上海市虹口区复兴中学-学年高一上学期期中数学试卷含解析

1、.2014-2015 学年上海市虹口区复兴中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12 题，每题4 分）1（ 4 分）函数的定义域是2（ 4 分）若集合 A= （ x， y） |x+y=3， B= （ x，y） |x y=1 ，则 A B=3（ 4 分）已知全集U=R ，集合 P=x|x2 5x 60 ，那么 ?UP=4（ 4分）命题 “若 a=1，且 b=2 ，则 a+b 4 的否命题是5（ 4分）设 A=1 ， 2， 3， 4 ， B=1 ，2 ，则满足 B? C? A 的集合 C 有个6（ 4分）若不等式x2 ax b 0 的解是 2 x 3 则 ab=7（ 4分）已知集合M=y|

2、y=x 2 1， xR ，则 MN=8（ 4 分）设 f（ x）=，若 f （ x）=3 ，则 x=9（ 4 分）设 ：0 x 4， ： 1 xa， 是 的充分条件，则实数a 的取值范围是10（ 4 分）设全集为 U，集合 A ? U 、B? U ，则下列关系中与 A ? B 等价的是（写出你认为正确的所有序号）（ 1） AB=A ；（2） A B=B ；（ 3） A CUB=? ；（ 4） BCUA= ?11（ 4分）不等式 kx2 kx+1 0 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为12（ 4分）定义：关于 x 的不等式 |x A| B 的解集叫 A 的 B 邻域若 a+b 2 的 a+b

3、 邻域为区间（ 2， 2），则 a2+b2 的最小值是二、选择题（本大题共4 小题，每题3 分）13（ 3 分）在下列命题中，真命题是（）A 任何一个集合A 至少有一个真子集B 若 ac2 bc2，则 a bC 若 a b，则 a2 b2D 若 x1，则 x1;.14（ 3分）设甲为0 x5，乙为： |x 2| 3，那么乙是甲的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件15（ 3分）下列不等式中解集为 ? 的是（）A x20B |x 5| 0CD 16（ 3 分）对于使 x2+2xM 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值1 叫做 x2+2x 的上确界，

4、若 a， bR+，且 a+b=1，则的上确界为（）ABCD4三、解答题（本大题共40 分）17（ 6 分）设集合A= 3，a+1， a2 ， B=2a 1，a 3， a2+1 ，若 A B= 3 ，求实数a的值18（ 8 分）已知 U=x|x 2 3x+20 ，A=x|x 2| 1 ，B=x| ，求 A B ，A B ，（ ?U A ） B19（ 8 分）设集合A=x| 2 x 4 ， B=x|x 2 3ax+2a2 0 ，若 B? A ，求实数a 的范围20（ 8 分）如图，在矩形 ABCD ，AB=a ，BC=1 （ a 1），点 E，F， G，H 分别在边 AB 、BC 、CD、 DA

5、上，且有 BE=BF=DG=DH=x（ 1）将平行四边形 EFGH 的面积 y 表示成 x 的函数，并写出其定义域；（ 2）求出平行四边形 EFGH 面积的最大值21（ 10 分）已知命题P：实数 a 满足 |a 1|6，命题 Q：集合 A=x|x 2+（a+2）x+1=0 ，xR ，B=x|x 0 且 A B= ? （ 1）求命题Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（ 2）设 P， Q 皆为真时 a 的取值范围为集合S，T=y|y=x+，xR， m0 ，若 ?RT? S，求 m取值范围;.2014-2015 学年上海市虹口区复兴中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共

6、12 题，每题4 分）1（ 4 分）函数的定义域是 1，0） （ 0， +）考点 ：函数的定义域及其求法专题 ：函数的性质及应用分析：根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域解答：解：要使函数有意义，须，解得 x 1 且 x0 函数的定义域是 1， 0） （ 0， +）故答案为 1， 0） （ 0， +）点评： 此题是个基础题考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等2（ 4 分）若集合A= （ x， y） |x+y=3 ， B= （ x，y） |x y=1 ，则 A B= （ 2

