群题极值点偏移

1、(1)故只需证明，ln(x+m)x=0,1、(2017合肥二模)已知ln(x+m)_mx=0,(m>1)有两个根x1,x2,求证：x2：0分析：几何感受明显，但有两个地方带m,常用的对称函数方法失效，但注意下图：1"t2>x2H：/上的两根t1+t2<0,即可。J/下面证明：*ln(x1+m)mx1=0,/ln(t1m)-t|=0：ln(t1m)-mt1,(t1,x1<0)1人1记：g(x)=ln(x+m)-mx,g(x)=-m;令g(x)>0得x<-m,xmm1，1g(x)在(m,m)单调递增；同理g(x)在(m,0)单调递减。mm又；g(t1)

2、ag(x1)=0,t1>x1；同理t2>”:x1+x2cti+t2J.只要证明ln(x+m)x=0的两根，即exx=m的两根t1+t2<0即可；二设f(x)=ex-x,易知f(x)在(0%0)单调递减，在(0,十比)单调递增，Zr(j-)构造函数h(x)=f(x)-f(-x)=ex-e"-2x,(x>0)h'(x)=ex+e«2>0,二h(x)在(0,十七)单调递;j-增二h(x)>h(0)=0,即f(x)>f(x),f(t2)>f(12)又f(t1)=f(t2),，f(t1)>f(-t2),且G,-t2<

3、0t1十t2<0,x1+x2<0,得证。方法二：证明：mx=ln(x1+m),mx2=ln(x2+m)1xi_x2(x1m)-(x2+m)mln(x1m)-ln(x2m)ln(x1m)ln(x2m)11(x1m)(x2+m),(x1m)(x2+m)2再由KX2ln(x1m)ln(x2m)x1x2ln(x1m)ln(x2m)x1一x2ln(x1m)-ln(x2m)得：x1x2-ln(x1m)ln(x2m)ln(4m)(x2+m)ln<1-2mmclnm-2<0,(m>i)mx1x2二0lnx一一2、已知函数f(x)=,如果x1<x2且f(x1)=f(x2),x

4、求证：x1x2e2(方法1)分析：已知的是相等关系所求是一个不等关系，已知的是函数值之间的关系所求是自变量之间的关系，故考虑利用函数的单调性。此外利用已知的相等关系将双变量降为单变量，从而构造函数。证明：f,(x)=1_ln-,xW(0,+)x易得当xw(0,e)时，f,(x)>0,当xw(e,g)时，f,(x)<0二f(x)在(0,e)单调递增，在(e,y)单调递减，且f(xj=f(x2)2一一e,只要22eex1>一,又易知一1c(0,e)x2x2所以只要证2ef(x2)=f(x1)>f(一)即可x22e构造函数F(x)=f(x)-f(一),x=(e,收)x2lne

5、_lnxx_lnxx(2-lnx)一一一一2xe_xexF,(x)=22(e2x2)(1lnx)F(x)在(e,y)单调递增，,F(x)>F(e)=0一一一一e一一eX2即f(x)>f(),从而f(X2)>f(),即原结论成立，证毕。(方法2)(引入参数、设而不求，利用齐次式将双变量降为单变量)因为f(x1)=f(x2),所以可设比=mX1x2(1)+(2)得1nxi+Inx2=m(x1+x2)|11(3)(1)-(2)得Inxi-Inx2=m(xi一x2)Inx1-Inx2,m=-12,带入(3)得x1-x2Inx1Inx2=Inx1_1nx2(x-%)=x1x2(Inx1

6、Inx2)x1-x2X-x2'1=In%xx2x2、xt1设t=1,t=(0,1),则1nxi+Inx2=Intx2t72要证x,-x2e,只要Inx1Inx22t1)r2(t-1)r(此处很重要，指对骞分离)只要Int>2即可，即只要Int<)即可t-1t1设g-Int一2，t(0,1)所以g,(t)(t-1)2t(t1)2>0,所以g(t)在(0,1)单调递增所以g(t)<g(1)=0,即Int-2(t-1)<0,即Int<2(t-1),从而原结论成立，证毕t1t1注：本题变式Inx=mx有两个不同的实数根,x2,求证：x1x2>e23、已

