最全圆锥曲线知识点总结

1、i.椭圆的定义：高中数学椭圆的知识总结平面内一个动点 P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(PFiPF2 2a IF1F2 ),这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距注意：若PFi PF2动点P的轨迹无图形.(i)椭圆：焦点在X轴上时为参数)，焦点在y轴上时2.椭圆的几何性质：2 X (i)椭圆(以上万 a2 y b2两个焦点(c,0);RF2I ,则动点P的轨迹为线段讦2；若 PFi |PF2 IEF2,则AB =Jl kXiX2 ,所在直线方程设为X ky6.圆锥曲线的中点弦问题:2y2ab ,则 AB =gk2| yi V2。2Xi ( a b

2、 b2a b 0)为例)对称性：两条对称轴X,22b c )0)。：范围:bcos (参数方程，其中x a, b y b ;焦点:一个对称中心(0,0 ),四个顶点(a,0),(0, b),其中长轴长为2a,短轴长为2b；离心率：e越小，椭圆越圆；e越大,椭圆越扁。(2).点与椭圆的位置关系2X:点P(X0, yO)在椭圆外号ay2b2点P(X0,y0)在椭圆上2 X。2a2N0号=i;点P(X0,y0)在椭圆内 b2X02 次 b23.直线与圆锥曲线的位置关系(i)相交:0 直线与椭圆相交；(2)相切:0 直线与椭圆相切;(3)相离:0 直线与椭圆相离;2 X 如：直线ykX i=0与椭圆一

3、y- i恒有公共点，则m的取值范围是4.焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)5.弦长公式：若直线y kX b与圆锥曲线相交于两点A B,且Xi, X2分别为A、B的横坐标，则若yi,y2分别为A b的纵坐标，则yi遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”222xyb x0 2-2i中，以P(X0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-“上；aba y02X如(i)如果椭圆36(2)线L:(3)求解。在椭圆2 i弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是92X已知直线y=X+i与椭圆3a2当 i(a b 0)相交于A、B两点，且线段b2x2y=0上，则此椭圆的离心率为AB

4、的中点在直22试确定m的取值范围，使得椭圆 匕 i上有不同的两点关于直线 y 4x m对称; 43特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验i.如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心,0!椭圆知识点的应用两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b； 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，

5、是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:222(a b 0), (a c 0) " (a b c )。可借助右图理解记忆:y2的分母的22方程Ax2 By2 C可化为A- 曳221,即上曳CCABB、C同号,C , 一时，椭圆的焦点在x轴上;BC C当一一时，椭圆的焦点在yA B则c相同。2 x 与椭圆, a2X2 a m2bm 1(m7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:若把曲线方程中的x换成X ,方程不变,则曲线关于y轴对称;若把曲线方程中的y换成y ,方程不变,则曲线关于X轴对称;若把曲线方程中的x、y同

6、时换成 x、y,方程不变，则曲线关于原点对称。a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件C且A B时，方程表本椭圆。当一A轴上。5 .求椭圆标准方程的常用方法:待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再 由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然

7、后再根据定义确定方程。6 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2v ,4 1 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为 b22 b ),此类问题常用待定系数法求解。8 .如何求解与焦点三角形 PRF2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦1定理(或勾股定理)、三角形面积公式S PF1F2 jPF1 |PF2 sin F1PF2相结合的方法进行计算解题。将有关线段|PF1、PF2、FF2 ,有关角 F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF1 |PF2、|PF1 | PF2 之间的关系.9 .如何计算椭圆的扁圆程度与离

8、心率的关系长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e -(0 e 1),因为 ac2 a2 b2 , a c 0,用 a、b表示为 e 卜()2 (0 e 1)。显然：当上越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当-越大，e(0 e 1)越小， aa椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用22x y例1.已知F1,F为椭圆 1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B两点若 259EA 怩B 12,则 |AB .例2.如果方程x2 ky2 2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 . 22x y22例3.已知P为椭圆 1 1上的一点，M , N分别为圆(x 3) y 1和圆