7、， 1） 考点 ：交集及其运算专题 ：集合分析：利用交集的性质求解解答：解： 集合 A= （ x， y） |x+y=3 ， B= （x， y） |xy=1 ， A B= （ x， y） |= （ 2，1） 故答案为： （2， 1） 点评：利用求题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意交集的性质的合理运用3（ 4 分）已知全集U=R ，集合 P=x|x 2 5x 60 ，那么 ?UP=（ 1，6）;.考点 ：一元二次不等式的解法；补集及其运算专题 ：不等式的解法及应用分析：求出集合 P 中不等式的解集， 确定出集合 P，根据全集 U=R ，找出 R 中不属于集合 P的部分，即可求出集合P 的补集

8、解答：解：由集合 P 中的不等式 x2 5x 60，因式分解得： （ x+1 ）（ x 6） 0，解得： x 1 或 x6，得到集合P=x|x 1 或 x6 ，又全集U=R ， ?UP=（ 1， 6）故答案为：（ 1， 6）点评： 此题考查了补集及其运算，利用了转化的思想，是一道基本题型，求补集时注意全集的范围4（ 4 分）命题 “若 a=1，且 b=2 ，则 a+b 4 的否命题是 “若 a1，或 b2，则 a+b4”考点 ：四种命题专题 ：简易逻辑分析：根据命题 “若 p，则 q”的否命题是 “若 p，则 q”，写出它的否命题即可解答：解：命题 “若 a=1，且 b=2，则 a+b4 的否

9、命题是：“若 a1，或 b2，则 a+b4”故答案为： “若 a1，或 b2，则 a+b4”点评： 本题考查了四种命题之间的关系，解题时应熟记四种命题之间的关系是什么，是容易题5（ 4 分）设 A=1 ， 2， 3， 4 ， B=1 ，2 ，则满足B? C? A 的集合 C 有 3 个考点 ：集合的包含关系判断及应用专题 ：计算题分析：根据条件可判定集合C 中必包含1 和 2 两个元素，但不能等于集合A ，然后一一列举出符合条件的集合 C 即可得到答案解答：解： B? C? A 满足条件的集合 C 中必包含1 和 2 两个元素，但不能等于集合A故 C=1 ，2，1，2，3，1 ，2，4故答案为

10、： 3点评： 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，同时考查了真子集的含义，属于基础题6（ 4 分）若不等式x2 ax b 0 的解是 2 x 3 则 ab=30考点 ：一元二次不等式的解法专题 ：不等式的解法及应用分析： 由于不等式 x2 ax b 0 的解是 2x 3，可得： 2， 3 是 x2 axb=0 的两个实数根利用根与系数的关系即可得出2解答：解：不等式x ax b 0 的解是 2x 3，2 2， 3 是 x axb=0 的两个实数根;.，解得 a=5， b= 6 ab= 30故答案为： 30点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题7

11、（ 4 分）已知集合 M=y|y=x 2 1，xR ，则 M N=考点 ：交集及其运算专题 ：计算题分析：先求出集合M=y|y=x 2 1，xR=y|y 1 ，=x| ，再由并集的运算法则计算M N 解答：解： 集合 M=y|y=x2 1，xR=y|y 1 ，=x| ，MN=故答案为：M=y|y=x 2 1，点评：本题考查集合的交集的运用，解题时要认真审题，先求出集合xR=y|y 1 ，=x| ，再由并集的运算法则计算 M N8（ 4 分）设 f（ x）=，若 f （ x）=3 ，则 x=考点 ：函数的零点专题 ：计算题；函数的性质及应用分析：由分段函数和f（ x） =3，得到或或，再分别求解

12、，最后求并解答：解： f（ x） =， f（ x）=3，或或， x?或 x=或 x?，;. x=故答案为：点评：本题考查分段函数及应用，注意各段的x 的范围，以防出错，是一道基础题9（ 4 分）设 ：0 x4，： 1 x a，是 的充分条件， 则实数 a 的取值范围是 4，+）考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：计算题分析：由题意， 是 的充分条件，说明由可以推出，可得 对应集合A 是 对应集合 B 的子集，由此建立不等关系，可以得出实数a 的取值范围解答： 解： 是 的充分条件，说明由 可以推出 ，说明集合（ 0， 4）是集合（ 1， a）的子集，所以有? a4 a 的取值范围