7、知f(x)=xe;若f(x)=xe.且，f(x,)=f(x2)124、已知函数f(x)=-x十(1a)xalnx,awR,有两个不同的零点x1,x2求证：x1x22证明：f(x)的定义域为(0,y)x显然aE0时，不符合题意(x1)(x-a)f(x)=-,a>0时当xw(0,a)f'(x)<0f(x)单调递减当xw(a,z),fH(x)>0,f(x)单调递增f(x)有极小值f(a),且0<x1<x2卜面证明x1x2.2a构造F(x)=f(x)-f(2a-x),x(a,2a)=aln(2a-x)alnx2x-2a2Fx=肃>0a)二F(x)在(a,2a

8、)单调递减二F(x)<F(a)=0f(x):f(2a-x)f(x2):f(2a-x2)又f(x)1=f(x2).f(x1)<f(2a-x2)又Kw(0,a)2a-x2w(0,a)且f(x)在(0,a)单调递减x12a-x2x1x22a一，、12,.、._又f(a)=-a(1-a)a-alna:二021lnaa-1021,设g(a)=lna2a-1易知g(a)在(0,)单调递增，且g(1)<0,g(2)>0二由g(a)>0易知a>1二x1+x?a2aA2a匚5、已知函数f(x)=xlnx-x(awR),若函数g(x)=f(x)x有两根极值点2xi,x2,(xi

9、求证:11+1nxilnx22aeao证明：g(x)=x1nxx-x,(x0)2g(x)=Inx-ax1-ax设h(x)=1nx-ax,(x0)h(x)=x当aE0时，h(x)>0,h(x)在(0,收)单调x递增，不符合题意,._,41.1当a:>0时，若xw(0,),h(x)0,h(x)在(0,-)上单倜递增aa1.1右xw(一,+),h(x)<0h(x)在(一，收)单倜递减aa11,h(x)一h(-)=In1aa依题意h(x)有两根不同的零点x1,x2,不妨设0<x1<x22ae:2r11要证明一2ae1nxi1nx2111一只要证明+>2即可,1nxi

10、1nx2卜面证明：由上可知:11nxi1nx2=ax1=ax211111()1nx11nx2ax1x2且1nx1-1nx2=a(K-x2)1_x1-x2a1nx1-1nx211=XW1nxi1nx21nxi-1nx21)x1x21/Xx2、(一)1n区x2x1x2设1=*1三（0,1）故只要*211nt1(t-t)22即2t1ntt+1>0即可令m(t)=2tlnt-t21,t(0,1)m(t)=2(lnt-t1)易知m(t)在(0,1)单调递增,m'(t)<m(1)=0m(t)在(0,1)单调递减m(t)>m(1)=0即2tlnt-t210所以原结论得证。6、已知a

11、wR,函数f(x)=xaex+1有两个零点x1,x2,(x1cx2).(1)求实数a的取值范围。(2)证明：ex1+e">2解析：设t=ex,x=lnt则原函数有两个零点可转化为lnt-at+1=0有两个根t1,t2(t1<t2)要证明ex1+ex2>2只要t1+t2a2即可2(万法一)：对数均值不等式可证t1+t2>(>2)a(方法二)：构造函数先设g(t)=lnt-at+1(t>0)一.,11可得g(t)在(0,)单倜递增，在(一，收)单调递减aa1可得0:二x1:二一：二x2a2一一要证t1+t2>2只要t2>-x1即可a2只要g

12、(t2)>g(X)即可，又g(t1)=g)2)a2构詹函数h(x)=g(t)_g(-x)a1.7、已知f(x)=x-xlnx2(1)求f(x)的单调区间求证:Xix2(2)若f(x)=2有两个不等实根x1,x28、已知函数f(x)=exax有两个零点2?2(为<x2)则下列说法正确的是()Ax1+x2<2B.a<eC.x1x2>1D.有极小值点解析：(1)f(x)=exa有极值点=1na而且f(1na)=a-a1na：0aex1X2-ax1=0-ax2=0x1=Ina+1nxix2=Ina1nx2-(2)得x1一x2=1nx=1nx2xx2x1-x>二1x1