9、2516(x 3)2 y2 4上的点，则PM PN的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点 A(J3, 2), B( 2j3,1);(2)经过点(2, - 3)且与椭圆9x2 4y2 36具有共同的焦点；(3) 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为442-4.2例2.椭圆上162y-1的内接矩形的面积的最大值为9题型3:求椭圆的离心率题型7:直线与椭圆的位置关系的判断例 1、 ABC 中，A 30o,AB 2, SVabc底,若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则椭圆的离心率为例1.当m为何值时,直线y x m与

10、椭圆2x1621相交相切相离9例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭例2.若直线y kx圆的离心率为21(k R)与椭圆工 51恒有公共点，求实数 m的取值范围;题型4：椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)题型8：弦长问题x2例1.已知实数x, y满足一421,则 x22y2 x的范围为例1.求直线y 2x 4x24被椭圆空 91所截得的弦长.2 x例2.已知点A, B是椭圆1 m2y1 ( m nuuu0,n 0 )上两点，且AOuuuBO ,则x2例2.已知椭圆一21的左右焦点分别为F,F2,若过点P (0,-2 )及Fi的直线

11、交椭圆于A,B题型5:焦点三角形问题两点，求ABE的面积;x2例1.已知F1,F2为椭圆 92y一 1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知4P,F1,F2为一个直角三题型9:中点弦问题例1. 求以椭圆角形的三个顶点，且 PF1例2.已知F1,F2为椭圆例3.已知椭圆的焦点是圆上，且PF1题型6:三角代换的应用PPI . IPF1I2,南的值.例2.中心在原点,21内的点A (2,-1)为中点的弦所在的直线方程。5一个焦点为弓(0，而)的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为22C: 1的两个焦点,84Fi(Q 1),F2(Q1),且离心率 e1,求 cos F1PF2.22x y例1.椭圆1

12、上的点到直线l: x y 9169在C上满足PFi PF2的点的个数为1一 求椭圆的方程；设点P在椭20的距离的最小值为求椭圆的方程.例3.椭圆mx22ny 1与直线x y 1相交于A B两点，点C是AB的中点.若|AB 2衣，OC的斜率为， (O为原点)，求椭圆的方程.巩固训练1.如图，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且 BDB1=90o,则椭圆的离心率为x22uuu uuu2 .设Fi,F2为椭圆 A y 1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时，PFi PF2的值为 4223 .椭圆 二)-1的一条弦被 A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是3694.若F

13、i,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,则此椭圆的离心率为22x y 5.在平面直角坐标系中，椭圆 一2 今 1(a b 0)的焦距为2c,以。为圆心，a为半径的圆, a b2过点(a-,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .c双曲线基本知识点双曲线标准方程(焦点在X轴) 22Y 221( a 0, b 0)a b标准方程(焦点在 y轴) 22-2- -21 (a 0, b 0)a b定义：平面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的匪M |MF1|MF2 2a 2

14、a F1F2)的点的轨迹叫离叫焦距。对称轴 X轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点O(0,0)焦点坐标Fi( c,0) F2(c,0)Fi(0, c)F2(0,c)焦点在实轴上，c Ja2 b2 ；焦距：IF1F2 2c顶点坐标(a,0) ( a,0)(0, a,) (0, a)离心率e - J1,(e 1) a V a渐近线方程by -x aay蓝共渐近线的双曲线系方程22鼻鼻 k (k 0)a2b222二' k ( k 0)a b直线和双曲线的位置22双曲线 S 士 1与直线y kx b的位置关系： a b221利用 a2 b21转化为，元二次方程用判别式确定。y kx

15、 b二次方程一次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长 AB| Ji k2J(x1 x2)2 4x1x2补充知识点:等轴双曲线的主要性质有：(1)半实轴长=半虚轴长(一般而言是 a=b,但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b这两个字母)；(2)其标准方程为x2 y2 C ,其中C 0；（3）离心率e 、工；2 x C .422 yD. x -14（4）渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直;例5、与双曲线例题分析:2y161有共同的渐近线，且经过点3,273的双曲线的一个焦点到一条例1、动点P 与点 Fi(0,5)与点 F2(0, 5)满足 PFi| |PF26 ,则点P的