13、为 4 ，+）故答案为： 4， +）点评：本题着重考查了充分条件与必要条件的判断以及其相关性质，属于基础题 牢记：“充分条件推出其它命题成立，必要条件被其它命题推出成立”是解决本题的关键10（ 4 分）设全集为 U，集合 A? U、B? U，则下列关系中与 A ? B 等价的是 （1）（ 2）（ 3）（写出你认为正确的所有序号）（ 1） AB=A ；（2） A B=B ；（ 3） A CUB=? ；（ 4） BCUA= ?考点 ：集合的包含关系判断及应用专题 ：阅读型分析：利用集合的包含关系定义及集合的韦恩图，判断出（1）（ 2）（ 3）对，通过举反例判断出（ 4）错解答：解：对于（ 1），当

14、 A ? B 有 A B=A ；反之，若 A B=A 成立， A ? B 成立，所以（1）对；对于（ 2）当 A ? B 有 A B=B 成立，反之，若A B=B 成立， A ? B 成立，所以（ 2）对；对于（ 3），若 A ? B 一定有 A CUB= ?；反之若 A CUB= ?成立， A ? B 成立，所以（3）对；对于（ 4），若 A ? B，例如 U=0 ， 1， 2 ， A=0 ， B=0 ，1 ，则 BCUA ? ，所以（ 4）不对故答案为（ 1）（2）（ 3）点评：判断集合间的关系，常借助集合的韦恩图或数轴，是一道基础题11（ 4 分）不等式 kx2 kx+1 0 的解集为

15、R，则实数 k 的取值范围为 0， 4）考点 ：一元二次不等式的解法专题 ：不等式的解法及应用分析：由于二次项系数为k，要讨论 k 与 0 的关系，当 k0 时，结合与二次函数的关系解答解答：解： 当 k=0 时，不等式为为 1 0 恒成立，满足题意； 当 k0 时，只要，解得 0k 4；;.2所以不等式kx kx+1 0 的解集为R，则实数 k 的取值范围为0， 4）点评： 本题考查了已知不等式的解集求参数的范围；关键是讨论 k 与 0 的关系，结合 3 个二次之间的关系解答12（ 4 分）定义：关于 x 的不等式 |x A| B 的解集叫 A 的 B 邻域若 a+b 2 的 a+b 邻域为

16、区间（ 2， 2），则 a2+b2 的最小值是 2考点 ：绝对值不等式的解法专题 ：计算题分析：根据新定义由题意得：|x（ a+b 2） | a+b 的解集为区间（2， 2），从而得到关于 a， b 的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2 的最小值解答：解：由题意得：|x（ a+b 2）| a+b 的解集为区间（2， 2）， |x（ a+b 2） | a+b? （ 2， 2（a+b） 2）， 2（ a+b） 2=2， ? a+b=2， a2+b2 （ a+b） 2=2 ，当且仅当a=b 时取等号，2 2则 a +b 的最小值是 2故答案为： 2点评： 本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本

17、不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想属于基础题二、选择题（本大题共4 小题，每题3 分）13（ 3 分）在下列命题中，真命题是（）A 任何一个集合 A 至少有一个真子集B 若 ac2 bc2，则 a bC 若 a b，则 a2 b2D 若 x1，则 x1考点 ：命题的真假判断与应用专题 ：计算题分析：空集没有真子集；若 ac2 bc2，则 a b；当 a， b 为负数时，若a b，则 a2 b2；若x1，则 x 1 或 x=1 解答：解：空集没有真子集，故A 不成立；若 ac2 bc2，则 a b，故 B 成立；当 a， b 为负数时，若 a b，则 a2 b2，故 C 不成立；

18、若 x1，则 x 1 或 x=1，故 D 不成立故选 B点评： 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意集合、不等式知识的灵活运用14（ 3 分）设甲为0 x5，乙为： |x 2| 3，那么乙是甲的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件;.考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：计算题分析：解不等式 |x 2| 3 可得甲对应的集合，由集合的包含关系可得结论解答：解：解不等式 |x 2| 3 可得 1 x 5，由于集合 x|0 x 5 是x| 1x 5 的真子集，故乙是甲的必要不充分条件，故选 B点评：本题考查充要条件的判断

19、，由集合的包含关系入手是解决问题的关键，属基础题15（ 3 分）下列不等式中解集为 ? 的是（）A x20B |x 5| 0CD 考点 ：空集的定义、性质及运算；集合关系中的参数取值问题专题 ：计算题分析：分别加以判断：根据平方非负性得出A 的解集不是空集，根据绝对值大于或等于0得出 B 的解集不是空集，根据二次根号大于或等于0 得出 D 的解集不是空集，因此只要说明C 选项的解集是空集即可解答：解：根据平方非负性，x20，因此不等式 x20 的解集为 1 ，选项 A 不是空集；对于 B， |x 5|0 的解集是 x|x 5， xR ，选项 B 不是空集；对于 C，?，而不等式的根的判别式 =

