中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)附详细答案

1、中考数学 直角三角形的边角关系 培优易错难题练习(含答案)附详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图(1),在平面直角坐标系中，点 A (0, - 6),点B (6, 0) . RtACDE中， /CDE=90, CD=4, DE=4后，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合.RtCDE沿y轴 正方向平行移动，当点 C运动到点O时停止运动.解答下列问题：(1)如图(2),当RtA CDE运动到点 D与点。重合时，设 CE交AB于点M,求/ BME 的度数.(2)如图(3),在RtA CDE的运动过程中，当 CE经过点B时，求BC的长.(3)在RtACDE的运动过程中，设 AC=h, OAB与 C

2、DE的重叠部分的面积为 S,请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积 S的最大值.即圄2图3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4后 ;(3) hW2时，S=-h2+4h+8, 4当 h2时，S=18- 3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对顶角的定义知，/BME=/ CMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30,又OB=6,通过解直角 BOC就可求出BC的长度；(3)需要分类讨论： hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于试题解析：解：(1)如图2,点 F, S=

3、Sedc Saefm; 当 h2时，如图 3, S=Sobc.图22 .在平面直角坐标系中，点A (0, - 6),点B (6, 0).OA=OB,Z OAB=45 ；3 / CDE=90 , CD=4, DE=4晅,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ;/ BME=/CMA=15 ;如图3,图3/ CDE=90 , CD=4, DE=4g ,/ OBC=Z DEC=30,.OB=6,4 BC=4百；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于点F,V个B y甲图4. CD=4, DE=4后，AC=h, AN=NM , .CN

4、=4- FM, AN=MN=4+h - FM,.CMNACEDCX MN二一CD 力 尸 1解得 FM=4 h ,一 _】.匚1 ,.心事-11、/+1 S=Sedc- Saefm= X 4X3 (4 J3 4 h) X (4 一-百)= h2+4h+8,一一24如图3,当h*时，1 1 . .S=8obc= OCX OB= (6-h) X6=18 3h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形2.如图，AB是。的直径，弦 CD，AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB 的延长线于切点为 G,连接AG交CD于K.（1）求证：KE=GE（2）若K=KD?GE试判断AC与E

5、F的位置关系，并说明理由；3（3）在（2）的条件下，若sinE=5, AKpV，求FG的长.25小【答案】（1）证明见解析；（2） AC/ EF,证明见解析；（3） FG= 8 【解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及 CD）1AB,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE（2） AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD与 EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到 AC/ EF;（3）如图3

6、所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG.G图1.EG为切线,3 / KGE吆 OGA=90 ；4 .CDXAB,5 / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KGE=/ AKH=Z GKE, . KE=GE又 / KGE=/ GKE6 .GKDAEGK；/ E=Z AGD,又 ZC=Z AGD,/ E=Z C,7 .AC/ EF；(3)连接OG, OC,如图3所示,产 GE图3.EG为切线,8 / KGE-+Z OGA=90

7、 ；9 .CDXAB,10 / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,11 / KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH=,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t,12 KE=GE AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2, 即（3t） 2+t2= （2%再）2,解得 t=J .设。半径为 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t, 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,125 25即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r= 6 t

8、=A .EF为切线, .OGF为直角三角形，25CII 4在 RtOGF 中，OG=r=6 , tan Z OFG=tanZ CAH=H -,CH;UllZOFt；3【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.3 .问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最 小，我们可以作出点 B关于l的对称点B连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD

9、=30, B为弧AD的中点，P为 直径CD上一动点，则 BP+AP的最小值为.（2）知识拓展：如图（c）,在RABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分线交 BC于点D, E、F分别是 线段AD和AB上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：（1） 272 .（2）如图，在斜边 AC上截取AB =AB连接BB.f. AD平分/ BAG 点B与点B关于直线 AD对称. 过点B作B MAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B酌长即为所求（点到直线的距离最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4。, AB =AB= 10 ,.BE+EF的最/、值为50【

10、解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C AE再根据勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点巳此时PA+PB最小，且等于 A.作直 径AC,连接C F根据垂径定理得弧 BD=M DE.J / ACD=30 ,/ AOD=60 ； / DOE=30 :，/ AOE=90 ./ C AE=45 又AC为圆的直径，.1. / AEC =90./CAC AE=4 5C E=AE=AC2石.AP+BP的最/、值是 2亚.(2)首先在斜边 AC上截取AB =

