(整理)高数下册知识点

1、精品文档高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a = (ax,ay,az), b = (bx ,by,bz), 则 a ± b = (a* 士 bx ,ay ± by ,az ± bz),九 a =(九 a*,九 ayaz)；5、向量的模、方向角、投影：_/ 2 °2_-2"1)向量的模：r =，x十y+z ；2)两点间的距离公式：AB|

2、= (X2 - Xi)2 + (y2 - yi)2 + (Z2 - Zi)23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 a,Pj4)方向余弦：cos'x - yz仃 cos J；，cos：cos2:cos2 :cos2 = 15)投影：Prjua = a cos中，其中华为向量a与U的夹角(二)数量积，向量积1、数量积：a b = |a I b cos6-21)a a = a2) a 1 b a b = 0a b 二 axbx ayby azbz运算律：2、 向量积：c = a'b大小：| a 11bbina，方向：a,b,c符合右手规则1) a 父 a = 02)abu a

3、 x b = 0 _1 jka 父 b = axayazbxbybz运算律：反交换律 b a = - a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f (x, y, z) = 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) = 0 ,绕y轴旋转一周：f (y产Jx2 + z2) = 022绕z轴旋转一周：f(±«x +y ,z)=03、柱面：F(x,y)二 0的柱面F (x, y) = 0表示母线平行于z轴，准线为jz = 04、二次曲面精品文档1）椭圆锥面：72ab22）椭球面：a万b2旋转椭球面：oa3)单叶双曲面:2x2a4)双叶双曲面:2x2a5)

4、椭圆抛物面:6)双曲抛物面7)椭圆柱面:8)双曲柱面:9)抛物柱面:2z-2cb2b22z2c2z2c2 x 一2 ab2（马鞍面）2x2a2x2a（四）空间曲线及其方程b2b2ay2x-2ab2F(x,y,z) = 01、般方程:G (x, y,z) = 0x(t)a cos2、参数方程:y（t）,如螺旋线：y ya sin,z = z(t)bt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z) = 0一 、一G(x, y, z) = 0H （x,y） = 0消去Z,得到曲线在面xoy上的投影L=0（五）平面及其方程1、点法式方程：A（x - x。） B（y - y。） C（z - z。）=

5、 0法向量：n = (A,B,C),过点(x°, y°, z°)2、般式方程：AxBy Cz D =x截距式方程：a b(A2BG),3、两平面的夹角：n1 =（A,B1,CJ , n2cos"AAB1B2"2A2B12C12,A2B2 C2-1 - -2-AA2B1B2C1C2 =0_A1B1G一 一二 二二12A2B2 C24、点 P0(x0, y0,Z0)到平面 Ax + By +Cz + D = 0的距离:,Axo + By。+ CZ0 + D| d = r=-' A2 B2 C2(六)空间直线及其方程1、般式方程:A1x +

6、B1y + C1z + D1 = 0A2xB2y C2z D2 = 02、对称式（点向式）方程:x- Xoy - yoz- Zom n p方向向量：s = (m,n, p),过点(xo, yo, zo)x = x0 mt I3、参数式方程：'y = yo + ntz = z。pt4、 两直线的夹角： = (mi,ni, pl, S2 = (m2,n2, P2),cos吊网+n#2 +2,m2 n2 p12 m2 n2 p；L1 - L2 二m1m2n1n2p1P2 = oL1 / L2 =m1n1p1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,. s|Am + Bn

7、 + Cpsin审二/一/, A2 B2 C2 m2 n2 p2L 二二 Am Bn Cp = oABCL 一 二三一一 m n p6、平面束：n 1 : A1x 十 B1y + C1z + D1 = 0 , n 2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0过n i, 口 2的交线的平面构成平面束，方程为：A1x B1y C1z D1(A2x B2y C2z D2) = 0第九章多元函数微分法及其应用(一)基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区 域，有界集，无界集。2、多元函数：z= f (x, y),图形：3、极限：, lim 、f(x,

8、y)=A(x,y).(x0,y0)4、连续：, lim 、f (x,y) = f (x0,y。)(x,y) >(x0,y0)5、偏导数：f(x。 x, y。)- f (x。，y。)xf (x0, y°y) 一 f (x°, y°):f.6、方向导数*: 7r 吧+f (x x, y y) - f (x, y)其中t =:f f f(x)2 ( y)2, x"cos： , y = tcos：:lcos-x:f ：77cos。其中a ,F为1的方向角。7、梯度：z =f(x, y),则 gradf (x0,y0)= fx(x0,y0)i + fy(x0

