(完整word版)2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

1、构造基本图形巧解含45o角的问题本文以两道含有45o角的中考试题为载体， 分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.一、试题呈现题1 (2017年丽水中考题)如图1,在平面直角坐标系 xOy中，直线y x m分别交x轴，y轴于A、B两点，已知点C(2,0).(l)略；(2)设P为线段OB的中点，连结PA, PC若 CPA 45,则m的值是题2 (2017年金华中考题)如图2,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数ky 的图象上.作射线AB ,再将射线AB绕点A按照逆时针方向旋转 45o,交反比例函数的图象于点C ,则点C的坐标是.上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有

2、着一个共同的特点，都存在一个 45o的特殊角.因此，如何利用 45o角成为了解题的突破口， 45o角的两边与X轴的交点都形 成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法二、共同解法展示1.构造线三等角”，利用相似三角形丽水题解法1如图3,在y轴截取OD OC ,此时 PDC 45 ,可以证得ABP:BPCDBAPD进而得到方程 m:2,2,2m: (m 2)22解得m 12.图3图4金华题解法1如图4,过点A作等腰直角 PNG ,作ND NF ,连结DF ,易得NP NG 6, PG 6舱.设 FN DN a,可以证得 APG : FDA ,/曰 AP DF得，PG DA,_3_ jj

3、a6a/2 a 3,解得a 1 , F(1,0).求出AF的解析式为y 3x 3,6再与y x联列方程，得到 C点坐标为(1, 6).分析 线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45o的角去构造等腰直角三角形，形成 线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.2.构造三垂型”模型，利用全等三角形丽水题解法2如图5,过点C作CD CP,交AP于点D ,再作DE x轴，易得OPC ECD , DE OC 2, CE OP m, 2AE OA OC CE m 2.2 DE/OP, ,DE A

4、E OP AO '列出方程2: m (m 2):m,22解得m 12.图5图6金华题解法2如图6,过点M作MFAM ,构造如图所示的辅助线，易得EFM DMA.设M的坐标为（0, m）,可得 MD EF 2, AD EM 3 m.1 一一 因为点G在直线y -x 2上，可以求得点 G的坐标为（2m 4,m）,进而求得GE 1 m, GD 6 2m. EF /AD ，EFADGE而，列出方程2:(3 m) (1 m): (6 2m),解得m 3( m 3舍去).所以点M的坐标为（0, 3）.分析 上垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来 证明勾月定理.看到4

5、5o角可以构造等腰直角三角形，进而形成上垂型”模型.3.构造角平分线预备知识：如图7,运用内角平分线的性质AB BDAD是ABC的角平分线，则有至EDAC CD（证略）.丽水题解法3如图8,过点P作PD PA.APC 45，所以CP为 APD的角平分线,pd cd，PA ACPD 1m ,并且求出D的坐标（一,0）,PA 24解得m12.金华题解法3如图9,方法同上.分析 由于45o是90o的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基 本性质，45o这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段4 .构造芷方形“，借用正方形旋转预备知识：如图10,正方形ABCD,点E、F

6、分别在BC和CD上，且 EAF 求证：BE DF EF .（证略）图10丽水题解法4如图11,过点P构造正方形 OPDE .EN DN m, OC 2, 4根据预备知识得到m cCN 2. 42,在 CEN中有又 CE m(m2 2)2 (4)2(12)2,41AE 2NF 2HG 32图12设点E为（m,0）,则DE 2 m, GE 1 m.利用预备知识，可得HE m. 2在直角 HGE中， 3 2272（2）2（1 m）2 份 m）2,解得m 1,得到E(1,0).可以得到全分析 半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成, 等三角形，进而得到线段之间的关系 .5 .构造

7、三角形的高”，回到匀股定理丽水题解法5如图13,作CD AP,可知 PCD为等腰直角三角形由 PO:AO CD: AD 1:2,AC m2,易得CD(m2),PC10 (m 2).5在Rt POC中，利用勾股定理，得小52)2,解得m 12.BC/图13图14金华题解法5如图14,作ED AF (后面计算可得B和D重合).设 AD ED a,则 DE 2a, EF 55a, AF 3a.又 AF 3J5,得到a乖,EF 75a 5, E(1,0).分析遇到直角问题，有时要回归到勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾月定理构造方程.本题中依靠 CPA 45构造等腰

8、直角三角形，同时得到 POA: CDA, 一箭双雕.6 .构造 四点共圆”，运用两点间的距离公式丽水题解法6如图15,以AC为直角边构造等腰直角ADC .D APC 45 ,所以A、C、P、D四点共圆，且以 CD为直径，E为圆心. m m 2 m 2、' D(m,m 2), P(0, ) , E(,),222根据EP EC ,可得2 m 2 2- 1 222) (一 J 2)，解得m 12.D>图15金华题解法6如图16,方法同上.分析四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，半径相等直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变三、解题后的反思1 .明确解

9、题方向，确定解题途径这两道中考题都是以函数为载体的几何问题，以上的解法都充分利用了数形结合， 把题中的 形”转化为运算，达到 彷形为数”的目的，这是解决问题的关键所在，也是基本思定要充分利用路，有了这些基本思路就有了解决问题的方向在解决函数中的几何问题时,几何的基本性质，抓住问题表象中的隐含条件， 利用几何性质的同时结合平面直角坐标系的 有关计算，达到几何与代数的完美结合 .上述解法中的勾股定理和三角形的相似与全等，等腰直角三角形的性质的运用，既在意料之外，又在情理之中，顺其自然，水到渠成2 .抓住问题本质，学会异中求同以上两道题目看似不同，却有着共同的本质，可以称得上是多题一解 化，仅仅依靠题海战术是很难抓住数学的本质，盲目地做题还不如静下心来去思考 该由表及里，发现题与题之间的内在联系，抓住问题的本质达到有效的解题.数学问题千变万展思维的广度，多题一解更能挖掘思维的深度， 因此, 做到收放自如.3 .活用解题模型，呈现多