11、AB连接BB,再过点B作B 1AB,垂足为F,交AD于 E,连接BE,则线段B的长即为所求.9时太阳光线与中午12时太阳光线15 米（B、E、C 在4 .如图，某公园内有一座古塔 AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 水平面的夹角为32 ,此时塔在建筑物的墙上留下了高 3米的影子CD.与地面的夹角为 45。，此时塔尖A在地面上的影子 E与墙角C的距离为一条直线上），求塔 AB的高度.（结果精确到 0.01米）参考数据：sin32 =0.5299cos32 = 0.8480tan32 =0.62499 1.4142.【答案】塔高 AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为

12、点H,设AB= x,则AH= x- 3,解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：过点D作DHLAB,垂足为点 H.o/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；设 AB = x,则 AH = x - 3.在 RtABE 中,Z AEB = 45 ；得 tan AEBtan45AB 1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在 RtAHD 中,/ AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 15解得x塔 tWj【点睛】15 tan32 3 ” “ 32.99 .1 tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直

13、角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键.5 .某条道路上通行车辆限速 60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点 P到AB的距离PH为50米（如图）.已知点 P在点A的北偏东45方向上，且在点 B的北偏西60 方向 上，点B在点A的北偏东75方向上，那么车辆通过 AB段的时间在多少秒以内，可认定为 超速？（参考数据：J3= 1.7 J2 = 1.4 .【答案】车辆通过 AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速 【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解 直角三角形即可详解：如图，由题意知 /CAB=75, /CAP=4

14、5, / PBD=60 ,/ PAH=Z CAB-/ CAP=30 ,50 / PHA=Z PHB=90 ； PH=50,AH=向=5073 ,an31. AC/ BD,/ ABD=180CAB=105/ PBH=Z ABD/ PBD=45 ,贝U PH=BH=50, . AB=AH+BH=50匹+50,5050 3 50_.60千米/时=上米/秒，时间t= 50=3+3j3 = 8.1（秒），33即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速.，一16.如图，直线y=-x+2与x轴父于点2点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即 实际路程，并进行判断

15、相关的量。A,与y轴交于点B,抛物线y= - 3x2+bx+c经过2A、B两点，与x轴的另一个交点为 C.（1）求抛物线的解析式;(2)根据图象，直接写出满足1x+2x2+bx+c的x的取值范围;22(3)设点D为该抛物线上的一点、连结AD,若/ DAC= / CBO,求点 D的坐标.2)当xRO或xw- 4; (3) D点坐标为(0, 2)或1 2 3c【答案】(1) y - x x 2 ； 22(2, - 3).【解析】【分析】(1)由直线丫=1*+2求得人、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析 2亡；(2)观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；(3)如图，过 D点作x

16、轴的垂线，交x轴于点E,先求出CO= 1, AO= 4,再由/ DACD的坐标./CBO,得出tan/DAC= tan/CBO,从而有， DE CO，最后分类讨论确定点AE BO【详解】 解：(1)由y= -x+2可得：2当 x= 0 时，y=2；当 y=0 时，x= - 4,A (-4, 0) , B (0, 2),把A、B的坐标代入y= - - x2+bx+c得:2八123 c抛物线的解析式为：y -x -x 222(2)当 x0或 x/3 ,0 ODtan30向，解得 OD=1,PO PD2 OD2=2, .PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA

17、 / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF, .AB是圆O的直径，/ ADB=90 ；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x, / DBF=2x ,四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,即 90+x+2x=180,解得 x=30,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / D

18、BF=2x =60,.BDF是等边三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大.8.如图1,以点M (1, 0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点 A、B C、D,直线y=X x-与。M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出 OE、OM的半径r、CH的长；(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP：PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与 E、C重合)，连接BK交。M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数 a,始终满足 MIN- MK

19、=a,如果存在，请求出 a的值；如 果不存在，请说明理由.F、图工【答案】(1) OE=5, r=2, CH=23 =-(2) 匕(3) a=4【解析】【分析】(1)在直线y=- X x-中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到 OE的长为5;连接 MH,根据4EMH与EFO相似即可求得半径为 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上白中线等于斜边的一半即可得出CH的长；(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到 CH/QPD,从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即为 cos/ QHC的值；(3)连接A