20、1 40选项 C 的解集是空集；? x= ±1，选项 D 的解集不是空集；故选 C点评： 本题考查了空集的定义和集合中的参数取值等问题，属于基础题请注意本题中的平方、绝对值和二次根号均为非负数的性质16（ 3 分）对于使 x2+2xM 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1 叫做 x2+2x 的上确界，若a， bR+，且 a+b=1，则的上确界为（）ABCD4考点 ：基本不等式在最值问题中的应用专题 ：常规题型；压轴题分析：由题意可知，求的是的最小值，并且a，b 0，a+b=1，由此想到利用1 的整体代换构造积为定值;.解答：解：，（当且仅当时取到等号）（当且仅当时取到上确界）故

21、选 B点评： 这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧三、解答题（本大题共40 分）22， B=2a，若 A B= 3，求实数 a17（ 6 分）设集合 A= 3，a+1， a 1，a 3， a +1的值考点 ：交集及其运算专题 ：集合分析：由 A，B，以及 A 与 B 的交集，确定出a 的值即可解答：解： A= 3， a+1， a2 ，B=2a 1， a 3， a2+1 ，且 A B= 3 ， 2a2 3，1= 3， a 3= 3， a +1=解得： a= 1 或 a=0，当 a= 1 时， A= 3， 0， 1 ， B 3， 4， 2 ，满足题意；当 a=

22、0 时， A= 3，1， 0 ， B= 1， 3， 1 ，此时 A B= 3，1 ，不合题意，舍去，则实数 a= 1点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键18（ 8 分）已知 U=x|x 2 3x+20 ，A=x|x 2| 1 ，B=x| ，求 A B ，A B ，（ ?U A ） B考点 ：交、并、补集的混合运算专题 ：计算题分析：先化简 U ，A ， B 再按照定义依次求解计算解答：解： U=x|x 2 3x+2 0=x|x 1 或 x2 ，A=x|x 2|1=x|x 2 1 或 x 2 1=x|x 3 或 x 1B=x|=x|x 1 或 x 2 ， A B=x|x

23、 3 或 x 1 ，A B=x|x 2 或 x1 ，（ CUA ） B=x|2 x3 或 x=1 x|x 1 或 x2=x|x 1 或 x2 点评： 本题考查集合的基本运算，不等式的求解，属于基础题19（ 8 分）设集合A=x| 2 x 4 ， B=x|x 2 3ax+2a2 0 ，若 B? A ，求实数a 的范围考点 ：集合的包含关系判断及应用专题 ：集合;.分析：将集合 B 化简，根据集合的包含关系分类判断即可解答：解： A=x| 2 x 4 ， B=x|x 2 3ax+2a2 0=x| （ xa）（ x 2a） 0 ， 要使B ? A ，需对 a 进行讨论：（ 1）当 a 0 时， B=

24、 （ 2a， a）， ? 1a2，得 1a0（ 2）当 a=0 时， B= ? ，满足题意（ 3）当 a 0 时， B= （ a，2a）， ? 2a2，得 0a2综上， a 的取值范围是 1， 2故答案为： 1， 2点评：本题考查了集合的包含关系属于基础题20（ 8 分）如图，在矩形 ABCD ，AB=a ，BC=1 （ a 1），点 E，F， G，H 分别在边 AB 、BC 、CD、 DA 上，且有 BE=BF=DG=DH=x（ 1）将平行四边形 EFGH 的面积 y 表示成 x 的函数，并写出其定义域；（ 2）求出平行四边形 EFGH 面积的最大值考点 ：棱柱、棱锥、棱台的体积专题 ：计算题；函数的性质及应用分析：（ 1）用矩形的面积减去四个三角形的面积，即可得出结论；（ 2）化简并配方，分类讨论可求函数的最大值解答：解：（ 1）由题意， SEFGH2（ 1 x）（ ax） = 2x2=a x+（ a+1）x（ 0 x1）；（ 2）由（ 1）知，函数的对称轴为 x=，若1，即 1 a3，则当 x=时， S 取得最大值是；2若 1，即 a 3，函数 S= 2x +（ a+1）x 在区间（ 0， 1上是增函