9、,y°)j。Liz z8、全微分：设z = f(x,y),则dz=;xdx 7ydy(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:偏导数连续2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则3）隐函数求导：（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数z= f（x, y）的极值fx = 0解方程组f _ c求出所有驻点，对于每一个驻点（X0,y0）,令fy = 0A= fxx(Xo,yo) , B= fxy(Xo,yo) , C = fyy(Xo,yo),若AC-B2a0, A>0,函数有极小值，

10、若AC-B2a0, Am0,函数有极大值;若AC - B2 < 0 ,函数没有极值；若AC - B2 = 0 ,不定。2)条件极值：求函数z= f(x, y)在条件中(x,y)=0下的极值令：L(x,y)= f (x,y)+*N(x,y)Lagrange 函数Lx =0 x解方程组 Ly=0(x, y) =02、几何应用1)曲线的切线与法平面x = x(t)曲线:，= y，则上一点m (%,y0,z0)(对应参数为M)处的切线方程为: z = z(t)x - X0y - y°z- zx (t。)一 y (t。)一 z (t。)法平面方程为：x (t0)(x - xO) y (t

11、°)(y - y°) z (t°)(z- z0) = 02)曲面的切平面与法线曲面工：F (x, y,z) = 0 ,则工上一点M (x0,y0,z0)处的切平面方程为：Fx(x0,y0,z0)(x- %) Fy(x0,y0,zJ(y - y0) Fz(x°, y°,zQ)(z- zj= 0x - x0= y - y°= z- z0法线方程为：Fx(x0,y0，4) Fy(x0,y0，4)Fz(x0,y0，4)第十章重积分(一)二重积分n1、定义：”f(x，y)d。=四£ fGdk D2、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体

12、的体积。精品文档4、对称性问题： 设闭区域D关于X轴对称，若f (x,y)关于y为奇函数，即f (x,-y)= - f (x,y), 则 “Df(x,y)d。=0；若 f(x,y)关于 y 为偶函数，即 f(x,-y)= f(x,y),则Df(x，y)d；=2 "If (x, y)d,其中口为口在x轴上方的部分.精品文档设闭区域D关于y轴对称，若f (x, y)关于x为奇函数，即f (-x,y)= - f(x,y),则 “D f(x,y)d。= 0 ；若 f (x, y)关于 x 为偶函数，即 f(-x, y)= f(x, y),则H f (x,y)d仃=2仃f (x,y)d仃 其中

13、口为D在y轴右边的部分. DDi如果D关于原点对称，即(x,y)w D时，有(-xy)w D,若f(x，y)关于x, y为奇函数，即 f (-x,-y) =-f (x,y),则“ f (x, y)d0= 0；若 f (x, y)关于 x, y为偶函数，则ffD f (x,y)da = 2f/D f(x,y)d其中D3为D在上半平面部分;如果D关于y = x对称即(x,y)w D 时，有(y,x)w D ,则Df(x,y)d。= Hd f (y,x)d。5、计算:1)直角坐标D= (x,y)i(x) ” ;(x)a - x bbf(x, y)dxdy= dxa2(x)i(x) f(x,y)dyD

14、 = (x,y)"(y)3 2(y)c - y - ddf(x,y)dxdy 二c2 (y)dy «) f(x,y)dx2)极坐标精品文档精品文档D=（：一）：2(U)f (x,y)dxdy =Dd f ( : cossE): d：、i（二）三重积分n1、定义：“f (x,y,z)dv=呵£ f (W：k)AVk>0 k=12、性质： 3、计算：1）直角坐标f (x,y,z)dv = "dxdyz2(x,y)Zi (x,y)f (x,y,z)dzb/(X，y，z)2 adz Dzf (x, y,z)dxdy先二后一2) 柱面坐标x 二：cos1 y