13、x221nxi-1nx2xix>2(3) 为x2：1(4) x1x2=2lna1nxix2二2lna=2x0卜面另证x1x22ex1-ax1=0xe-ax2=0.1ex1设t=上(t1)x1(t-4)x1.e1=tInt.x1二t-1Int.Xx2=(t1)-t-1>2(要证)只要1nt_2(t7)A0即可t11nt此处不宜直接令g(t)=(t+1)丁7也不要转化为g(t)=(t+1)1nt2(t1)睡0原则是指对哥分离设g(t)=1nt_2tti1)g(t)1_4J(t1)22(t-1)2cA0-0t(t1)2，g(t)在(1,)单调递增g(t)g(i)=o所以x1x22x1x2

14、=tx；=t则-<1(要证)t-1只要1ntt-'1rM0即可t设h(t)=lntt-1t二h(x)=；1t21-tt2：二0,h(t)在(0,)上单调递减,h(t)二h(1)=0.X1X2：11.9、已知f(x)=x-xlnx,若f(x)=2有两个不等实根X2,X22求证:11十xx2、r1证明：设t=，t0x则g(t)=:Int2t2lnt2t,(t0)则g(t)=a有两不等实根t1,t2(不妨设t1<tz)x2-2广一只要t1+t2>一即可e又g(t)=-2(1lnt)4t21._j.tw(0,)时，g'(t)>0,g(t)单调递增e1 ._tw,

15、一)时g(t)<0,g(t)单调递减e1、 eg(t)max=g(一)=e2e12万程g(t)=a要有两个不等实根，则a<即一A2ae5-1且0:二t1；:二t2e1卜面证明t1t2一a(方法1)：l21nti=2ati2lnt2=2at21nti-lnt2=2a(t1-t2),4lnt11nt2=2a(t1t2)1 _tt2_匕-t2匕t22a4lnt11nt2lnt1-lnt221,t1+t2>得证a、，2(万法2):要证t1+t2>-一2一一.2,只要12AT只要g(t2)<g(T)ee2.又g(ti)=g(t2)所以只要证g(ti)<g(L)e2构造

16、函数h(t)=g(t)-g(-t)e以下略10、(2016年新课标i)已知f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点(i)求a的取值范围(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2lnx11、(2015年中国科技大学自主招生考试)已知函数f(x)=3x求函数f(x)的单调区间和最大值(2)设0<acb,且ab=ba,证明：a+b>2e,其中e为自然对数的底数1 -xV12、(2013年湖南卷)已知函数f(x)=ex2 x(1)求f(x)的单调区间(2)证明：当f(x1)=f(x2)(x1#x2)时，为+x2<013、(2011年辽宁卷)已知函数f(x

17、)=lnxax2+(2a)x讨论f(x)的单调性(2)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB的中点的横坐标为飞,证明：f(x0)：014、已知函数f(x)=lnx-ax(aR)(1)若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围2(2)右存在两个头数x1，x2且x1#x2,满足f(x1)=0,f优)=0,求证：x1x2>e15、已知f(x)=xlnx的图像上有两点，其横坐标为0cxi<x2<1,且f(x1)=f(x2)证明：2cxi+x2<1e2(2)证明：1<亚十jxr<7若x1+x2>1,求t的取值范围1解析：(1)f(x)=1+lnx,

18、令f(x)=0得x=e一，1一11所以0cxic<x2<1且f(x)在(0,)单倜递减，在(，g)单调递增eee3构造函数(极值点偏移)易证x1+x2>以下略e要证明x1+x2<1只要x2<1-x1即可111111、(因为x1<一,二.一为下一一，1一>1一一:>一且，x2>-)eeeee1而f(x)在(，收)单调递增e所以只要证明f(x2)<f(1-x1)只要f(x1)<f(1-%)即可1构造函数g(x)=f(x)-f(1-x),x(0,一)2g(x)=lnxln(1-x)2g(x)=1-2xx(1-x)1 ，、，二g'(x)在(0,1)上单调递增21由于xt0时，g(x)T-°o且g()=ln(e-1)>0e一1一一