16、轨迹方程为（渐近线的距离是A.22上L 191622-y- 1(y > 3)1692 x162 x同步练习一：如果双曲线的渐近线方程为A. 53例2、已知双曲线542 yk163L5或5342y92y91(y< 3)则离心率为（D. 3A.12 k 1同步练习二：双曲线2例3、设P是双曲线二(A) 8(B)(C) 2(D) 1同步练习五：以例6、下列方程中，以22(« L 11641的离心率为D. 12 k2yb22yk的范围为（1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0, E, F2分别是双曲线的左、右焦点，若 PF13,

17、则PF2的值为同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为（0, 2）,（0 2）,且经过点（2,/5）,则双曲线的标准方程例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（x22(A) y-y =1(B)9y2=1 和 y2- 二二133。3x为渐近线，一个焦点是 F （0,x±2y=0为渐近线的双曲线方程是(B)1621 (呜 y22)的双曲线方程为_21 (D)x同步练习六：双曲线8kx2-ky 2=8的一个焦点是（0 , 3）,那么k的值是例7、经过双曲线x2(1)求 |AB|.(C)y 2- x-=13和 x2- - =13(D)22二-y2 = 1 和 x-392L=13

18、同步练习四：已知双曲线的中心在原点,两个焦点Fi, F2分别为（而0）和（而0）,点P在双曲线上且PFi PF?,且PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为（2y31的右焦点F2作倾斜角为30 °的弦AB,（2） Fi是双曲线的左焦点，求 FiAB的周长.22同步练习七过点（0, 3）的直线l与双曲线2-1只有一个公共点，求直线 l的方程。43高考真题分析1.12012高考新课标文的准线交于A, B两点,(A) 22.12012高考山东文10】等轴双曲线C的中心在原点,AB 4/3 ;则C的实轴长为（(B) 2,2(C)2211】已知双曲线C1 ：告22a b焦点在x轴上，C与抛物线(

19、D)1(a0,b 0）的离心率为2.C2：x2 2py（p 0）的焦点到双曲线 G的渐近线的距离为 2,则抛物线C2的方程为y2 16x若抛物线(A)x283y (B)x2163 y(C)x28y (D)x216y333.12012高考全国文10】已知F1、52为双曲线C:x2 y2 2的左、右焦点，点 P在C上,| PF1 | 2 | PF2 |,则 cosF1PF2隹占 八、八、顶点(p,0)( p，0)(0，p)焦点在对称轴上O(0,0)(0，p)(A) 14(B)(C)离心率e=14. （2011年高考湖南卷文科26）设双曲线二a2y_91(a0）的渐近线方程为 3x 2y 0,则a的

20、值为（）5.12012高考江苏8 （5分）在平面直角坐标系2xOy中，若双曲线 m2，一 1的离心率为45, m24准线方程顶点到准线的距离焦点到准则m的值为线的距离抛物线焦半径准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。A(xi, y1)焦点弦焦点弦AB的几条性质A(x”y1)B(x2,y2)AF x1AFx1AF y1 1AFy12(xi x2) p(Xi x2) pL xX2, Y2(y y2) p(y y2) p以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则|AB| Vpsin若AB的倾斜角为 ，则|aB 2pcos2p2x1x2，yy2P411 AF BFAB2AF BF AF?BF AF ?BF p切线方程y°y p(x x0)y°yp(x x°)x°xp(y V。)x°xp(y y°)1、直线与抛物线的位置关系ABy2 j1 jj(y1(2).中点 M (x。，y0),点差法:x0xx22，设交点坐标为A(x1, %),y2)2 4y1y2、1 kv yy2y0代入抛物线方程，得y kx b . 一直线l : y kx b ,抛物线C : y2 2px , 由 2 ，洎y得： y 2px1d=0(1)当k=0时，