20、K, AM,延长AM,与圆交于点 G,连接TG,由圆周角定理可知， /GTA=90, Z3=Z4,故 / AKC玄 MAN,再由AMKsNMA 即可得出结论.【详解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如图 1,连接 QC QD,则/CQD =90, /QHC =/ QDC,(3)如图2,连接AK, AM,延长AM, 与圆交于点 G,连接TG,则图2+g = 也+ 3 = 9/由于上林。+ 23=90)故上丽。二2； .BKO - Z2 故 1 = 2 在和口加加中， 故 AMKsNMAMN AM;,即：:二* 二二一I r故存在常数风始终满足反 支K = 口常数a=4解法二：连结BM

21、,证明AMB s”的得三二9 .超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路(直线AO)的距离为120米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且NAP、60。，/ BPO= 45 :(1)求A、B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.(参考数据：22 1.414,J3 1.73) .S O【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】解：(1) AB 100(73 1)飞73.2 (米).6分73 2(2)此车制速度v二y= 二

22、18.3米/秒10 .抛物线 y=ax2bx+4 (aQ 过点 A(1, - 1), B(5, - 1),与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线表达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标 平面内的一点，且 ？CBPQ的面积为30,求点P坐标； 过此二点的直线交 y轴于F,此直线上一动点 G,当GB+ GF最小时，求点G坐标.2(3)如图2,。01过点A、B、C三点，AE为直径，点 M为上的一动点(不与点 A, E重 合)，/MBN为直角，边BN与ME的延长线交于 N,求线段BN长度的最大值21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2

23、, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3质【解析】【分析】(1)把点A (1, -1) , B (5, -1)代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；(2)如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线 BC于R,可求彳#直线BC的解析式1为：y=-x+4,设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因为？CBPQ的面积为 30,所以 Sapbc=-2X (-t+4-t2+6t-4) 书 15,解得t的值，即可得出点 P的坐标；当点P为(2,-4)时，求2得直线QP的解析式为：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因为GB

24、+X22GF=GB+GR所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点 G的坐标；当点P为(3,- 5)时，同理可求；(3)先用面积法求出 sin/ACB=Z3, tan Z ACB=2 ,在RtABE中，求得圆的直径，133因为 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因为 tanN=MB = 2,所以 BN=- MB 当 MB 为 BN 32直径时，BN的长度最大.【详解】 解：(1)二.抛物线 y=ax2+bx+4 (aw。过点 A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61抛物线表达式为 y=x2- 6x+4.(2)

25、如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线 BC于R,设直线BC的解析式为y=kx+m,. B (5, -1) , C (0, 4),1= 5k m k= 1.,解得4= mm= 4直线BC的解析式为：y=-x+4,设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), .?CBPQ的面积为30, SapbC=- X (-t+4-t2+6t-4)15,解得t=2或t=3 ,当 t=2 时，y=-4当 t=3 时，y=-5, 点 P坐标为（2, -4）或（3, -5）;当点P为（2,-4）时， 直线 BC 解析式为：y=-x+4, QP/ BC, 设直线QP的解析式为：y=-x+n,将

26、点P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直线QP的解析式为：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+-GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点 G的坐标为（0, -2）,同理，当点P为（3, -5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2, 同理可得点G的坐标为（0, -2）,）.A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）,1一 ABX 5,2 AC=/26 , BC=5a/2 ，. . Saabc= 1 ACX BCsM ACB=2sin / ACB=, tan / ACB=一,13AE 为直径，AB=4,/ ABE=90 ,/ 入 2

27、 134. sin / AEB=sinZ ACB=1=,13 AE .AE=2 而3,. MBXNB, /NMB=/EAB, / N=/AEB=/ ACB,MB 2tanN= 一 ,BN 3.BN=3MB,2当MB为直径时，BN的长度最大，为 3 而.【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质.解决(3)问的关键是找到 BN与BM之间的数量关系.11.已知 RtAABC, /BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心

28、O在AB上且点M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.却） KI2 【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】 【分析】 (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定

29、理得推论得OE DM,易得到4ADC为等边三角形，得 /CAD=60,则/ DAO=30 , / DON=60 ,然后根据含30的直角三角形三边的关系得DN=1 AD=73 , ON=DN=1;当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 强，/ DAE=30。，得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=j3-1;(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/

30、 DP,则/ PDB=/ C=60 ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60, / CAQ=/ PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 则 DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=273 ,即可得至U DP-DQ 的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90,点 D 是 BC 中点，BC= 4日 .AD= 1-BC= 2/3 ；(2)连 DE、ME,如图， DMDE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM,又 AD= AC, .ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 , 1在 RtADN 中，DN=1AD=T32，在 RtA ODN 中,ON= DN= 13， 当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;