为直径的。O与腰CD相切，切点为E,4设此圆的半径为6 cm,sinC = 5 ,

13、则上底 AD的长为D芯O图 71657如图7166, AB是半圆的直径,AD、BC、是。的切线，切点分别为 A、B、E, DO交AE号CDF,OC交BE于G,图 7166求证：(1)COLDO;(2)四边形EFOG是矩形;(3)FG2=AD - BC.4 .如图7167, PA、PB是。的切线，A、B为切 点，PQLOQ 于 Q, OQ 交 AB 于 M.求证：OA2=OM-OQ.图 71675 .如图 7168,在 RtAABC 中，/ ACB=90°,在 BC边上取一点E,使CE = 6,以CE为直径作半圆O, 切AB于点D,问当BE等于多少时，AC = 6.图 71686 .如

14、图7169,在直角梯形 ABCD中，AD II BC , / B=90 AB = 8 厘米，AD=24 厘米，BC=26 厘 米，AB是。O的直径，动点 P从点A开始沿AD边 向点D以1厘米/秒的速度运动.动点 Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：7-165(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？(2)t为何值时，直线PQ与。O相切、相交、相离？清饮定值此后再宣告官！参考答案【同步达纲练习】1. (1) D (2)C (3)C (4)D (5)B (6)B(7)A(8)C (9)D2. (1)2cm (2)菱形 (3)4cm (4)15 (5)1 (6)65 或 115° (7)40 (8)3cm3. 连结OE.1(1)证/ ODE + / OCD = 2(/ADC + / BCD) =90(2)证/ AEG =/ EGO = / COD=90°.(3)证ODEs/coe,得 OE2=DE - CE.再由OE = FG, AD = DE, CE = BC即可得证.4,连结 OP 交 BC 于