15、 = Psins ,川 f (x, y, z)dv = Hf (p cos9, p sin9, z)pdpd9dzz 二 z3) 球面坐标x 二 r sincos 71yr sinsin 71I z = r cos J f (x, y,z)dv 11f (rsin cosr sin sin" ,r cos )r2 sin drd d"（三）应用Z、2 JZ、2 .曲面 S:z= f(x,y),(x,y)w D 的面积：A=(装)(")dxdy第十一章 曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分n1、定义：r f(x,y)ds=呵£ KiJj AsLr0 i

16、 口2、性质：1) fjsf (x, y)+ B (x, y)ds = JL f (x, y)ds+ B(g(x,y)ds.2) ( f(x,y)ds= J f(x,y)ds+| f(x,y)ds.(L=Li+I_2).LL1L23)在 L上，若 f (x, y产 g(x,y),则Lf(x,y)ds< !Lg(x,y)ds.4) Lds = l ( l为曲线弧L的长度)3、计算：x;，设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为j(a - t )y = (t),其中*(t)/ (t)在u,P上具有一阶连续导数，且 吸2(t)” 2(t)#0,则Lf(x,y)dsf (t),&#

17、39; (t) 2(t) 2(t)dt ,(：)(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x, y) , Q(x, y)n在L上有界，定义/“小二也:尸"')、，nQ(x, y)dy = limj Q( , k) F .L'° k向量形式：L F dr =,P(x, y)dx Q(x,y)dy2、性质:1)l Fi(x,y) dr E(x,y) dr=:kLFi(x,y) drJ2(x,y) dr ；2)LF(x,y) dr =F (x, y) dr F(x, y) dr ； L1L 23)用L表示L的反向弧，则 l

18、F(x,y) dr = - LF(x,y)dr3、计算:设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x= (t),y =' (t),(t 9T D,其中中(t)(t)在K,P上具有一阶连续导数，且中'2(t) +k2(t)# 0,则L P(x, y)dx Q(x,y)dy =pP (t),1 (t) (t) Q (t),1 (t)1 (t)dt4、两类曲线积分之间的关系:x = (t)设平面有向曲线弧为L： j w 一y = (t)L上点(x, y)处的切向量的方向角为: cosJcp,2(t) +中，2(t)，,(t)Jq，2(t) +中，2

19、(t)，贝U l Pdx Qdy =,(Pcos+ Qcos° )ds.(三)格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数,则有D£Q PPxx ay ,dxdy = Pdx QdyL2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则Q:xFP:yu曲线积分1Pdx + Qdy在G内与路径无关L仁曲线积分勺Pdx + Qdy =0LU P(x,y)dx + Q(x, y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(四)对面积的曲面积分1、定义：设工为光滑曲面，函数f(x

20、,y,z)是定义在工上的一个有界函数,n定义 .f(x,y,z)dS = lim' f(', i, ) §，'0i=i2、计算：“一单二投三代入”工：z = z(x,y) , (x,v)w Dxy,贝U2 ,、2 ,：f(x,y,z)dS =fx,y,z(x,y) 1 zx (x, y) Zy (x, y)dxdy二Dx y(五)对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设工为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在工上的有界函数,n定义 .R(x,y,z)dxdy = lim '

21、R( i , i, i)( S)y ',0i nn同理 P(x,y,z)dydz= lmP( i , i, ')( SJyz0 - i 1n_Q(x,y,z)dzdx=limj R(' , i, J( S'-'>°i=i3、性质：1)1=4 +J,则Pdydz Qdzdx RdxdyIL21Pdydz Qdzdx RdxdyH.Pdydz Qdzdx Rdxdy2)工一表示与工取相反侧的有向曲面，则q_Rdxdy iqRdxdy4、计算：一一投二代三定号”工：z= z(x,y), (x,y)亡 Dxy, z=z(x, y)在 Dxy 上具

22、有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在z 上连续，则人R(x,y,z)dxdy7HD Rx,y,z(x,y)1dxdy,工为上侧取+；工为下Dx y侧取，5、两类曲面积分之间的关系：v Pdydz Qdzdx Rdxdy = . Pcos: Qcos Rcos dS其中口，P J为有向曲面工在点(x,y,z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域 建由分片光滑的闭曲面工所围成，£的方向取外侧 函数P, Q, R在Q上有连续的一阶偏导数，则有£P+ £Q+£RLLL心xy y cz Jdxd yd z Pdydz Qd zdx Rdxd

23、 ydxdydz=二 Pcos： Qcos Rcos dS精品文档精品文档2、通量与散度*通量：向量场A =(p,q,r)通过曲面上指定侧的通量为：！! Pdydz Qdzdx RdxdyFP FQ ：R散度.divA" x :y :z(七)斯托克斯公式*1、斯托克斯公式：设光滑曲面 工的边界是分段光滑曲线，工的侧与r的正向符 合右手法则，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含£在内的一个空间域内具有连续一 阶偏导数，则有epdxd y =(FPdx +Qd y + Rdz yyj白R 6Q、(2 &R、Q cQd dydz+ dzdx+ f U

24、V dz Jlz ex)lx为便于记忆，斯托克斯公式还可写作dxd y=；Pdx Qd y Rdzd yd z d zd x&ciiZ后xcyPQ2、环流量与旋度*环流量：向量场A=(P,Q,R)沿着有向闭曲线的环流量为Pdx+Qdy+Rdz:R旋度：r0tAl5Q :P , z 二 z第十二章无穷级数(一)常数项级数1、定义：Q01)无穷级数：工 un =u1+u2 + u3+ +un + n =1n部分和：Sn =工 Uk = U1 +U2 +U3 + un , k 10a正项级数：£ un , un ±0n 100交错级数：工(-Nun , un之0n 12）

25、级数收敛：若lim Sn = S存在，则称级数工un收敛，否则称级数Z un发散 n.n =1n =13）条件收敛：工un收敛，而£ un发散;绝对收敛：u un收敛2、性质:1)改变有限项不影响级数的收敛性;精品文档COQOQO2)级数£ an , £ bn收敛，则(an ±brJ收敛;n =1003)级数工an收敛，则任意加括号后仍然收敛;n 14)QO必要条件：级数工un收敛=nmun=o.（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：工un , un 0n 11）定义：！imSn = S存在;3)比较审敛法:oOoo£ Un , 

26、3;Vn为正项级数，且Unn 1n4v Vn (n = 1,2,3, )若£ vn收敛，则Z Un收敛；若工Un发散，则三发散.n =1n=14)比较法的推论:oOu Un , n 1QOZ Vn为正项级数，若存在正整数 mn 1，当n > m时,2)0有界;Un - kVn,而£ vn收敛，则£ Un收敛；若存在正整数 m ,当n > m时，Un至kvn, n 1nWoOQO而工Vn发散，则工Un发散. n 1n =1U5）比较法的极限形式：£ Un , £ Vn为正项级数，若Im -= 1 （0£ 1 十，而 ndnW

27、n iVn. UU 二二£ Vn收敛，则工Un收敛；若lim > 0或皿7 ="，而£ Vn发散，则6发n =1nWVnVnn=1n=1散. U6）比值法：Z Un为正项级数，设 吧二1=1 ,则当1<1时，级数工Un收敛；则 n1Unn1当1 > 1时，级数工Un发散；当1 = 1时，级数工Un可能收敛也可能发散.n 1n Tqo oo7）根值法：z Un为正项级数，设Jim VUn = 1 ,则当1 < 1时，级数工Un收敛；则 n ,n 1n =1当1 > 1时，级数£ Un发散；当1 = 1时，级数工Un可能收敛也可

28、能发散 n 1n 18）极限审敛法：工Un为正项级数，若nimn Un > 0或崛n-Un= +*，则级数工Un n 1n =1发散；若存在p>1,使得nimjf （<+s）,则级数收敛.交错级数:Un , un 之 0满足：Un+1Un (n = 1,2,3,)，oO莱布尼茨审敛法：交错级数：'(-1)n 1CO且lim Un = 0 ,则级数工(-1)nun收敛 n，二nJ任意项级数:Z Un绝对收敛，则工un收敛。n =1n =1常见典型级数：几何级数:QOnaqn =0发散,p-级数:p n -1 n【发散,(二)函数项级数1、定义：函数项级数Z un(x), n 1收敛域，收敛半径，和函数;CO、,n2、哥级数：乙anxn =0收敛半径的求法:liman 1R = 0, 则收敛半径 |3、泰勒级数lim Rn(x)n二二 f (n)(X)f(x)=n.-(x-x0)nf(n()1nimf(7v(x-x0)n1=0展开步